测函数列三种收敛性的区别与联系

PAGE目录TOC\o"1-2"\h\z\u1．前言 12．概念 12.1几乎处处收敛 12.2几乎一致收敛 12.3依测度收敛 23．三种收敛性之间的区别 23.1存在可测函数列几乎处处收敛而不依测度收敛 23.2存在可测函数列依测度收敛而不几乎处处收敛 23.3存在可测函数列几乎处处收敛而不几乎一致收敛 44．三种收敛性的充要条件 44.1几乎处处收敛的充要条件 44.2几乎一致收敛的充要条件 44.3依测度收敛的充要条件 65．三种收敛性之间的联系 65.1几乎一致收敛与几乎处处收敛 65.2依测度收敛与几乎处处收敛 85.3依测度收敛与几乎一致收敛 105.4三种收敛之间的关系图： 116．结论 117．致谢 128．参考文献 13

可测函数列三种收敛性的区别与联系摘要：对于可测集合E上的几乎处处有限的可测函数列来说有三种常见类型的收敛：几乎处处收敛，几乎一致收敛和依测度收敛。本文首先介绍可测函数列三种收敛的概念，并讨论几乎处处收敛，几乎一致收敛和依测度收敛三者之间的关系。这几种概念是伴随测度的建立而产生的新的收敛性，相对其他两种收敛性来说，依测度收敛的收敛条件是比较弱的，与熟知的处处收敛有很大的差异。Egorov定理、Riesz定理和Lebesgue定理等揭示了这几种收敛之间的关系。关键词：几乎处处收敛几乎一致收敛依测度收敛中图分类号：O17DifferenceandConnectionbetweenThreeTypesofConvergenceofMeasurableFunctionSequence

JiangZhong(Tutor：YouXuexiao)

(DepartmentofMathematics,HubeiNormalUniversity,HuangshiHubei435002,China)Abstract:ForthemeasurablefunctionsequencewhichisfinitealmosteverywhereonthemeasurablesetE,therearethreetypesofcommonconvergence:convergencealmosteverywhere,convergencealmostuniformandconvergenceinmeasurable.Thisarticlehasfirstdescribedtheconceptsofthosethreetypesofconvergence,andthendiscussedtherelationshipamongconvergencealmosteverywhere,convergencealmostuniformandconvergenceinmeasurable.Thoseconceptsarethenewconvergence,whicharearisedwiththeestablishmentofmeasure.Comparingwiththeothertwotypesofconvergence,theconditionsofconvergenceinmeasurablearerelativelyweak,andhaslargedifferencewiththewell-knownconvergencealmosteverywhere.TheEgorovtheorem,RiesztheoremandLebesguetheoremandsoonrevealtherelationshipamongthesetypesofconvergence.Keywords:ConvergencealmosteverywhereConvergencealmostuniformConvergenceinmeasurablePAGE13可测函数列三种收敛性的区别与联系蒋忠（指导教师，游雪肖）（湖北师范学院数学与应用数学湖北黄石435002）1．前言本文介绍了几乎处处收敛、几乎一致收敛与依测度收敛，它们是伴随测度的建立而产生的新的收敛性。本文首先讨论几乎处处收敛、几乎一致收敛与依测度收敛的区别，然后再探讨这三种收敛的充要条件，初步表现出这三种收敛之间的蕴含关系，然后再探讨这三种收敛之间的联系，Egorov定理和Riesz定理等揭示了这几种收敛之间的关系。Riesz定理在几乎处处收敛和较难处理的依测度收敛之间架起了一座桥梁。2.概念2.1几乎处处收敛设及都是上的广义实值函数。若，则称在E上几乎处处收敛于。简记为于E或于E。2.2几乎一致收敛设及都是可测集E上几乎处处有限的广义实值函数。若对，存在E的可测子集，，使在上一致收敛于，则称在E上几乎一致收敛于，记为于E，或于E。简记为于E，或于E。2.3依测度收敛设及都是可测集E上几乎处处有限的可测函数。若，都有，则称在E上依测度收敛于，记为于E，或于E。3．三种收敛性之间的区别3.1存在可测函数列几乎处处收敛而不依测度收敛例1取=定义函数列如下： ,,显然为上几乎处处有限的可测函数，且.但对,所以在上不依测度收敛于.3.2存在可测函数列依测度收敛而不几乎处处收敛例2取=，定义=1，==一般地，将等分，我们定义第组的个函数为=,作函数列如下：,.显然{}为上处处有限的可测函数列，记从而由必是第组中的第个函数，，所以,所以.又由中必有无穷多个函数在处的值为0，也有无穷多个函数在处的值为1，所以不存在.3.3存在可测函数列几乎处处收敛而不几乎一致收敛例3在上处处收敛于0，但从中挖去任何测度有限的可测子集，都不能使在上一致收敛于0，即于不成立。4．三种收敛性的充要条件4.1几乎处处收敛的充要条件引理设，是集合E上点点有限的函数.令集合，则..证明由几乎处处收敛的定义与引理得4.2几乎一致收敛的充要条件.

上式中事先已取定，与中的无关，故由一致收敛的“可列化”说法，即得.4.3依测度收敛的充要条件设{}为上的几乎处处有限的可测函数列，则在上依测度收敛的充要条件是存在正数，使当时， .小结：事实上上述充要条件已经蕴含了我们后面即将给出的Egorov定理，尽管三种收敛区别很大，一种收敛不能包含另一种收敛，但下面的Egorov定理、Riesz定理和Lebesgue定理说明在适当条件下,它们还是有密切联系的.5．三种收敛性之间的联系5.1几乎一致收敛与几乎处处收敛定理1（Egorov）当，若于E，则于E.证明设，，由引理，对，有.于是对任意的和自然数，存在自然数使得.令.由测度的次可加性我们有.往证在上，一致收敛于.事实上，由DeMorgan公式得（1）对任意，取k足够大使得，则由（1）式知道，当时对一切，有.即在上一致收敛于.这就证明了.定理证毕.定理1的逆定理：于E，则于E.证明因，由上面的4.2，得记.显然，令即由上面的4.1，得于E简言之，当时，由Egorov定理可知：几乎处处收敛几乎一致收敛；反之，由Egorov逆定理可知：几乎一致收敛几乎处处收敛。5.2依测度收敛与几乎处处收敛定理2（F.Riesz）设在E上依测度收敛于，则存在子列，使于E.证明设，对任意和，存在，使得当时，有.于是对任意自然数，存在自然数，使得（2），我们可适当选取使得.往证.令.对任意，当时，.这表明在上收敛于.令.则在E上收敛于.往证.由DeMorgan公式，我们有.利用（2）容易得到.因此由测度的上连续性并且利用（2），我们有这就证明了.定理3（Lebesgue）设（1）,（2）{}为上几乎处处有限的可测函数列,（3），且也是上几乎处处有限的函数，则于E.证明由Egorov定理得知，使得.所以，存在正数，使当时，,即当时，使从而当时，,证毕.简言之，若于E，由F.Riesz定理，则有子列几乎处处收敛于；反之，若，于E，由Lebesgue定理，则于E.5.3依测度收敛与几乎一致收敛若，则.证明因，由4.2，得注意到从而，上式令，即得再由依测度收敛定义，得.（二）若于E，则有一子列几乎一致收敛于.证明设于E，令则.于是可依次取出使得,今证.取定，取，使，令，则，且，这表明在上一致收敛于，即于E.由定理2的证明可知，Riesz定理的结论可加强为：存在子列，于E，也即依测度收敛可以抽子列几乎一致收敛。我们把前者称为Riesz定理①，后者称为Riesz定理②。5.4三种收敛之间的关系图：子列Riesz定理①叶果洛夫定理mE<+∞叶果洛夫逆定理Lebesgue定理mE<+∞子列Riesz定理②6．结论尽管几种收敛之间区别很大，一种收敛不能包含另一种收敛，但是Egorov定理、Riesz定理和Lebesgue定理等揭示了它们之间的联系：在某些条件下，这三者之间是可以互相推出的。因此，我们可以利用这些结论将难以解决的依测度收敛等问题转化为几乎处处收敛的问题。7．致谢本文的研究工作是在我的导师游雪肖老师的精心指导和悉心关怀下完成的，在我的学业和论文的研究工作中无不倾注着导师辛勤的汗水和心血。导师的严谨治学态度、渊博的知识、无私的奉献精神使我深受启迪。从尊敬的导师身上，我不仅学到了扎实、宽广的专业知识，也学到了做人的道理。在此我要向我的导师致以最衷心的感谢和深深的敬意。在此，向所有关心和帮助过我的导师、老师、同学和朋友表示由衷的谢意！8．参考文献[1]胡长松，李必文，金国祥，宋述刚.可测函数列的收敛性.实变函数[M].科学出版社,2002：77～81.[2]朱玉堦.一致收敛与几乎处处收敛.实变函数简编[M].高等教育出版社,1987：88～94.[3]薛昌兴.可测函数列的收敛性.实变函数与泛函分析[M].高等教育出版社,1993：118～124.[4]程其襄，张奠宙，魏国强，胡善文，王漱石.可测函数.实变函数与泛函分析基