备战2023年重庆中考数学二轮复习知识点15几何压轴题(含详解)

精练15-几何压轴题I.已知△ABC、ZXACE都是等边三角形，将△AOE绕点A旋转.(1)如图①，当点B、D、E三点在同一直线上时，且NABO=15°,AB=6,求AE的长；(2)如图②，连接CE并延长交AB于点M,N为C8延长线上一点，连接AN、BD,AN与8力相交于点G,若G为AN的中点，求证：AM=BN；(3)在(2)的条件下，若AB=6,AE=5,在△AOE旋转的过程中，当CM+MN取得最小值时，把△48。沿4B翻折，得直线8。与CM交于点P,请直接写出线段DP的长.△ABC中，NBAC=90°,AB=AC=6,AOJ_8C于点O.点G是射线A£>上一点.过G作GELG尸分别交A8、AC于点E、F；(1)如图①所示，若点E,尸分别在线段A8,4C上，当点G与点。重合时，求证：AE+AF=yf^AD.(2)如图②所示，当点G在线段AO外，且点E与点B重合时，猜想AE,AF与AG之间存在的数量关系并说明理由.(3)当点G在线段AO上时，请直接写出AG+BG+CG的最小值.G① ② ③ 3.如图，在△ANC和ACMB中，AC=BC,AN//BC,点8、点N在AC同侧，点A,M,C共线，BM,CN交于点。，且NANC=NBMC.

(1)如图1,当NNAC=90°时，点E、M分别为NB、AC中点，DM=l,求OE的长.(2)如图2,当NN4c<90°时，点、P、Q分别是MN、BC中点，连接P。，与NC、BM分别交于点S、T,求证：DS=DT.(3)如图3,在(2)问的条件下，当NNAC=60°时，将△BMC沿着MC翻折到△1 ABiB\MC,连接.若tanNMBC=」，请直接写出—L的值.图1 图2N图3 , 4.已知在△ABC中，点。是AB边上一点，连接C£>,AC=CD,点E是直线CZ)上的一个动点：连接AE并延长交直线8c于尸，AF=BF.(1)如图1,若NBAC=75°,4c=W§,CE=2,求点A到CZ)的距离；(2)如图2,若点E是线段CO的中点，求证：AB=2AD；(3)如图3,若NBAC=45°,40=4泥，将线段AE绕点A旋转45°,点E的对应点为点G,连接EG,求CG的最小值.图1图3图1图35.在△ABC中，NCAB=90°,AC=AB.若点。为4c上一点，连接8。，将8。绕点8顺时针旋转90°得到BE,连接CE,交AB于点、F.(1)如图1,若NABE=75°,BD=4,求AC的长；(2)如图2,点G为BC的中点，连接FG交BD于点H.若N4BO=30°,猜想线段OC与线段HG的数量关系，并写出证明过程；(3)如图3,若A8=4,。为AC的中点，将△AB。绕点8旋转得BD',连接A'C、A'D,当A'D+YLa'C最小时，求&a，bc.26.在△ABC中，ZACB=9Q°,。为AC边上一点，但不与点A、点C重合，过点。作OE_LAB于点E,连接BO,尸为8。的中点，连接EF、FC.(I)如图1,求证：EF=FC；(2)如图2,将△AOE绕点A顺时针旋转，其他条件不变，则(1)中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由；(3)若NBAC=30°,BC=3,OE=1,在△AQE绕点A旋转一周的过程中，当直线OE经过点B时，求线段80的长.ACB=90°,点D在BC上方,连接CQ,将CO绕点。顺时针旋转90°到ED(1)如图1,点。在AC左侧且在点A上方，连接4E,CE,若/4C£>=15°,AB=2a,CE=1+3如,求AE的长.(2)如图2,点。在AC左侧且在点4上方，连接BE交CO于点M,F为BE上一点,连接OF,过点尸作尸G〃AC交BC延长线于点G,连接GM,EG,AD.若NEDF+NEBG=NDEB,GM=BM.求证：AD=EF.(3)如图3,已知8c=3,CD=6,连接BE交CO于点M,连接CE,将沿直线EM翻折至△ABC所在平面内，得△(7'EM,当AM+C'M最小时，求C到BC的距离.图1 图2等腰RtZXABC中，NABC=90°,AB=BC=6,过点8作8OJ_AC交AC于点。，点E、F分别是线段A8、8c上两点，且BE=BF,连接AF交80于点Q,过点E作交AF于点P,交AC于点、H.(1)若BF=4,求△A。。的面积；(2)求证：CH=2BQ；(3)如图2,BE=3,连接EF,将△EBF绕点8在平面内任意旋转，取EF的中点M,连接AM,CM,将线段4M绕点A逆时针旋转90°得线段4N,连接MN、CN,过点N作NRLAC交AC于点R.当线段NR的长最小时，直接写出△CMN的周长.

H图1图29.如图，/XABCH图1图2边三角形，连接BE,BD,CD,EC.(1)如图1,若N4OC=30°,若4E=7,EC=9,求EB的长度;(2)如图2,点8在△4£)£内，点尸是AO的中点，连接8尸、BE、BD,若£>8_LB尸且BE=2BF.求证：BE1.ECiC(3)如图3,ZVIBC的边BC=6且过。点，£C=2>/19.N是直线AB上一动点，连接DN,将△OBN沿ON翻折得到△OHN,当A”最大时，过，作4”的垂线，M是垂线上一动点，连接MA,将线段M4绕点M逆时针旋转60°,得到线段MP,连接直接写出/7/的最小值.C图1 图2 图310.正方形A8CC,点E在边BC上，连AE.(1)如图1,若tanNE4C=工，A8=4,3求EC长；(2)如图2,点F在对角线AC上，满足AF=A8,过点尸作FGL4c交CO于G,点，在线段尸G上(不与端点重合)，连接若NEA”=45°,求证：EC=HG+近FC；(3)如图3,在(1)的条件下，点G是AO中点，点H是直线8上的一动点，连G”，将△OG4沿着G4翻折得到△PG4,连PB交AE于。，连左、PD,当空■最小值时，请直接写出△勿。的面积.图1 图2 图3 11.在等边△ABC中，。是边AC上一动点，连接8。，将BO绕点。顺时针旋转120。，得到OE,连接CE.(1)如图1,当B、4、E三点共线时，连接4E,若AB=2,求CE的长：(2)如图2,取CE的中点F,连接。F,猜想AO与O尸存在的数量关系，并证明你的猜想；(3)如图3,在(2)的条件下，连接BE、AP交于G点.若GF=DF,请直接写出空幽BE的值.图1 图2 图3 12.如图，等腰直角△ABC中，AB=AC,NB4C=90°,过点A作AP〃BC,连接CP交AB于点O,连接BP.(1)如图1,若NBQP=75°,8C=6百+6,求线段OC的长；(2)如图2,K为BC中点,连接AK,并延长至0,使AP=AQ,连接CQ.若P8=PO,求证：OC=y[2OP；(3)如图3,若AP=BC,点。，E在AC边上，连接。£),OE,且NAOO=JlNAE。，2点G为AP边上一个动点，连接OG,将AAOG沿OG翻折，得到△AOG,点”是线段8P的中点，连接AH,以AH为斜边向左侧作等腰直角直角边所在直线交PC于点、N,连接PM,若。。=2行，OE=17,当线段PM有最小值时，请直接写出△PHN与四边形AGOE的面积之比.MA'图3 13.如图，△ABC为等边三角形，。为平面中一动点，连接CO,E点在线段CD上.(1)如图1,当点。在A8边上时，已知NACC=15°,tanZ£BC=A,BD=2,求BE的2长；(2)如图2,当点。在△ABC内部时，NBAD=NCBE,连接AO,BD,E为线段C7)中点，求证：2BE=AD+«BD；(3)如图3,ZkABC的边长为4,80=2,作点。关于AC的对称点N,在AC上取一点P使得AC=4PC,连接NP,DP,E点为中点，连接BN,BE,当。、E、N三点共线时，直接写出△BEN的面积.图1 图2 图3 14.在等腰直角△ABC中，ZACB=90°,AC=BC,△ABC外有一点。满足 BD与AC相交于点E,连接CD

(1)如图I,若AE=2,BE=\O,求8。的长；(2)如图2,点尸为8。上一点，连接CF,点G为C尸的中点，连接OG,若4c=2OG,猜想BF与CO存在的数量关系，并证明你的猜想；(3)如图3,在(2)问条件下，当尸为83的中点时，将△AEB沿直线48翻折至AABCC所在平面内，得△AEB,连接GE',DE',AG,请直接写出石_^的比值.Saanu图1 图2 图3 15.在△ABC中，NBAC=90°,AB^AC.(1)如图1,过点C作CO_LB。交AB于M,若BM=2,tanZDCB^-求的长；(2)如图2,若AD_LAE,且AO=AE,延长A。、CB交于点F,作EGJ_E4交C8于点G.猜想尸。、CE、EG之间有何数量关系？并证明你的结论.(3)如图3,若AB=4&，D为一动点且始终有BDLCD,取CO的中点M,连接8M,将MB绕点8逆时针旋转90°得到点E,直接写出△4BE面积的最大值.16.在△ABC和△△£>£中，ZBAC=ZDAE=90°,且AB=AC,AD=AE.(1)如图1.如果点。在BC上，且80=4,CD=3,求OE的长；(2)如图2,AD与BC相交于点M点。在BC下方，连接B。，且连接CE并延长与84的延长线交于点F,点M是CA延长线上一点，且CM=AF,求证：CF=AN+MN；(3)如图3,若AO=AB,△AOE绕着点4旋转，取OE中点M,连接取中点N,连接AM点尸为BC中点，连接DN,若DN恰好经过点F,请直接写出DF：

DN：AN的值.图1 图2 图3.DN：AN的值.图1 图2 图3(1)如图①，若BC=W§,ZC4D=15°,求8。的长；(2)如图②，。是BC边的中点，E是BA延长线上一点，连接CE,过点A作A尸LCE于点F,过点B作BGLAF交FA延长线于点G,连接DG.请猜想BG、CF、DG的关系，并证明你的结论：(3)如图③，若AB=®M是△ABC内部一点，当CM+AM+&8M取得最小值时，请直 接 写 出 △ ABM 的 面积.① ② ③C 二 积.① ② ③精练15--几何压轴题I.已知△A8C、△△£)£：都是等边三角形，将△△£)£：绕点A旋转.(1)如图①，当点8、。、E三点在同一直线上时，且N4BO=15°,AB=6,求AE的长;(2)如图②，连接CE并延长交48于点M,N为C8延长线上一点，连接AN、BD,AN与8。相交于点G,若G为AN的中点，求证：AM=BN；(3)在(2)的条件下，若AB=6,AE=5,在△AOE旋转的过程中，当CM+MN取得最小值时，把△48。沿AB翻折,最小值时，把△48。沿AB翻折,得直线8。与CM交于点P,请直接写出线段DP长.图②【解答】(1)解：如图①中，过点。作OHLAB于点H,在AB上取一点Q,使得。8=DQ,连接=DQ,连接OQ.VZADE=ZABD+ZBAD,ZABD=15°,：.ZBAD=45°,♦.•NA”O=90°,；.NHAD=NADH=45°:.AH=DH,设AH=DH=m,则AD=AE=y[2m<

•：Qb=qd,；.NQBD=NQDB=15°,:.ZDQH=NQDB+NQBD=30°,；・DQ=QB=2m,QH=Mm,•・・AB=6,•"=3-V3，:•AE=Z」n=3yj'^-V6；图②(2)证明：如图②，过点4作Ar〃C7V交8。的延长线于点■图②,:AT〃BN,:・NGAT=NGNB,,:AG=GN,/AGT=/NGB,：.AAGT^ANGBCASA),:・BN=AT,VAADE,/XABC都是等边三角形，：.AD=AE,A8=AC,ZDAE=ZBAC=ZABC=60°,：.ZDAB=ZEAC,AADAB^AEAC(SAS),ZADB=ZAEC,：.ZADT=ZAEM,^AT//CB,：.ZTAM=ZABC=ZDAE=60°,：.ZTAD=ZEAM,U：AD=AE,:.NTNY组4MXE(SAS),：.AT=AM,:・AM=BN；(3)解：如图②中，连接TM,77V,过点M作MKL77V于点K,过点B作BJL7N于点J.*：AT=BN,AT//BN,J四边形ATNB是平行四边形，：.AB//TN,:MK1NT,BUNT,:.MK=BJ,9：AM=AT,ZTAM=60°,••△ATM是等边三角形，:・AT=TM=BN,:.RdMKTqRtABJN(HL),:・/MTK=/BNJ,:TN=NT,MT=BN,:.AMTN^ABNT(SAS),,:MN=BT,：AT=AM,ZTAB=ZMAC=60°,AB=AC,：.ATAB^/\MAC(SAS),:・BT=CM,:.MN=CM,：.当CM_LAB时，CM+MN的值最小，此时AM=BM.如图③中，B图③在RtZXAME中.AM=3,AE=5,£A/=7aE2-AM2=V52-32=4,♦；CM=3百，：.EC=BD=BD'=3百-4,VZACE=ZABD=ZABD'=30°,，BP=2PM,J.PB2-^^=32,4：.BP=2\f3>：.D'P=BP-BD'=2百-(3^/3-4)=4-«.2.如图，在△ABC中，NBAC=90°,AB=AC=6,AO_LBC于点。.点G是射线AO上一点.过G作GE_LG尸分别交AB、AC于点E、F：(1)如图①所示，若点E,尸分别在线段AB,AC上，当点G与点。重合时，求证：AE+AF=y/2AD.(2)如图②所示，当点G在线段AO外，且点E与点8重合时，猜想AE,A尸与AG之间存在的数量关系并说明理由.(3)当点G在线段4。上时，请直接写出AG+BG+CG的最小值.(1)由题：在△4BC中，ZBAC=90°,AB=AC=6,AO_LBC于点O,则。也是BC上的中点，即AO是BC的垂直平分线，VZ£/4D=ZC=45°,AD=CD,NADE=NCDF,:.XADE^ACDF(ASA),：.AE=CF,：.AE+AF=AC,：.AE+AF=yf2AD.(2)AE+AF=y[2AG,理由如下：如图1,过点G作〃G，AG交A8延长线于点从图1图1 ,VZBAC=90°，A8=AC=6,AD1BC,：.DAB=ZDAC=45°，：.ZAHG=ZBAD=45°,：.AG=HG,:・AH=®AG,VZEGF=ZAGH=90°，：.NAGF=NEGH,又・・・NA”G=NE1G=45°,•・.△AG金△”GE(ASA)，:・AF=BH,：.AH=AE+BH=AE+AF=>/2AG.(3)如图2,将△A3G绕点A顺时针旋转60。得到△48G,连接GG,BC,过点8作BW1AC,交CA的延长线于点N,•・・A8=48=6,AG=A'G,・・・N3A8=60°，NGAG=60°，BG=BG\△AGG是等边三角形,：.AG=GG,：.AG+BG+CG=GG+8G+CG,・•・当点8,点G\点G,点C共线时，AG+BG+CG的值最小，最小值为B'C的长,VZB'AC=ZB'AB+ZBAC=600+90°=150°,；.NB'AN=30°,:.B'N=3,AN=J§8N=3F，.,.CN=6+3百，：.BC=q(6+3«产+9=34+3&，：.AG+BG+CG的最小值为：3a+3a/2.3.如图，在△ANC和△CM8中，AC=BC,AN//BC,点8、点N在AC同侧，点A,M,C共线，BM,CN交于点£),且NANC=NBMC.(1)如图1,当NNAC=90°时，点E、M分别为N&AC中点，DM=1,求DE的长.(2)如图2,当NNAC<90°时，点尸、Q分别是MN、BC中点，连接PQ,与NC、BM分别交于点S、T,求证：DS=DT.(3)如图3,在(2)问的条件下，当NNAC=60°时，将△8MC沿着MC翻折到△1 ABB\MC,连接ABi.若tanZMBC=■1,请直接写出一L的4 PQ图1 图2N值. 图3 °,【解答】（1）解：•；AN〃8C,NNAC=90°,.,.ZBCA/=180°-NNAC=90°,:.NNAC=NBCM,在△CAN和△BCN中，fZNAC=ZBCM<Zanc=Zbmc«AC=BC...△CANgZXBCN(A4S),:.AN=CM,BM=CN,♦.,点M是AC的中点，：.AC=2CM,：.AC=2AN,：.tanNBMC=tanZANC=^—=2,AN.•.匹_=tanN8WC=2,DM：.DC=2DM=2,ca/=VdM2+DC2=V12+22=Vs>AC=2CM=2y，AN=CM=\[^,CN=(7aN2+AC2=V(V5)2+(2^5)2=5,：.BM=CN=5,：.DN=CN-DC=5-2=3,BD=BM-DM=5-1=4,VZA=90°,，N4NC+/4CN=90°,,:NANC=NBMC,:.NBMC+NACN=90°,；.NBDN=NCDM=90°,BM=VdN2+BD2=732+42=5,是8N的中点，(2)证明：如图1,A MFC 立图1 以B为圆心，8c为半径画弧交AC的延长线于E,连接BE,：・BE=BC,:・/E=/BCE,°：AC=BC,：.AC=BEf:AN"BC,：.NA=NBCE,/.ZA=ZE,fZA=ZE在△ACN和△EMB中，，ZANC=ZBMC-AC=BE：.4ACN咨AEMB(A4S),：.CN=BE,取CM的中点，是MN的中点，J.PF//CN,PF=^Lq^,：.NDST=NFPQ,同理可得：FQ//BM,FQ=£bM，：.ZSTD=ZPQF,PF=FQ,:.NQPF=NPQF,：.ZTSD=ZSTD,:.DS=DT；(3)解：如图2,

延长8c交于G,作M尸_L8G于R作延长8c交于G,作M尸_L8G于R作3L_L4C与39：AN//BC,Z/VAC=60°，：.ZACG=ZAWC=60°,AZACB\=ZACB=120°,：.ZGCB\=60°,・・・ZACG=ZGCBi，：.ABi=2AG,设CM=2mMF=CM•sinZACG=2a9s\n60°=百a，CF=l-CM=a,2•・・tan/M8C=亚=LBF4，BF=4MF=4«a，:,AC=BC=BF-CF=(473-Da,・,.AG=AC・sinNACG=AC・sin60°=^~(4>/3T*，AABi=V3*(4a/3-Da,■:AN//BC,：./ANC=/BCN,:ZBMC=NANC,:./BMC=NBCN,；NBCN=120°,：.ZBCN+ZACN=120°,・・N3MC+NACN=120°,:PE〃NC,QE//BM,：.NQEC=N8MC,NPEM=NACN,：.ZQEC-^ZPEM=\20°,：.ZPEQ=60°,又PE=EQ,...△尸£。是等边三角形，:.pq=eq=1m,：.MF=yf3a,8尸=4百a，：.BM=yfsia,：.PQ=^^.±,2.AB1_百・（4我-1）・a=8相-2>/I7•PQ 17-2r4.已知在△ABC中，点。是AB边上一点，连接CD,4C=C。，点E是直线8上的一个动点；连接AE并延长交直线8C于F,AF=BF.（1）如图1,若NBAC=75°,AC=6百，CE=2,求点A到CO的距离；（2）如图2,若点E是线段CZ）的中点，求证：AB=2AO；（3）如图3,若NBAC=45°,AD=4五,将线段AE绕点A旋转45°,点E的对应点为点G,连接£G,求CG的最小值.AB F图1【解答】AB F图1【解答】（1）解：如图1,一3 F图1；Ac=mCB F C G图2 图3七作AG_LCO于G,ZCDA=ZC4D=75°,/.ZACD=180°-ZCDA-ZCAD=30°,・・・AG=,aC=3愿，即：A点CQ的距离是3愿；图2(2)证明：如图2,图2作CG_LAO于G,交AE于”，连接OR・：AC=CD,：.AG=DG,:・AH=DH,：・4GAH=4ADH,°：AF=BF,：.ZGAH=ZBf:・/B=/ADH,:・DH〃BC,:"EDH=/ECF,NEHD=NEFC,•・•点E是CD的中点,：.DE=CE,:AEDH义AECF(A45),:.DH=CF,・・・四边形DHCF是平行四边形，J.DF//CG,：.DF.LAB,；・AB=2AD；(3)解：如图3,图3 延长CA至“，使44=40,连接4G,作CG'_LG"于G',"：AC=CD,ZBAC=45°,.'.ZADC=ZBAC=45",：.ZACD=90",：AO=4&,：.ACD=AD=4,"：ZBAC=ZEAG=45°,：.ZDAE=ZGAH,：.^ADE^/\AHG(SAS),：.ZH=ZADC=45°,...点G在直线“G上运动，...CG的最小值是CG',■:NHCG'=90°-Z/7=45°,:.NH=NHCG',：.G'C=G'H,由勾股定理得：G'C2+G'H2=CH2,：.2G'd=(472-4)2,：.G'C=4-2&,即CG的最小值是4-272.5.在△ABC中，NC4B=90。，AC=AB.若点。为AC上一点，连接BZ),将80绕点B顺时针旋转90°得到BE,连接CE,交A8于点F.BBBDD图1图2图3(1)如图1,若N4BE=75°,BD=4,求AC的长;(2)如图2,点G为8c的中点，连接FG交BD于点H.若/AB£)=30°，猜想线段3c与线段“G的数量关系，并写出证明过程;(3)如图3,若A8=4,。为AC的中点，将△ABO绕点B旋转得△?!'BD1C、A'D,当A'/叵'C最小时，求Satvbc.2,连接A'图1【解答】解：(1)过。作。6,8(7,垂足是G,如图1：T将BD绕点B顺时针旋转90°得到BE,.../EBO=90°,VZ/ABE=75°,/.^ABD=\50,VZABC=45°,ZDBC=30°,，在直角△BOG中有。G=/bD=2，BG=J^DG=W§，VZ4CB=45",，在直角AOCG中，CG=DG=2,：.BC=BG+CG=2+243<：.AC=亚BC=&-k/6；2(2)线段OC与线段HG的数量关系为：HG=14CD-证明：延长CA,过E作EN垂直于CA的延长线，垂足是M连接BN,ED,过G作GM_LAB于M,如图：B图2 7.NEND=90°,由旋转可知NEB3=90°,：.ZEDB=45a:.NEND=NEBD=90°,：.E,B,D,N四点共圆,:.NBNE=NEDB=45°,NNEB+NBDN=18。°'：ZBDC+ZBDN=\SQ°,ZBCD=45°,:.NBEN=4BDC,：.NBNE=45°=/BCD,在△BEN和△83C中，'NBNE=NBCD<ZBEN=ZBDC>BE=BA:ABEN学ABDC(A4S),：.BN=BC,VZBAC=90°,在等腰△8NC中，由三线合一可知BA是CN的中线,；NBAC=NEND=90°,：.EN//AB,是CN的中点，尸是EC的中点,；G是BC的中点，.♦.FG是aBEC的中位线，J.FG//BE,FG=Ue,2VBE±B£>,：.FGLBD,VZABD=30°,AZBFG=60°,VZABC=45°,：.ZBGF=15°,设AC=a,则TOC\o"1-5"\h\z在RtZiABO中，AO=®a，BD=BE=^区戏3 3:.FG=』BE,:.FG=J』a,2 3；GMLAB,••.△BGM是等腰三角形，"除BG*X曰BC夸X/X亚AC』，乙 乙 乙 乙 乙 乙在RtZXMFG中，ZMFG=60°,:.Mmf=mg,.•.”尸=退_,62 _BF=BM+MF=-3+/?a,6a在RtZXBFH中，NBFG=60°,/77=工BF= ,2 12:・HG=FG…昊葭^^=7(V3-l)a>0 TX又,：CD=a-彳a=^"(V§-1)a，oo•CD=4"HG73•••HG再CD；4(3)设4B=a,则BC=&a，取BC的中点N,连接A'D,A'C,A'N,连接0M如图3,

B图3 由旋转可知4'B=AB=a,BC=&a=后A'BaB图3 由旋转可知4'B=AB=a,BC=&a=后A'Ba'.A'BBC••BN=A，B小又NABN=NC84,.♦.△A'BNsMBA',•A'NA'B=&*'AzC=BC~：.A'N=2 _根据旋转和两点之间线段最短可知，a'D4@A'C最小，即是A'D+A'N最小，此时D、A，、N共线，即A'在线段£>N上,设此时A落在4"处，过4"作A"F_LAB于凡连接A4”,如图4,图4 VD,N分别是AC,8c的中点,.•.ON是△ABC的中位线，：.DN//AB,\"AB^AC,：.DNLAC,VZA=ZA"M=ZA"D4=90°,四边形A”的O是矩形，：.AF=A"D,A"F=AD=2,

・・•又A"B=AB=4,设AF=xf在直角三角形A¥B中，A"B1=A"F2+BF2,.*.42=22+(4-x)2,解得x=4-2\后.，此时S^A'BC=S^ABC-S^AA-B-S^ac=^AB'AC-1aB'A"F-1aC»A"D=Ax4X4-12 2 2 2 2X4X2-4X4X(4-273)=4百-4.6.在△ABC中，NACB=90°,。为AC边2上一点，但不与点A、点C重合，过点。作于点E,连接BD,F为BO的中点，连接ERFC.(1)如图1,求证：EF=FC：(2)如图2,将△4OE绕点A顺时针旋转，其他条件不变，则(1)中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由；(3)若NBAC=30°,BC=3,DE=\,在△AOE绕点A旋转一周的过程中，当直线经过点8时，求线段8。的长.(1)在△(1)在△A8C中，ZACB=90°,F为8。的中点,:.cf=Lbd,2'：DELAB,.••△BEO是直角三角形,:.ef=Lbd,2:.EF=FC；(2)成立，理由如下:如图2,延长DE到点D',使得D'E=DE,延长BC到点B,,使得BC=BC,分别连接D'B,D'A,B'A.BD,'JDEVAE,为。。的垂直平分线，：.AD'=AD,：.NDAD=2NDAE,同理可得，BA^AB',NBAB'=2NBAC,"：ZDAE=ZBAC,：.ND'AD=NBAB'：.ND'AD+NABD=NBAB'+NBAD,：.ZDAB=ZDAB',在△O'AB和△D48中，，AD=AD,<ND'AB=NDAB'，AB=AB'(SAS),：.UB=DB',"：DE=D'E,BF=DF,BC=B'C,：.FE,FC分别是和BAO8的中位线，：.EF=1.D'B,CF=LdB',2 2；.EF=CF；(3)如图3,当旋转角小于180°时，VZBAC=30°,BC=3,ED=\,.\AB=6,AC=3-\fs，AD=2,AE=y/3<'：AE±ED,.,.△ABE是直角三角形，.\BE2=Afi2-AE2,即BE2=36-3=33,：.BE=y[33,：.BD=y[33+\；如图4,当旋转角大于180°时，VAE1ED,

.二△ABE为直角三角形，:.BE1=AB1-AE2,即BE?=36-3=33,：.BE=yj33,：.BD=y/33-1；△ABC中，AC=BC,NACB=90°,点。在BC上方，连接CD,将CO绕点。顺时针旋转90°到ED(1)如图1,点。在AC左侧且在点A上方，连接AE,CE,若NACO=15°,AB=2&，CE=l+36,求AE的长.(2)如图2,点。在AC左侧且在点A上方，连接BE交CO于点M,尸为BE上一点，连接DF,过点F作FG//AC交BC延长线于点G,连接GM,EG,AD.若NEDF+NEBG=NDEB,GM=BM.求证：AD=EF.(3)如图3,已知BC=3,CD=6,连接BE交8于点M,连接CE,将△CEM沿直线EM翻折至AABC所在平面内，得△(?'EM,当AM+C'M最小时，求。到BC的距cB G图1D;c离. 图3【解答】(I)解：如图1,DFc B图1 在Rt/iACB中，AB=，AC=2&・sin45°=2,在RtZXACF中，ZACF=ZACD+ZDCE=15°+45°=；.CF=2・cos60°=2xA=1,AF=2*sin60°=«,2：.EF=CE-CF=3y/3,在RtZXAEF中，AF=y[3,EF=3百，•••AE=q(V3)2+(3V3)2=V30;D ,;(2)证明：如图2, b 图2.图2\b2V2，N5=45。,二60°,AC=2fE忤FN//BC交DC千N,：.NNFM=NMBC,设NEOF=a,NEBG=B，则N£)EF=N£QF+NE8G=a+B，在△口»/和△BCM中，：NDME=NCME,：.NDEF+NEDM=NEBG+NBCM,：.(a+p)+90°=0+(ZACD+ZACB)=0+(ZACD+900),:.ZACD=a,:./ACD=NEDF,：FG//AC.NAC£>=90°,：.ZBGF=ZACB=90°,:.NEBG+NBFG=NFGM+/MGB,:MG=MB,:・NMGB=/EBG,:・/GFM=NGFM,[FM=MG,:・FM=BM,在和△BMC中，rZNFM=ZCBMFM=BM，ZFMN=ZBMC:AFMNm/\BMC(ASA),:.BC=FN,NFNM=NBCM=90+a,・・NFNO=180°-NFNM=90°-a,4FDN=NEDC-NEDF=90°-a,:・/FDN=/FND,:,FN=DF,:・DF=BC,VBC=AC,：.DF=AC,在△OE77和△CDA中,'DF=AC<ZEDF=ZACD-DE=CDAADEF^ACDA(SAS),：.AD^EF；(3)解：如图，图3 连接CC',作C'RLBC于F,.♦.BE垂直平分CC,"：AM+MC=AM+MCWAC,当点4,M,C共线时，(AM+MC')gH、=AC,VZD=ZACfi^90°,ZBMC=ZDME,：.ABCMsAEDM,.O(=BC=3DMDE6:.DM=2CM,•:CD=AD=6,，CM=2,在 中，bm=VcM2+BC2=V22+32=>^13，由5及"=抑侬*](吆€：得，^/I^CG=2X3,：.CG=-^,V13：.CC'=2CG=-^,V13VZBCM=90°,：.ZBCG+ZMCG=90°,VZCGA/=90°,ZMCG+ZBMC=90°,NBMC=4MCG,,：ZCFC=NBCM=90°,:.ABCMsACFC,•C'F=CC'"BCBM"12・C，匚717~：.c'b=迎，13即：C到8c的距离是理■.138.如图1,在等腰Rt/XABC中，NABC=90°,AB=BC=6,过点8作BOJ_AC交AC于点。，点E、产分别是线段AB、BC上两点,且8E=B凡连接A尸交8。于点Q,过点E作EHLAF交AF于点P,交AC于点H.(1)若BF=4,求△AOQ的面积；(2)求证：CH=2BQ；(3)如图2,BE=3,连接EH将AEBF绕点8在平面内任意旋转，取Er的中点连接AM,CM,将线段AM绕点A逆时针旋转90°得线段AN,连接MN、CN,过点N作NR1AC交AC于点R.当线段NR的长最小时，直接写出△CMN的周N【解答】（1）解：；AB=BC=6,ZABC=90°,:.AC=®AB=6®,VfiDlAC,

:.AD=CD=BD=3近,NABD=NCBD=45",；.Q到4B,BC边的距离相等，.SAABQ^AQ=AB=6=3,△FBQFQBF42:.aq=1af,5在RtZ\AB尸中，NAB/=90°,A8=6,BF=4,•，*^/?=7aB2+BF2-V62+42=2>^13,3V2=9

"V?在RtAADQ中，ZADQ=90°,DQ=Vaq3V2=9

"V?.,.SA4oe=—,^£>,£)Q=—x3&x图I、七当8/=4时，ZVIOQ的面积为9图I、七(2)证明：过点C作CGL4C,交4c的延长线于G"：CG±AC,BD1.AC,J.BD//CG,'：AD=CD,：.AQ=GQ,二。。是ZXACG的中线，；.CG=2DQ,VZACB=ZBAC=45°,NDCG=90°,:.NBCG=NDCG-NBCD=45°,：.4EAH=NGCF,VAF1E/7,；・NBAF+NAEH=90°,VZBAF+ZBM=90°,NBFA=NCFG,：.4AEH=/CFG,*：BE=BF,：.AB-BE=BC-BF,：.AE=CF,在△/ME与△GC”中，<ZHAE=ZGCF<AE=CF，ZAEH=ZCFG:•△HAE处AGCFCASA),：.AH=CG,；・AH=2DQ,AC=2BD=AH+CH=2(BQ+DQ)=2BQ+2DQ,：.CH=2BQ；(3)解：如图2中，连接8M,过点A作AKJ_43,且AK=AB,连接NK,:.EF=®BE=3近,•；M为EF中点,：.BM=EM=FM=3显,2・・・NBAK=90°,・・,AM绕点A逆时针旋转90°得AM：.AM=AN,ZMAN=90°,:・/BAM=NKAN,

在与△AKN中，，AB=AK-ZBAM=ZKAN«AM=AN.•.△4B"Z\AKN(SAS),:.bm=kn=^2_,nabm=nakn,2；.N在以K为圆心，百叵为半径的圆上移动，2.•.当且仅当K,N,R三点共线时，NR长度最小，•.•当NR取最小值时，NRAK=NRNA=45°,:.AR=CR=3®,NABM=NAKN=45°,；NK=^L:.RN=^^-,AR=CR=3近,2 2:.AN=CN=«ar2+RN2=J(蜒)2+,:MN=®AN=3辰,ZABM=45°,NFBM=45°,如图3中，过M作于，,图3二尸在如图3中，过M作于，,图3；.NMHB=90°,NHMB=NHBM=45°,:.mh=bh='12_bm=3,TOC\o"1-5"\h\z2 21.CH=BC+BH=6+±=匹15)2=15)2=3>726：~2~) 2在RtZ\，CM中，NM〃C=90°,MC=4mh24cH2=Lacmn=CM+CN+MN=3V26_+3V10_+3^5,2 2.•.当NR最小时，Z\CMN的周长为：3通E+司!回+34丐.2 29.如图，ZXABC和△△£)£；是等边三角形，连接BE,BD,CD,EC.(1)如图1,若NAZ)C=30°,若AE=7,EC=9,求EB的长度；(2)如图2,点B在△AOE内，点尸是A。的中点，连接8尸、BE、BD,若OBLBF且BE=2BF.求证：BELEC-,(3)如图3,△ABC的边BC=6且过。点，EC=2j]§,N是直线AB上一动点，连接DN,将△OBN沿ON翻折得到△£)4可,当A”最大时，过，作A4的垂线，M是垂线上一动点，连接MA,将线段AM绕点M逆时针旋转60°,得到线段MP,连接PH,直接写 出 PH 的 最 小【解答】(1)解：:△ABC和△/!£>£；是等边三角形,：.ZDAE=ZADE=60°,AE=AD=DE=1,ZC4B=60",AC=AB,：.ZDAE+ZBAD=NBAC+NBAD,即：ZEAB=ZDAE,在△EAB和△D4C中，，AE=AD，ZEAB=ZDAC>AB=AC：./XEAB^£\DAC(SAS),：.EB=CD,VZADE=6Q°,NAOC=30°,：.ZCDE=90°,CD={g2-DE2rg2t2=4如，

，EB=4&；(2)证明：如图,延长8F至G,是FG=BF,是AO的中点,：.DF=AF,在△8。尸和AGA尸中，'DF=AF<NBFD=NGFA，BF=FG:.4BDF与AGAF(SAS),：.ZG=ZDBF=90°,AG=BD,•/BE=2BF,:.BE=BG,同理(1)可得：△BAOgACAE(SAS),：.CE=BD,：.CE=AG,在△BCE和aBGA中，'CE=AG"BC=AB，BE=BG.'.△BCE会ABGA(SSS),：.ZBEG=ZG=90°；(3)如图2,

作CQ_L£B于Q,作O7_LAB于7,・・・AADE和△ABC是等边三角形，/.ZAED=ZDAE=60°,N48C=60°,AZAED=ZABC,・••点A、E、B、。共圆，：.ZCBQ=ZDAE=60°,：.BQ=BC-cosZCBQ=6cos600=3,CQ=6・sin60=6X近2在RtZXCEQ中，EQ=Jce2-Cq2=V(2\fl9)2-(3V3)2=7，：.BE=EQ-BQ=1-3=4,由(1)知：CD=BE=4,:.BD=BC-CD=2,：.DH=BD=2,...点〃在以。为圆心，2为半径的圆上运动,延长AO交。。于R,当4点运动到R时，4H最大=AR,在RtZ\BO7中，BD=2,ZABC=60",：.BT=l^D=l,DT=V§Bd=73，2 2在RtZXAOT中，AT=AB-BT=6-1=5,ad=Vat2+dt2=Vb2+(V3)2=2由,：.AR=247+2,如图3,AHV,连接AP,以AH为边在AH的作等边三角形；AM=AM,N4MP=60°,•・.△APM是等边三角形，同理(1)得：/.ZAVP=ZAHM=90°,...点P在与过点V,与AV垂直的直线运动，作4P'LVP于P',当「运动到P'时，P”最小，在RtZ\"KP'中，ZAVP'=ZAVP'-ZAVH=30a,""=!"HV=1AH=a+l,...P4的最小值是：V7+i.10.正方形ABCC,点E在边BC上，连AE.(1)如图1,若tan/EAC=_l,AB=4,求EC长；3(2)如图2,点F在对角线AC上，满足过点F作FGLAC交CO于G,点”在线段FG上(不与端点重合)，连接AH.若NEA〃=45°,求证：EC=HG+近FC；(3)如图3,在(1)的条件下，点G是AO中点，点〃是直线CO上的一动点，连GH,将△OG”沿着G“翻折得到△PG”，连PB交AE于Q,连以、PD,当史最小值时，PQ图1图2图3请直接写出图1图2图3［解答］(1)解：如图\,作EF±AC于F,在正方形A8CC中，BC=AB=4,ZACB=45°,AC=&AB=4%,设CE=2x,BE=4-lx,在RtZSCE尸中，EF=CF—y/2x，：.AF=AC-CF=4近-yf2x，在RtAAEF中，VtanZCA£=^1A,AF3...V2x—1,W2-V2x3***x=1,(2)证明：如图2,BEP：.CE=2x=2(2)证明：如图2,BEP图2 连接AG,延长G尸交BC于P,连接AP,在正方形A8CQ中，ZACB=ZACD=45°,ZBAC=45°,VCF1FG,；・NCFP=NCFG=90°,:・NCGF=NCPF=45°,：.CP=CG,：.PF=FG,是PG的垂直平分线，：.AP=AG,'：ZBAC=ZEAH=45°,AZBAC-ZEAF=ZEAH-ZEAF,即：ZBAE=ZFAH,在△4BE和△A/7/中，'NBAE=NFAHZB=ZAFH，AB=AF:.△ABE^XAFH(AAS),：.AE=AH,在△4BP和△4FG中，NABP=/AFH=90。，[AB=AF,Iap=ag'RtAABP^RtAAFG(HL),：.ZBAP=ZFAG,：.NBAP-NBAE=N必G-ZFAH,即：ZEAP=ZHAG,在△£>1尸和△HAG中，'AE=AHZEAP=ZHAG«AP=AG:.△EAP/XHAG(SAS),：.EP=GH,在RtZXCPF中，CP=®FC,：.CE=EP+CP=GH+y/2FC：(3)解:如图3,图3 PK//BC,交.AE于K,：.APKQs4BEQ,.BQ=BE"PQPK"•BQ+PQ=BE+PK"PQPK'即史=2+i,PQPK当况最小时，pk最大，PQ,:PG=DG=2,...点P在尸在以G为圆心，2为半径的圆上，作P'W//AE,切0G于P',交AO的延长线于W,当点P运动到P'时，空最小，ZAWP'=NDAE,PQ作P'T_LA。于T,连接GP',：.GP'1.P'W,：.ZAWP'+ZWGP'=90°,VZDA£+ZBA£=90°,：.ZWGP'=ZBAE,在RtZXGWP'中，WP'=GP'-tanZWGP'=2・tan/84E=2><^L=2x2=l,AB4在RtZXP'WT中，P'W=\,NAWP'=NDAE=NAEB,P'T=WP'•sinZAW/>/=sinZAEB=^-=TOC\o"1-5"\h\zAE2V5 5•••Saad=1•仙叩/x4X 近..2 2 5 511.在等边△ABC中，。是边AC上一动点，连接B。，将8。绕点。顺时针旋转120°,得到QE,连接CE.(1)如图1,当8、A、E三点共线时，连接AE,若AB=2,求CE的长；(2)如图2,取C£的中点F,连接。儿猜想4。与。尸存在的数量关系，并证明你的猜想；(3)如图3,在(2)的条件下，连接BE、AP交于G点.若GF=DF,请直接写出曲地BE的值 .图1 图2 图3/.ZAFE=90°,，：BD=DE,NBDE=120°,:.NBED=NDBE=180°_/BDE=]8Ci。720°=3。。,2 2•••△ABC是等边三角形，：.ZBAC=60°,/.ZADB=90°,

，AO=£aB=1'：.ZADE=ZBAC-ZAED=60a-30°=30°,；.AE=AO=1,•.•/AFE=90°,NEAF=NBAC=60°,：.AF=AE'cos60°=A,EF=A£>sin60°=返，在RtACEF中，CF=AC+AF=2+1.2 2 2=$,EF=近，2 2_ ・"S’(■!)2+乌)2=忏(2)如图2,理由如下:连接理由如下:连接A尸并延长至G,使尸G=AF,丁产是CE的中点,:,EF=CF,,/NEFG=NCFA,・•・△£尸G也△(?4(SAS),:・EG=AC,NCAF=NEGF,：.AC//EG,・•・NDEG=NAOE,VZBDE=nO°,/.ZADE+ZADB=l20°,:△ABC是等边三角形，：.AB=AC,ZBAC=60°,/.ZABD+ZADB=\20°,EG=AB,:.ZADE=ZABD,:.NABD=NDEG,*：DE=BD,•••△OEG丝ZXOBA(SAS),：.AD=DG,NEDG=NADB,:・4DAG=/AGD,NEDG+NADE=NADB+/ADE=NBDE,：.ZADG=120°,/.ZDAG=30°,*：AD=DG,AF=FG,：.DF±AG,：.ZADF=90°,=/AD；(3)如图3,连接。G,作于”,由(2)知：ZAFD=90Q,ZFAD=30°,/DEB=30°,；・/FAD=NDEB,N8AF=NBAC+NOAF=90°,工点、A、B、D、G共圆，AZBDG=180°-ZBAF=90°,■:GF=DF,；・NFGD=NGDF=45°,AZA8D=ZFGD=45°,：・NFDG=NABD=45°,在RtAA。“中，ZBAC=60°,设A”=jg则B"=O"=A〃・tan60°=®c,AD=2x,.\AC=AB=AH+BH=(1+^3)工，BD=J^•；BE=2・(如sin60°)=2*心:.返=3&x,2 _：.CD=AC-AD=(1+V3)x-2x= .•.WA0=(立7)耳()xBE 3V2x=2>/3_=V6~372~12.如图，等腰直角△ABC中，AB=AC,NBAC=90：过点A作AP〃BC,连接CP交AB于点O,连接BP.(1)如图1,若NBOP=75°,BC=6a/3+6,求线段OC的长；(2)如图2,K为8C中点，连接AK,并延长至0,使AP=AQ,连接CQ.若PB=PO,求证：OC=&OP；(3)如图3,若AP=BC,点。，E在AC边上，连接OD,OE,且NAOO=』/AEO,2点G为A尸边上一个动点，连接0G,将△AOG沿OG翻折，得到△AOG,点H是线段BP的中点，连接AH,以AH为斜边向左侧作等腰直角△47/M,直角边所在直线交PC于点N,连接尸M,若。。=2/万，OE=17,当线段PM有最小值时，请直接写出△PHN与四边形AGOE的面积之比.答】解：(1)如图1,过点。作OFLBC于点凡则N8FO=NCFO=90°,"：AB=AC,NBAC=90°,/.ZABC=45°,:・BF=OF,/80/=45°,VZBOC=180°-ZBOP=180°-75°=105°,：.ZCOF=ZBOC-ZBOF=105°-45°=60°, CF=OF-tanZCOF=BF-tan600=«BF,:3尸+C尸=3C=6%+6,:.BF+MbF=6M+6,：.BF=OF=6,cc=OF= 6 =]2・cosZCOFcos600(2)如图2,连接3Q,OQ,・・AB=AC,K是3C的中点，：.AKlBCf/BAK=NCAK,9：ZBAC=90°,:./BAK=NCAK=-1/8AC=45°,2:AP//BC,：.AK±AP,BPAQ.LAP,：.ZPAQ=90°,：.ZPAB=ZPAQ-ZBA/C=90°-45°=45°,:.ZPAB=/BAK=/CAK,即ZPAB=ZQAB=Z0AC,在△以8和△Q48中，'AP=AQ,NPAB=NQAB，AB二AB：./^PAB^^QAB(SAS),:.PB=QB,ZABP=ZQBAf,:PB=PO,；・PB=BQ=PO,NPOB=NPBO,：・4P0B=4ABQ,：.PO//BQ9・・四边形POQB是平行四边形，：.PB=OQ,'AP=AQ在△氏8和△Q4C中，，ZPAB=ZQAC-AB=AC：./\PAB^/\QAC(S4S),：.PB=CQ,NPBO=NQCA,：.OQ=CQ,四边形POQB是平行四边形，：.BP//OQ,：.NPBO=NBOQ,：.ZQCA=ZBOQ,"：ZBOQ+ZAOQ=\SO°,：.ZQCA+ZAOQ=180°,VZAOQ+ZCQO+ZQCA+ZBAC=360a,NBAC=90°,...NOQC=360°-180°-90°=90°,:.OQi+CQi=OC1,：.O(f+OQ1=OC1,：.OC=yf2OQ,"：OP=PB=OQ,：.OC=y/2OP；(3)'：AP^BC,AP//BC,二四边形AC8P是平行四边形，：.BO=AO,如图，连接A'P,作。关于40的对称点O',连接O。'，过点、E作ELLOD'于3设NAOO=0,则NO。。'=2p,"/zaod=Azaeo,2：.ZOED'=20,在△AOO中，VZBAC=90°,：.ZODA=ZOD'A=90°-p,VZEOD=ZODA-2p=90°-30,：.ZEOD'=90°-30+20=90°-p,：.ZEOD'=NED'0=90°-p,:.EO=ED'=17,\'EL±OD',:.NLEO=NLED'=0,：.OL=D'L=LoD'=Aod=V17，2 2在RtZXEL。'中，LD'2+El}=ED'2,：.EL=NTi，in'1 -••tan/LED，=*—U=tan0,ILL2tanNA0。=25_=4，OA4：.4AD=OA,在RtAAOD中，•.•00=2717，：.OD1=OA1+AD1,：.AD=2,OA=8,Saaoe=工X04XAE=60,2•.•点G为4P边上一个动点，连接OG,将△AOG沿0G翻折，得到△△'OG,.♦.A'0=A。，•••A'是以。为圆心，0A的长为半径的圆上一点，：PMPAA'M,当P,M,A'三点共线时，PM：PMPA8 CM A'当M,A'在线段AP上时，PM最小值为上B4'=1AF2 4:.ag=1aa'=1ap,2 4,：ZHPA=45°,AAZ 是等腰直角三角形，：.ZPHA'=90°,•；。4=8,：.AB=[6,♦.•H是PB的中点，：.PH=1-BP=^BA=8,2 2.".A1M=PM=^-PH=4五,2：.AA'=AP-A'P=8&,VA,A'关于OG对称，：.AG'=AG=4&,：.S^PHN=—PM2=16,2同理可得，Saoag=XaG2=16,2四边形AGOE的面积为S^ph^-S^oag=60+16=76,...△PMV与四边形4GOE的面积之比为7619P A A图2 图1,此时A'为4P的中点，尹13.如图，zlABC为等边三角形，。为平面中一动点，连接CD,E点在线段CO上.(1)如图1,当点。在AB边上时，已知/4CC=15°,tanZEBC=A,BD=2,求BE2的长；(2)如图2,当点。在△ABC内部时，NBAD=NCBE,连接AO,BD,E为线段CQ中点，求证：2BE=AD+aBD；(3)如图3,ZVIBC的边长为4,BD=2,作点。关于4c的对称点N,在AC上取一点P使得AC=4PC,连接NP,DP,E点为PO中点，线时，直接写出△BEN的面积.AAo c 图1 图2答】（1）解：如图1,分别过点。作。MLBC于M,AWNC图1 '.•△ABC是等边三角形，AZDBC=ZACB=60°,VZACD=15°,：.ZBDC=15°,VZDCB=ZACB-ZACD=45",/.ZCDM=ZCEN=45°,/.ZBDM=30°,:.bm=Lbd=i,dm=Mbm=M，2,:ZCDM=NCEN=NBCD=45°,：.DM=CM=yf3,EN=CN,:.bc=M+i,；.BN=M+l-CN,连接BN,BE,当D、E、N三点共cB c图3 【解过点E作EMLBC于N,VtanZEBC=A2：.BN=2EN,•,•V3+1-CN=2EN,:.EN=®tl,BN=+2,3 3 _•••BE=y/+BN2=很2痣-宫.；o(2)如图2,延长CB至点N,使得BC=BN,连接£W,在线段ON上截取M,使MN,点E是CO中点，BN=BC,J.BE//ND,DN=2BE,：.NCBE=NBNM,:NCBE=NBAD,：.NBAD=Z.BNM,在△BAO和△BMW中,'AB=NB<ZBAD=ZBNM«AD=MN:.ABAD咨ABNM(SAS),:.BM=BD,4NBM=4ABD,：./ABN=NMBD,'：NABN=180°-ZABC=120°,：.ZMBD=\20°,：.DM=yf3BD,■:DN=DM+NM,：.2BE=AD+6BD；（3）点为PO中点，...点P,点E,点。三点共线，又：。、E、N三点共线，...点P,点E,点。，点N四点共线，；点。关于AC的对称点M：.DNLAC,DP=PN,如图4,设ON与BC交于点”，过点8作B尸，ON于F,：.PC=\,VZC=60°,DN1AC,：.ZPHC=30°,：.CH=2,HP=yfjpC=a，：.BH=2,•：BD=2,...点。与点4重合，:.dp=pn=M，,点E是OP的中点，；.EP=圆,2:.NE=§百，2；NBHP=NCHP=30°,BH=2,BFLDN,：.BF=\,DF=>]3,AS^ben=—ENXBF=AX1X宜应=W>应，一2 2 2 4当点。在8F的下方时，:BD'=BD=2,BFLDD',

:.DF=D'F=M，."P=3百=PN,•.•点E是OF的中点,:.EP=3V3 :.EP=2:.NE=:.NE=2.,•Saben=Aevxbf=AxIX92/3.=W3_(综上所述：/XBEN的面积为宜应或必应.14.在等腰直角△ABC中，ZACB=90°,AC=BC,/XABC外有一点。满足AO_L8O,8。与AC相交于点E,连接CD.(1)如图1,若AE=2,BE=1。,求8。的长;(2)如图2,点尸为BD上一点，连接CF,点G为CF的中点，连接。G,若4c=2OG,猜想8尸与CD存在的数量关系，并证明你的猜想:(3)如图3,在(2)问条件下，当尸为8。的中点时，将△AE8沿直线A8翻折至AABCC所在平面内，得AAEB,连接GE',DE',AG,请直接写出‘^E'DG的比值.SAADG答】解：答】解：(1)设8C=AC=x,：.CE=AC-AE=x-2,在RtZXBCE中，由勾股定理得,bc2+ce2=be1,•'.x2+(x-2)2=1()2,•*.xi=8,X2=-6(舍去)，；.8C=AC=8,CE=6,

VZADB=ZACB=90,NAED=NBEC,：.dADEsABCE,AE-BE2-1AE-BE2-10==DECEDE6:,DE=3:,DE=35・・・3。=10+0=区55；・CG=FG,；・CG=FG,使G〃=OG,YG是C尸的中点,:/DGC=/HGF,:•△DGgAHGF(SAS),：.FH=CD,NCDG=NGHF,：.CD//FH,：.4HFN=4BDC,:AC=2DG,：.AC=DH,作CM_LA。于M,HNLBD于N,:・/M=NHNF=90°,ZADB=ZACB=90°,••点A、。、C、3共圆，：.ZCDM=ZABC=45°,ZBDC=ZBAC=459,ZDAC=ZCBD,；・NCDM=NHFN=45°,:・4CMD父4HFN(AAS),：・CM=HN,/.RtAACA/^RtAD/7/V(HL),；・NDAC=NFDH,；・NFDH=NCBD,VAC=BC,：.DH=BC,:BD=BD,:・/\BDHq4DBC(SAS),：.BH=FH,，NHBF=NHFB=45°,ZBHF=90°,m&FH=&CD；(3)如图2, 图2作CHLBD于H,AMLDG于M,E'R1.DG于R,延长GO和E'A交于N,作NT_L40于T,,:BF=DF=&CD,NCDF=45°,...可得△£>(7/是等腰直角三角形不妨设CC=CF=2,设/CBE=a,由上知：ZDAC=ZCBE=a,：.CG=yf5>CH=如,BF=2近,：.AC=BC=2y/5<BH=3版/.tanZCBE=^l=A,sinNCBE=2f!L,cos/CBE=W^,BH3 10 10,:AD=BF=2最,tanZABD——2VCG=1,CD=2,tanZCDG=A,tanZGDF=A,2 3VZADB=ZAMD=90°,：.ZMAD+ZADM=N4OM+NFQG=90°,:.ZMAD=/GDF=/CBE=a,,/NNAT=/NAC-ZDAC=90°-a,ZADM=90°-ZMAD=90°-a,：.ZNAT=ZADM,：.DN=AN,,•M7'=D7'=1AD=V2>/.ZANT=90°-NNAD=a,：.AN=.J^—=-^=-=275,sinCLV10.10在RtZXAOE中，NAMING,E'RING,：.AM//E'R,:.△NAMsRNE'R,Dyfs+^\f5•E，RNE，=AN+AE，亍［=5，，-AM―AN AN-~275一5，.SAEZDG^5SAADG315.在△ABC中，ZBAC=90°,AB=AC.(1)如图1,过点C作CO_L8O交AB于M,若BM=2,tan/DCB」。求的长；3(2)如图2,若AO_LAE,S.AD=AE,延长A。、CB交于点F,作EG_LE4交CB于点G.猜想HXCE、EG之间有何数量关系？并证明你的结论.(3)如图3,若AB=4&，。为一动点且始终有5OLCO，取CC的中点M,连接将MB绕点8逆时针旋转90°得到点E,直接写出△A8E面积的最大值.F BGB C图1 图2【解答】解：(1)如图1,:A,图1 作MNLBC于N,：.NMNB=；AB=AC,NBAC=90°,/.ZABC=ZACB=45°,在RtAMNB中，BN=MN=sin/ABC=2X亚=&,2在Rt^CMN中，tanZBCD=J^=ACN3:.CN=3MN=3近,•・CM=yJm/KN?=2遥,BC=CN+BN=4近,；/CNM=ND=90°,/MCN=NBCD,:.ACMNsACBD,・CM=CN"bccd'.2V5=3a/2•・破-CD-，:.CD=^^,：.DM=CD- ；5 5c ° j图3:NMNC=90°,(2)如图2,VAD1AE,/.ZDAE=90°,：.ZDAE=ZBAC9：.ZDAE-NBAE=NBAC-NABE,：,/DAB=NCAE,<AD=AE在△AAO和△CAE中，</DAB=NCAE，AB二AC.•.△BAOg/XCAE(SAS),:・BD=CE,ZAEC=ZAD5=180°-ZAED=180°-45°=135°,AZBDF=180°-NAO8=45°,・・・NBDF=NADC=45°,■:/FMFCD=/ACB,ZACD+ZFCD=ZACB,：.ZF=NACO,：・4BFDs&aCD,・BD-AD••一■一■■——DFCD:BD=CE,AD=^2-DE,2^-DE.CE_2• ,DFCD.V2CE-DE•• -9DFCDVZAEG=ZDAE=90a,J.EG//AF,:./XCEGs^CDF,aeg=ce("dfcd"..CE,DE_.・―•一十 I,CDCD..EG+V2CE=11DFDF:.EG+近CE=DF；⑶如图3, 图3取BC的中点/，连接OF,取CF的中点/,连接M/,VZBAC=90°,AB=4C=4&,.*.BC=&AB=8,VZBDC=90°,"'-DF=2*BC=4,.,点M是CO的中点，：JM=XdF=2,2...点M在以/为圆心，2为半径的圆上运动，作。且。B=B/=6,连接。E,：NEBM=NOBI=90°,；.NEBM-NOBM=NOBI-NOBM,：.ZEBO=ZMBI,：EB=BM,：.4EBO沿/XMBl(SAS),：.OE=IM=2,...点E在以。为圆心，2为半径的圆上运动，过点。作ORLAB交。。于点H,当点E运动到点，时，△ABE的面积最大，在RtZ\OBR中，OB=6,NABO=NOBI-NABC=9Q°-45°=45°,二。/?=®0B=3五,2:.HR=OR+OH=3近+2,•••Smbe*大=/AB・HR=/x4&