2022年数学九上《利用一元二次方程解决面积问题2》课件(新北师大版)

第2课时利用一元二次方程

解决面积问题第2课时利用一元二次方程

解决面积问题1一、列方程解应用题的一般步骤是:1.审:审清题意:什么,求什么?已,未知之间有什么关系;2.设:设未知数,语句要完整,有单位的要注明单位;3.列:列代数式,列方程;4.解:解所列的方程;5.验:是否是所列方程的解;是否符合题意;6.答:答案也必需是完整的语句,注明单位.二、列方程解应用题的关键是:找出相等关系.回顾旧知一、列方程解应用题的一般步骤是:回顾旧知2例1：如图，小明把一张边长为10cm的正方形硬纸板的四周剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方形盒子。如果要求长方体的底面面积为，那么剪去的正方形边长为多少？边长2＝面积正方形硬纸板面积的一半，81例1：边长2＝面积正方形硬纸板面积的一半，813解：设剪去的正方形的边长为xcm，那么长方体的底面边长为___________，依题意得：(10－2x)2＝8110－2x＝±9∴x1＝x2＝(10－2x)cm(不合题意，舍去)答：剪去的正方形的边长为cm。解：设剪去的正方形的边长为xcm，那么长方体的底面边长4练习一：1.取一张长与宽之比为5：2的长方形纸板，剪去四个边长为5cm的小正方形，并用它做一个无盖的长方体形状的包装盒。要使包装盒的容积为200cm3〔纸板的厚度略去不计〕，问这张长方形纸板的长与宽分别为多少cm？练习一：1.取一张长与宽之比为5：2的长方形纸板，剪去四个边52.如图，在长方形钢片上挖去一个长方形，制成一个四周宽相等的长方形框。长方形钢片的长为30cm，宽为20cm，要使制成的长方形框的面积为400cm2，求这个长方形框的框边宽。200cm230－2x20－2x2.如图，在长方形钢片上挖去一个长方形，制成一个四周宽相等的6例2.在一块宽20m、长32m的矩形空地上，修筑宽相等的三条小路〔两条纵向，一条横向，纵向与横向垂直〕，剩下的局部建成面积为570花坛，问小路的宽应是多少？例2.在一块宽20m、长32m的矩形空地上，修筑宽相等的三条7练习二：1.如图，在一块长为92m，宽为60m的矩形耕地上挖三条水渠，水渠的宽都相等，水渠把耕地分成面积均为885m2的6个矩形小块，水渠应挖多宽？

练习二：1.如图，在一块长为92m，宽为60m的矩形耕地上挖8解：设水渠应挖xm宽，那么矩形小块的长为m，宽为m，依题意得：化为一般形式：x2－106x＋105＝0(x－1)(x－105)＝0∴x1＝1，x2＝105(不合题意，舍去)答：水渠应挖1m宽。解：设水渠应挖xm宽，那么矩形小块的长为9例3

学校要建一个面积为150平方米的长方形自行车棚，为节约经费，一边利用18米长的教学楼后墙，另三边利用总长为35米的铁围栏围成，求自行车棚的长和宽.例3学校要建一个面积为150平方米的长方形自行车棚，为节约10问题:一根长22cm的铁丝(1)能否围成面积是30cm2的矩形.(2)能否围成面积是32cm2的矩形?并说明理由.(3)用这根铁丝围成的矩形最大面积是多少？练习三问题:一根长22cm的铁丝练习三11情境分析:如果设围成的矩形的长为ｘcm,那么宽就是cm，即〔11-x〕cm根据：矩形的长×矩形的宽=矩形的面积可列出方程情境分析:如果设围成的矩形的长为ｘcm,那么宽就是12解：设这根铁丝围成的矩形的长是xcm，那么矩形的宽是〔11-x〕cm(1)如果矩形的面积是30cm2，那么

整理得解得当时，当时，答：长22cm的铁丝能围成面积是30cm2的矩形。解：设这根铁丝围成的矩形的长是xcm，那么矩形的宽是〔11-13(2)如果矩形的面积是32cm2,那么整理得因为所以此方程没有实数解.答:长22cm的铁丝不能围成面积是32cm2的矩形.(2)如果矩形的面积是32cm2,那么整理得因为所以此方程没14配方法我们通过配成完全平方式的方法,得到了一元二次方程的根,这种解一元二次方程的方法称为配方法(solvingbycompletingthesquare)回顾与复习1平方根的意义:完全平方式:式子a2±2ab+b2叫完全平方式,且a2±2ab+b2=(a±b)2.

如果x2=a,那么x=用配方法解一元二次方程的方法的助手:配方法我们通过配成完全平方式的方法,得到了一元二次方程的根,15用配方法解一元二次方程的步骤:1.化1:把二次项系数化为1(方程两边都除以二次项系数);2.移项:把常数项移到方程的右边;3.配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方;4.变形:方程左边配方,右边合并同类项;5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方;6.求解:解一元一次方程;7.定解:写出原方程的解.用配方法解一元二次方程的步骤:1.化1:把二次项系数化为1(16公式法一般地,对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)

上面这个式子称为一元二次方程的求根公式.用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法(solvingbyformular).老师提示:用公式法解一元二次方程的前提是:1.必须是一般形式的一元二次方程:ax2+bx+c=0(a≠0).

2-4ac≥0.回顾与复习2公式法一般地,对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠17因式分解法当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时,我们就可以用分解因式的方法求解.这种用分解因式解一元二次方程的方法称为因式分解法.老师提示:1.用因式分解法的条件是:方程左边易于分解,而右边等于零;2.关键是熟练掌握因式分解的知识;3.理论依据是“如果两个因式的积等于零,那么至少有一个因式等于零.〞回顾与复习3因式分解法当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成两个一18运用方程还能解决什么问题例1如图,某海军基地位于A处,在其正南方向200海里处有一目标B,在B的正东方向200海里处有一重要目标C.小岛D位于AC的中点,岛上有一补给码头;小岛F位于BC上且恰好处于小岛DA出发,经B到C匀速巡航,一艘补给船同时从D出发,沿南偏西方向匀速直线航行,欲将一批物品送达军舰.(1).小岛D与小岛F相距多少海里?(2).军舰的速度是补给船的2倍,军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处,那么相遇时补给船航行了多少海里?(结果精确到0.1海里)源于生活,服务于生活东北ABCDEF运用方程还能解决什么问题例1如图,某海军基地位于A处,在其19行家看门道解:(1)连接DF,那么DF⊥BC.

例题欣赏☞东北ABCDEF∠C=450.行家看门道解:(1)连接DF,那么DF⊥BC.例题欣20行家看门道解:(2)设相遇时补给船航行了x海里,那么DE=x海里,AB+BE=2x海里,EF=AB+BC-(AB+BE)-CF=(300-2x)海里.在Rt△DEF中，根据勾股定理可得方程

例题欣赏☞东北ABCDEF行家看门道解:(2)设相遇时补给船航行了x海里,那么DE=x21随堂练习1.《九章算术》“勾股〞章中有一题:“今有二人同所立.甲行率七,乙行率三.乙东行,甲南行十步而斜东北与乙会.问甲乙各行几何?〞解:设甲,乙相遇时所用时间为x,根据题意,得(7x-10)2=(3x)2+102.∴x1=3.5,x2=0(不合题意,舍去).答:甲走了步,乙走了步.大意是说:甲,乙二人同时从同一地点出发,甲的速度是7,乙的速度是3.乙一直向东走,甲先向南走10步,后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇.那么相遇时,甲,乙各走了多远?〞乙:3x甲:10ABC7x-10整理得:2x2-7x=0.解这个方程,得∴3x=3×3.5=10.5,7x=7×3.5=24.5.随堂练习1.《九章算术》“勾股〞章中有一题:“今有二人同所立22动脑筋争先赛2.绿苑小区住宅设计,准备在每两幢楼房之间,开辟面积为900平方米的一块长方形绿地,并且长比宽多10米,那么绿地的长和宽各为多少?xx+10动脑筋争先赛2.绿苑小区住宅设计,准备在每两幢楼房之间,开辟23想一想先胜为快3.一块长和宽分别为60厘米和40厘米的长方形铁皮,要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体,使它的底面积为800平方厘米.求截去正方形的边长.x60-2x40-2x800cm2想一想先胜为快3.一块长和宽分别为60厘米和40厘米的长方形24答:彩纸条的宽约为2.1cm.4.)答:彩纸条的宽约为2.1cm.4.)25(数字问题)两个连续奇数的积是323，求这两个数．解法一：设较小奇数为x，那么另一个为x＋2，依题意，得x(x＋2)＝323.整理后，得x2＋2x－323＝0.解得x1＝17，x2＝－19.由x＝17，得x＋2＝19.由x＝－19，得x＋2＝－17.答：这两个奇数是17,19或者－19，－17.(数字问题)两个连续奇数的积是323，求这两个数．由x＝26解法二：设较小的奇数为x－1，那么较大的奇数为x＋1.依题意，得(x－1)(x＋1)＝323.整理后，得x2＝324.解得x1＝18，x2＝－18.当x＝18时，18－1＝17,18＋1＝19；当x＝－18时，－18－1＝－19，－18＋1＝－17.答：两个奇数分别为17,19或者－19，－17.解法二：设较小的奇数为x－1，那么较大的奇数为x＋1.解27解法三：设较小的奇数为2x－1，那么另一个奇数为2x＋1.依题意，得(2x－1)(2x＋1)＝323.整理后，得4x2＝324.解得2x＝18，或2x＝－18.当2x＝18时，2x－1＝18－1＝17，2x＋1＝18＋1＝19；当2x＝－18时，2x－1＝－18－1＝－19，2x＋1＝－18＋1＝－17.答：两个奇数分别为17，19或者－19，－17.解法三：设较小的奇数为2x－1，那么另一个奇数为2x＋128列方程解应用题的一般步骤是:1.审;2.设;3.列;4.解;5.验;6.答.列方程解应用题的关键是:找出相等关系.课堂小结列方程解应用题的一般步骤是:课堂小结29第2课时利用一元二次方程

解决面积问题第2课时利用一元二次方程

解决面积问题30一、列方程解应用题的一般步骤是:1.审:审清题意:什么,求什么?已,未知之间有什么关系;2.设:设未知数,语句要完整,有单位的要注明单位;3.列:列代数式,列方程;4.解:解所列的方程;5.验:是否是所列方程的解;是否符合题意;6.答:答案也必需是完整的语句,注明单位.二、列方程解应用题的关键是:找出相等关系.回顾旧知一、列方程解应用题的一般步骤是:回顾旧知31例1：如图，小明把一张边长为10cm的正方形硬纸板的四周剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方形盒子。如果要求长方体的底面面积为，那么剪去的正方形边长为多少？边长2＝面积正方形硬纸板面积的一半，81例1：边长2＝面积正方形硬纸板面积的一半，8132解：设剪去的正方形的边长为xcm，那么长方体的底面边长为___________，依题意得：(10－2x)2＝8110－2x＝±9∴x1＝x2＝(10－2x)cm(不合题意，舍去)答：剪去的正方形的边长为cm。解：设剪去的正方形的边长为xcm，那么长方体的底面边长33练习一：1.取一张长与宽之比为5：2的长方形纸板，剪去四个边长为5cm的小正方形，并用它做一个无盖的长方体形状的包装盒。要使包装盒的容积为200cm3〔纸板的厚度略去不计〕，问这张长方形纸板的长与宽分别为多少cm？练习一：1.取一张长与宽之比为5：2的长方形纸板，剪去四个边342.如图，在长方形钢片上挖去一个长方形，制成一个四周宽相等的长方形框。长方形钢片的长为30cm，宽为20cm，要使制成的长方形框的面积为400cm2，求这个长方形框的框边宽。200cm230－2x20－2x2.如图，在长方形钢片上挖去一个长方形，制成一个四周宽相等的35例2.在一块宽20m、长32m的矩形空地上，修筑宽相等的三条小路〔两条纵向，一条横向，纵向与横向垂直〕，剩下的局部建成面积为570花坛，问小路的宽应是多少？例2.在一块宽20m、长32m的矩形空地上，修筑宽相等的三条36练习二：1.如图，在一块长为92m，宽为60m的矩形耕地上挖三条水渠，水渠的宽都相等，水渠把耕地分成面积均为885m2的6个矩形小块，水渠应挖多宽？

练习二：1.如图，在一块长为92m，宽为60m的矩形耕地上挖37解：设水渠应挖xm宽，那么矩形小块的长为m，宽为m，依题意得：化为一般形式：x2－106x＋105＝0(x－1)(x－105)＝0∴x1＝1，x2＝105(不合题意，舍去)答：水渠应挖1m宽。解：设水渠应挖xm宽，那么矩形小块的长为38例3

学校要建一个面积为150平方米的长方形自行车棚，为节约经费，一边利用18米长的教学楼后墙，另三边利用总长为35米的铁围栏围成，求自行车棚的长和宽.例3学校要建一个面积为150平方米的长方形自行车棚，为节约39问题:一根长22cm的铁丝(1)能否围成面积是30cm2的矩形.(2)能否围成面积是32cm2的矩形?并说明理由.(3)用这根铁丝围成的矩形最大面积是多少？练习三问题:一根长22cm的铁丝练习三40情境分析:如果设围成的矩形的长为ｘcm,那么宽就是cm，即〔11-x〕cm根据：矩形的长×矩形的宽=矩形的面积可列出方程情境分析:如果设围成的矩形的长为ｘcm,那么宽就是41解：设这根铁丝围成的矩形的长是xcm，那么矩形的宽是〔11-x〕cm(1)如果矩形的面积是30cm2，那么

整理得解得当时，当时，答：长22cm的铁丝能围成面积是30cm2的矩形。解：设这根铁丝围成的矩形的长是xcm，那么矩形的宽是〔11-42(2)如果矩形的面积是32cm2,那么整理得因为所以此方程没有实数解.答:长22cm的铁丝不能围成面积是32cm2的矩形.(2)如果矩形的面积是32cm2,那么整理得因为所以此方程没43配方法我们通过配成完全平方式的方法,得到了一元二次方程的根,这种解一元二次方程的方法称为配方法(solvingbycompletingthesquare)回顾与复习1平方根的意义:完全平方式:式子a2±2ab+b2叫完全平方式,且a2±2ab+b2=(a±b)2.

如果x2=a,那么x=用配方法解一元二次方程的方法的助手:配方法我们通过配成完全平方式的方法,得到了一元二次方程的根,44用配方法解一元二次方程的步骤:1.化1:把二次项系数化为1(方程两边都除以二次项系数);2.移项:把常数项移到方程的右边;3.配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方;4.变形:方程左边配方,右边合并同类项;5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方;6.求解:解一元一次方程;7.定解:写出原方程的解.用配方法解一元二次方程的步骤:1.化1:把二次项系数化为1(45公式法一般地,对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)

上面这个式子称为一元二次方程的求根公式.用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法(solvingbyformular).老师提示:用公式法解一元二次方程的前提是:1.必须是一般形式的一元二次方程:ax2+bx+c=0(a≠0).

2-4ac≥0.回顾与复习2公式法一般地,对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠46因式分解法当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时,我们就可以用分解因式的方法求解.这种用分解因式解一元二次方程的方法称为因式分解法.老师提示:1.用因式分解法的条件是:方程左边易于分解,而右边等于零;2.关键是熟练掌握因式分解的知识;3.理论依据是“如果两个因式的积等于零,那么至少有一个因式等于零.〞回顾与复习3因式分解法当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成两个一47运用方程还能解决什么问题例1如图,某海军基地位于A处,在其正南方向200海里处有一目标B,在B的正东方向200海里处有一重要目标C.小岛D位于AC的中点,岛上有一补给码头;小岛F位于BC上且恰好处于小岛DA出发,经B到C匀速巡航,一艘补给船同时从D出发,沿南偏西方向匀速直线航行,欲将一批物品送达军舰.(1).小岛D与小岛F相距多少海里?(2).军舰的速度是补给船的2倍,军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处,那么相遇时补给船航行了多少海里?(结果精确到0.1海里)源于生活,服务于生活东北ABCDEF运用方程还能解决什么问题例1如图,某海军基地位于A处,在其48行家看门道解:(1)连接DF,那么DF⊥BC.

例题欣赏☞东北ABCDEF∠C=450.行家看门道解:(1)连接DF,那么DF⊥BC.例题欣49行家看门道解:(2)设相遇时补给船航行了x海里,那么DE=x海里,AB+BE=2x海里,EF=AB+BC-(AB+BE)-CF=(300-2x)海里.在Rt△DEF中，根据勾股定理可得方程

例题欣赏☞东北ABCDEF行家看门道解:(2)设相遇时补给船航行了x海里,那么DE=x50随堂练习1.《九章算术》“勾股〞章中有一题:“今有二人同所立.甲行率七,乙行率三.乙东行,甲南行十步而斜东北与乙会.问甲乙各行几何?〞解:设甲,乙相遇时所用时间为x,根据题意,得(7x-10)2=(3x)2+102.∴x1=3.5,x2=0(不合题意,舍去).答:甲走了步,乙走了步.大意是说:甲,乙二人同时从同一地点出发,甲的速度是7,乙的速度是3.乙一直向东走,甲先向南走10步,后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇.那么相遇时,甲,乙各走了多远?〞乙:3x甲:10ABC7x-10整理得:2x2-7x=0.解这个方程,得∴3x=3×3.5=10.5,7x=7×3.5=24.5.随堂练习1.《九章算术》“勾股〞章中有一题:“今有二人同所立51动脑筋争先赛2.绿苑小区住宅设计,准备在每两幢楼房之间,开辟面积为900平方米的一块长方形绿地,并且长比宽多10米,那么绿地的长和宽各为多少?xx+10动脑筋争先赛2.绿苑小区住宅设计,准备在每两幢楼房之间,开辟52想一想先胜为快3.一块长和宽分别为60厘米和40厘米