电磁场与电磁波课后习题答案全-杨儒贵

矢量分析第一章题解1-1已知三个矢量分别为SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0。试求①SKIPIF1<0；②单位矢量SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0；④SKIPIF1<0；⑤SKIPIF1<0及SKIPIF1<0；⑥SKIPIF1<0及SKIPIF1<0。解 ① SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0② SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0③ SKIPIF1<0④ SKIPIF1<0⑤ SKIPIF1<0因 SKIPIF1<0则 SKIPIF1<0⑥ SKIPIF1<0SKIPIF1<0。1-2已知SKIPIF1<0平面内的位置矢量A与X轴的夹角为，位置矢量B与X轴的夹角为，试证SKIPIF1<0证明由于两矢量位于SKIPIF1<0平面内，因此均为二维矢量，它们可以分别表示为SKIPIF1<0SKIPIF1<0已知SKIPIF1<0，求得SKIPIF1<0即 SKIPIF1<01-3已知空间三角形的顶点坐标为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0及SKIPIF1<0。试问：①该三角形是否是直角三角形；②该三角形的面积是多少？解由题意知，三角形三个顶点的位置矢量分别为SKIPIF1<0； SKIPIF1<0； SKIPIF1<0那么，由顶点P1指向P2的边矢量为SKIPIF1<0同理，由顶点P2指向P3的边矢量由顶点P3指向P1的边矢量分别为SKIPIF1<0 SKIPIF1<0因两个边矢量SKIPIF1<0，意味该两个边矢量相互垂直，所以该三角形是直角三角形。因 SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以三角形的面积为SKIPIF1<01-4已知矢量SKIPIF1<0，两点P1及P2的坐标位置分别为SKIPIF1<0及SKIPIF1<0。若取P1及P2之间的抛物线SKIPIF1<0或直线SKIPIF1<0为积分路径，试求线积分SKIPIF1<0。解①积分路线为抛物线。已知抛物线方程为SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0②积分路线为直线。因SKIPIF1<0,SKIPIF1<0两点位于SKIPIF1<0平面内，过SKIPIF1<0,SKIPIF1<0两点的直线方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0。1-5设标量SKIPIF1<0，矢量SKIPIF1<0，试求标量函数在点SKIPIF1<0处沿矢量A的方向上的方向导数。解已知梯度SKIPIF1<0那么，在点SKIPIF1<0处的梯度为SKIPIF1<0因此，标量函数在点SKIPIF1<0处沿矢量A的方向上的方向导数为SKIPIF1<01-6试证式（1-5-11），式（1-5-12）及式（1-5-13）。证明式（1-5-11）为SKIPIF1<0，该式左边为SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0即， SKIPIF1<0。根据上述复合函数求导法则同样可证式（1-5-12）和式（1-5-13）。1-7已知标量函数SKIPIF1<0，试求该标量函数在点P(1,2,3)处的最大变化率及其方向。解标量函数在某点的最大变化率即是函数在该点的梯度值。已知标量函数的梯度为SKIPIF1<0那么SKIPIF1<0 SKIPIF1<0将点P(1,2,3)的坐标代入，得SKIPIF1<0。那么，在P点的最大变化率为SKIPIF1<0P点最大变化率方向的方向余弦为SKIPIF1<0； SKIPIF1<0； SKIPIF1<01-8若标量函数为SKIPIF1<0试求在SKIPIF1<0点处的梯度。解已知梯度SKIPIF1<0，将标量函数代入得SKIPIF1<0再将P点的坐标代入，求得标量函数在P点处的梯度为 SKIPIF1<01-9试证式（1-6-11）及式（1-6-12）。证明式（1-6-11）为SKIPIF1<0，该式左边为SKIPIF1<0即 SKIPIF1<0式（1-6-12）为SKIPIF1<0，该式左边为SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0；即 SKIPIF1<01-10试求距离SKIPIF1<0在直角坐标、圆柱坐标及圆球坐标中的表示式。解在直角坐标系中SKIPIF1<0在圆柱坐标系中，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0SKIPIF1<0在球坐标系中，已知SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,因此SKIPIF1<0SKIPIF1<01-11已知两个位置矢量SKIPIF1<0及SKIPIF1<0的终点坐标分别为SKIPIF1<0及SKIPIF1<0，试证SKIPIF1<0与SKIPIF1<0之间的夹角为SKIPIF1<0证明根据题意，两个位置矢量在直角坐标系中可表示为SKIPIF1<0SKIPIF1<0已知两个矢量的标积为SKIPIF1<0，这里为两个矢量的夹角。因此夹角为SKIPIF1<0式中SKIPIF1<0SKIPIF1<0因此，SKIPIF1<01-12试求分别满足方程式SKIPIF1<0及SKIPIF1<0的函数SKIPIF1<0及SKIPIF1<0。解在球坐标系中，为了满足SKIPIF1<0即要求SKIPIF1<0SKIPIF1<0，求得SKIPIF1<0即 SKIPIF1<0在球坐标系中，为了满足SKIPIF1<0由于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即上式恒为零。故SKIPIF1<0可以是r的任意函数。1-13试证式（1-7-11）及式（1-7-12）。证明①式（1-7-11）为SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为常数）令SKIPIF1<0， SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0②式（1-7-12）为SKIPIF1<0令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0若将式（1-7-12）的右边展开，也可证明。1-14试证SKIPIF1<0，SKIPIF1<0及SKIPIF1<0。证明已知在球坐标系中，矢量A的旋度为SKIPIF1<0对于矢量SKIPIF1<0，因SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，代入上式，且因r与角度，无关，那么，由上式获知SKIPIF1<0。对于矢量SKIPIF1<0，因SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，显然SKIPIF1<0。对于矢量SKIPIF1<0，因SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，同理获知SKIPIF1<0。1-15若C为常数，A及k为常矢量，试证： ①SKIPIF1<0； ②SKIPIF1<0； ③SKIPIF1<0。证明 ①证明SKIPIF1<0。利用公式SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0而SKIPIF1<0求得 SKIPIF1<0。②证明SKIPIF1<0。利用公式SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0再利用①的结果，则 SKIPIF1<0③证明SKIPIF1<0。利用公式SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0再利用①的结果，则 SKIPIF1<0。1-16试证SKIPIF1<0，式中k为常数。证明已知在球坐标系中SKIPIF1<0则SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0即 SKIPIF1<01-17试证SKIPIF1<0证明利用公式SKIPIF1<0令上式中的SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0将上式整理后，即得SKIPIF1<0。1-18已知矢量场F的散度SKIPIF1<0，旋度SKIPIF1<0，试求该矢量场。解根据亥姆霍兹定理，SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0；SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0。那么因SKIPIF1<0，求得SKIPIF1<0则SKIPIF1<01-19已知某点在圆柱坐标系中的位置为SKIPIF1<0，试求该点在相应的直角坐标系及圆球坐标系中的位置。解已知直角坐标系和圆柱坐标系坐标变量之间的转换关系为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0因此，该点在直角坐标下的位置为SKIPIF1<0; SKIPIF1<0; z=3同样，根据球坐标系和直角坐标系坐标变量之间的转换关系，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0可得该点在球坐标下的位置为SKIPIF1<0； SKIPIF1<0； SKIPIF1<01-20已知直角坐标系中的矢量SKIPIF1<0，式中a,b,c均为常数，A是常矢量吗？试求该矢量在圆柱坐标系及圆球坐标系中的表示式。解由于SKIPIF1<0的大小及方向均与空间坐标无关，故是常矢量。已知直角坐标系和圆柱坐标系坐标变量之间的转换关系为SKIPIF1<0；SKIPIF1<0； SKIPIF1<0求得 SKIPIF1<0；SKIPIF1<0； SKIPIF1<0SKIPIF1<0；SKIPIF1<0又知矢量A在直角坐标系和圆柱坐标系中各个坐标分量之间的转换关系为SKIPIF1<0将上述结果代入，求得SKIPIF1<0即该矢量在圆柱坐标下的表达式为SKIPIF1<0直角坐标系和球坐标系的坐标变量之间的转换关系为SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0由此求得SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0矢量A在直角坐标系和球坐标系中各个坐标分量之间的转换关系为SKIPIF1<0求得SKIPIF1<0即该矢量在球坐标下的表达式为 SKIPIF1<0。1-21已知圆柱坐标系中的矢量SKIPIF1<0，式中a,b,c均为常数，A是常矢量吗？试求SKIPIF1<0及SKIPIF1<0以及A在相应的直角坐标系及圆球坐标系中的表示式。解因为虽然a,b,c均为常数，但是单位矢量er和e均为变矢，所以SKIPIF1<0不是常矢量。已知圆柱坐标系中，矢量A的散度为SKIPIF1<0将SKIPIF1<0代入，得 SKIPIF1<0矢量A的旋度为SKIPIF1<0SKIPIF1<0已知直角坐标系和圆柱坐标系坐标变量之间的转换关系为SKIPIF1<0; SKIPIF1<0; SKIPIF1<0SKIPIF1<0; SKIPIF1<0又知矢量A在直角坐标系和圆柱坐标系中各个坐标分量之间的转换关系为SKIPIF1<0将上述接结果代入，得SKIPIF1<0即该矢量在直角坐标下的表达式为SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0。矢量A在圆柱坐标系和球坐标系中各个坐标分量之间的转换关系SKIPIF1<0以及SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求得SKIPIF1<0即该矢量在球坐标下的表达式为SKIPIF1<0。1-22已知圆球坐标系中矢量SKIPIF1<0，式中a,b,c均为常数，A是常矢量吗？试求SKIPIF1<0及SKIPIF1<0，以及A在直角坐标系及圆柱坐标系中的表示式。解因为虽然a,b,c均为常数，但是单位矢量er，e，e均为变矢，所以SKIPIF1<0不是常矢量。在球坐标系中，矢量A的散度为SKIPIF1<0将矢量A的各个分量代入，求得SKIPIF1<0。矢量A的旋度为SKIPIF1<0SKIPIF1<0利用矢量A在直角坐标系和球坐标系中各个坐标分量之间的转换关系SKIPIF1<0以及SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求得该矢量在直角坐标下的表达式为SKIPIF1<0利用矢量A在圆柱坐标系和球坐标系中各个坐标分量之间的转换关系SKIPIF1<0求得其在圆柱坐标下的表达式为SKIPIF1<0。1-23若标量函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，试求SKIPIF1<0，SKIPIF1<0及SKIPIF1<0。解SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0 SKIPIF1<0SKIPIF1<01-24若 SKIPIF1<0 SKIPIF1<0 SKIPIF1<0试求SKIPIF1<0，SKIPIF1<0及SKIPIF1<0。解①SKIPIF1<0；SKIPIF1<0SKIPIF1<0；SKIPIF1<0SKIPIF1<0；② SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0 SKIPIF1<0；（此处利用了习题26中的公式）③ SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0；SKIPIF1<0 SKIPIF1<0SKIPIF1<0；SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0将矢量SKIPIF1<0的各个坐标分量代入上式，求得SKIPIF1<01-25若矢量SKIPIF1<0，试求SKIPIF1<0，式中V为A所在的区域。解在球坐标系中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0将矢量SKIPIF1<0的坐标分量代入，求得SKIPIF1<0 SKIPIF1<0SKIPIF1<01-26试求SKIPIF1<0，式中S为球心位于原点，半径为5的球面。解利用高斯定理，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0第二章静电场2-1若真空中相距为d的两个电荷q1及q2的电量分别为q及4q，当点电荷SKIPIF1<0位于q1及q2的连线上时，系统处于平衡状态，试求SKIPIF1<0的大小及位置。解要使系统处于平衡状态，点电荷SKIPIF1<0受到点电荷q1及q2的力应该大小相等，方向相反，即SKIPIF1<0。那么，由SKIPIF1<0，同时考虑到SKIPIF1<0，求得SKIPIF1<0可见点电荷SKIPIF1<0可以任意，但应位于点电荷q1和q2的连线上，且与点电荷SKIPIF1<0相距SKIPIF1<0。习题图习题图2-2zxSKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0E3E2E12-2已知真空中有三个点电荷，其电量及位置分别为：SKIPIF1<0试求位于SKIPIF1<0点的电场强度。解令SKIPIF1<0分别为三个电电荷的位置SKIPIF1<0到SKIPIF1<0点的距离，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0。利用点电荷的场强公式SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0为点电荷q指向场点SKIPIF1<0的单位矢量。那么，SKIPIF1<0在P点的场强大小为SKIPIF1<0，方向为SKIPIF1<0。SKIPIF1<0在P点的场强大小为SKIPIF1<0，方向为SKIPIF1<0。SKIPIF1<0在P点的场强大小为SKIPIF1<0，方向为SKIPIF1<0则SKIPIF1<0点的合成电场强度为SKIPIF1<02-3直接利用式（2-2-14）计算电偶极子的电场强度。解令点电荷SKIPIF1<0位于坐标原点，SKIPIF1<0为点电荷SKIPIF1<0至场点P的距离。再令点电荷SKIPIF1<0位于+SKIPIF1<0坐标轴上，SKIPIF1<0为点电荷SKIPIF1<0至场点P的距离。两个点电荷相距为SKIPIF1<0，场点P的坐标为（r,SKIPIF1<0,）。根据叠加原理，电偶极子在场点P产生的电场为SKIPIF1<0考虑到r>>l，SKIPIF1<0=er，SKIPIF1<0，那么上式变为SKIPIF1<0式中 SKIPIF1<0以SKIPIF1<0为变量，并将SKIPIF1<0在零点作泰勒展开。由于SKIPIF1<0，略去高阶项后，得SKIPIF1<0利用球坐标系中的散度计算公式，求出电场强度为SKIPIF1<02-4已知真空中两个点电荷的电量均为SKIPIF1<0C，相距为2cm，如习题图2-4所示。试求：①P点的电位；②将电量为SKIPIF1<0C的点电荷由无限远处缓慢地移至P点时，外力必须作的功。1cmP1cmqq1cmSKIPIF1<0习题图2-4解根据叠加原理，SKIPIF1<0点的合成电位为SKIPIF1<0因此，将电量为SKIPIF1<0的点电荷由无限远处缓慢地移到SKIPIF1<0点，外力必须做的功为SKIPIF1<02-5通过电位计算有限长线电荷的电场强度。习题图习题图2-5r0PzSKIPIF1<0SKIPIF1<0odll12y解建立圆柱坐标系。令先电y荷沿z轴放置，由于结构以z轴对称，场强与SKIPIF1<0无关。为了简单起见，令场点位于yz平面。设线电荷的长度为SKIPIF1<0，密度为SKIPIF1<0，线电荷的中点位于坐标原点，场点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0。利用电位叠加原理，求得场点SKIPIF1<0的电位为SKIPIF1<0式中SKIPIF1<0。故SKIPIF1<0因SKIPIF1<0，可知电场强度的z分量为SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0电场强度的r分量为SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0式中SKIPIF1<0，那么，合成电强为SKIPIF1<0当L时，SKIPIF1<0，则合成电场强度为SKIPIF1<0可见，这些结果与教材2-2节例4完全相同。2-6已知分布在半径为a的半圆周上的电荷线密度SKIPIF1<0，试求圆心处的电场强度。习题图习题图2-6ayxoSKIPIF1<0SKIPIF1<0E解建立直角坐标，令线电荷位于xy平面，且以y轴为对称，如习题图2-6所示。那么，点电荷SKIPIF1<0在圆心处产生的电场强度具有两个分量Ex和Ey。由于电荷分布以y轴为对称，因此，仅需考虑电场强度的SKIPIF1<0分量，即SKIPIF1<0考虑到SKIPIF1<0，代入上式求得合成电场强度为SKIPIF1<02-7已知真空中半径为a的圆环上均匀地分布的线电荷密度为SKIPIF1<0，试求通过圆心的轴线上任一点的电位及电场强度。习题图2-7习题图2-7xyzProa解建立直角坐标，令圆环位于坐标原点，如习题图2-7所示。那么，点电荷SKIPIF1<0在z轴上SKIPIF1<0点产生的电位为SKIPIF1<0根据叠加原理，圆环线电荷在SKIPIF1<0点产生的合成电位为SKIPIF1<0因电场强度SKIPIF1<0，则圆环线电荷在SKIPIF1<0点产生的电场强度为SKIPIF1<02-8设宽度为W，面密度为SKIPIF1<0的带状电荷位于真空中，试求空间任一点的电场强度。习题图习题图2-8xyzSKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0oryxSKIPIF1<0SKIPIF1<0dxx(a)(b)P(x,y)解建立直角坐标，且令带状电荷位于xz平面内，如习题图2-8所示。带状电荷可划分为很多条宽度为SKIPIF1<0的无限长线电荷，其线密度为SKIPIF1<0。那么，该无限长线电荷产生的电场强度与坐标变量z无关，即SKIPIF1<0式中 SKIPIF1<0SKIPIF1<0得 SKIPIF1<0那么 SKIPIF1<0SKIPIF1<02-9已知均匀分布的带电圆盘半径为a，面电荷密度为SKIPIF1<0，位于z=0平面，且盘心与原点重合，试求圆盘轴线上任一点电场强度SKIPIF1<0。习题图习题图2-9oxyzrdrP(0,0,z)解如图2-9所示，在圆盘上取一半径为SKIPIF1<0，宽度为SKIPIF1<0的圆环，该圆环具有的电荷量为SKIPIF1<0。由于对称性，该圆环电荷在z轴上任一点P产生的电场强度仅的SKIPIF1<0有SKIPIF1<0分量。根据习题2-7结果，获知该圆环电荷在P产生的电场强度的SKIPIF1<0分量为SKIPIF1<0那么，整个圆盘电荷在P产生的电场强度为SKIPIF1<02-10已知电荷密度为SKIPIF1<0及SKIPIF1<0的两块无限大面电荷分别位于x=0及x=1平面，试求SKIPIF1<0及SKIPIF1<0区域中的电场强度。解无限大平面电荷产生的场强分布一定是均匀的，其电场方向垂直于无限大平面，且分别指向两侧。因此，位于x=0平面内的无限大面电荷SKIPIF1<0，在x<0区域中产生的电场强度SKIPIF1<0，在x>0区域中产生的电场强度SKIPIF1<0。位于x=1平面内的无限大面电荷SKIPIF1<0，在x<1区域中产生的电场强度SKIPIF1<0，在x>1区域中产生的电场强度SKIPIF1<0。由电场强度法向边界条件获知，SKIPIF1<0 SKIPIF1<0即 SKIPIF1<0 SKIPIF1<0由此求得 SKIPIF1<0根据叠加定理，各区域中的电场强度应为SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<02-11若在球坐标系中，电荷分布函数为 SKIPIF1<0试求SKIPIF1<0及SKIPIF1<0区域中的电通密度SKIPIF1<0。解作一个半径为r的球面为高斯面，由对称性可知SKIPIF1<0式中q为闭合面S包围的电荷。那么在SKIPIF1<0区域中，由于q=0，因此D=0。在SKIPIF1<0区域中，闭合面S包围的电荷量为SKIPIF1<0因此， SKIPIF1<0在SKIPIF1<0区域中，闭合面S包围的电荷量为SKIPIF1<0因此， SKIPIF1<02-12若带电球的内外区域中的电场强度为 SKIPIF1<0试求球内外各点的电位。解在SKIPIF1<0区域中，电位为SKIPIF1<0在SKIPIF1<0区域中，SKIPIF1<02-13已知圆球坐标系中空间电场分布函数为SKIPIF1<0试求空间的电荷密度。解利用高斯定理的微分形式SKIPIF1<0，得知在球坐标系中SKIPIF1<0那么，在SKIPIF1<0区域中电荷密度为SKIPIF1<0在SKIPIF1<0区域中电荷密度为SKIPIF1<02-14已知真空中的电荷分布函数为SKIPIF1<0式中r为球坐标系中的半径，试求空间各点的电场强度。解由于电荷分布具有球对称性，取球面为高斯面，那么根据高斯定理SKIPIF1<0在SKIPIF1<0区域中SKIPIF1<0SKIPIF1<0在SKIPIF1<0区域中SKIPIF1<0SKIPIF1<02-15已知空间电场强度SKIPIF1<0，试求（0,0,0）与（1,1,2）两点间的电位差。解 设P1点的坐标为（0,0,0,）,P2点的坐标为（1,1,2,），那么，两点间的电位差为SKIPIF1<0式中 SKIPIF1<0，因此电位差为SKIPIF1<02-16已知同轴圆柱电容器的内导体半径为a，外导体的内半径为b。若填充介质的相对介电常数SKIPIF1<0。试求在外导体尺寸不变的情况下，为了获得最高耐压，内外导体半径之比。解已知若同轴线单位长度内的电荷量为q1，则同轴线内电场强度SKIPIF1<0。为了使同轴线获得最高耐压，应在保持内外导体之间的电位差V不变的情况下，使同轴线内最大的电场强度达到最小值，即应使内导体表面SKIPIF1<0处的电场强度达到最小值。因为同轴线单位长度内的电容为SKIPIF1<0则同轴线内导体表面SKIPIF1<0处电场强度为 SKIPIF1<0令b不变，以比值SKIPIF1<0为变量，对上式求极值，获知当比值SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得最小值，即同轴线获得最高耐压。2-17若在一个电荷密度为SKIPIF1<0，半径为a的均匀带电球中，存在一个半径为b的球形空腔，空腔中心与带电球中心的间距为d，试求空腔中的电场强度。习题图习题图2-17obaPrdr解此题可利用高斯定理和叠加原理求解。首先设半径为SKIPIF1<0的整个球内充满电荷密度为SKIPIF1<0的电荷，则球内SKIPIF1<0点的电场强度为SKIPIF1<0式中SKIPIF1<0是由球心o点指向SKIPIF1<0点的位置矢量，再设半径为SKIPIF1<0的球腔内充满电荷密度为SKIPIF1<0的电荷，则其在球内SKIPIF1<0点的电场强度为SKIPIF1<0式中SKIPIF1<0是由腔心SKIPIF1<0点指向SKIPIF1<0点的位置矢量。那么，合成电场强度SKIPIF1<0即是原先空腔内任一点的电场强度，即SKIPIF1<0式中SKIPIF1<0是由球心o点指向腔心SKIPIF1<0点的位置矢量。可见，空腔内的电场是均匀的。2-18已知介质圆柱体的半径为a，长度为l，当沿轴线方向发生均匀极化时，极化强度为SKIPIF1<0，试求介质中束缚xyzaSKIPIF1<0习题图xyzaSKIPIF1<0习题图2-18Ply解建立圆柱坐标，且令圆柱的下端面位于xy平面。由于是均匀极化，故只考虑面束缚电荷。而且该束缚电荷仅存在圆柱上下端面。已知面束缚电荷密度与极化强度的关系为SKIPIF1<0式中en为表面的外法线方向上单位矢量。由此求得圆柱体上端面的束缚电荷面密度为SKIPIF1<0，圆柱体下端面的束缚面电荷密度为SKIPIF1<0。由习题2-9获知，位于xy平面，面电荷为SKIPIF1<0的圆盘在其轴线上的电场强度为SKIPIF1<0因此，圆柱下端面束缚电荷在z轴上产生的电场强度为SKIPIF1<0而圆柱上端面束缚电荷在z轴上产生的电场强度为SKIPIF1<0那么，上下端面束缚电荷在z轴上任一点产生的合成电场强度为SKIPIF1<02-19已知内半径为a，外半径为b的均匀介质球壳的介电常数为SKIPIF1<0，若在球心放置一个电量为q的点电荷，试求：①介质壳内外表面上的束缚电荷；②各区域中的电场强度。解先求各区域中的电场强度。根据介质中高斯定理SKIPIF1<0在SKIPIF1<0区域中，电场强度为SKIPIF1<0在SKIPIF1<0区域中，电场强度为SKIPIF1<0在SKIPIF1<0区域中，电场强度为SKIPIF1<0再求介质壳内外表面上的束缚电荷。由于SKIPIF1<0，则介质壳内表面上束缚电荷面密度为SKIPIF1<0外表面上束缚电荷面密度为SKIPIF1<02-20将一块无限大的厚度为d的介质板放在均匀电场SKIPIF1<0中，周围媒质为真空。已知介质板的介电常数为SKIPIF1<0，均匀电场SKIPIF1<0的方向与介质板法线的夹角为SKIPIF1<0，如习题图2-20所示。当介质板中的电场线方向SKIPIF1<0时，试求角度SKIPIF1<0及介质表面的束缚电荷面密度。 EEd112200E习题图2-20E2en2en1解根据两种介质的边界条件获知，边界上电场强度切向分量和电通密度的法向分量连续。因此可得SKIPIF1<0； SKIPIF1<0已知SKIPIF1<0，那么由上式求得SKIPIF1<0已知介质表面的束缚电荷SKIPIF1<0，那么，介质左表面上束缚电荷面密度为SKIPIF1<0介质右表面上束缚电荷面密度为SKIPIF1<02-21已知两个导体球的半径分别为6cm及12cm，电量均为SKIPIF1<0C，相距很远。若以导线相连后，试求：①电荷移动的方向及电量；②两球最终的电位及电量。解设两球相距为d，考虑到d>>a,d>>b，两个带电球的电位为SKIPIF1<0；SKIPIF1<0两球以导线相连后，两球电位相等，电荷重新分布，但总电荷量应该守恒，即SKIPIF1<0及SKIPIF1<0，求得两球最终的电量分别为SKIPIF1<0SKIPIF1<0可见，电荷由半径小的导体球转移到半径大的导体球，移动的电荷量为SKIPIF1<0。两球最终电位分别为SKIPIF1<0SKIPIF1<02-22已知两个导体球的重量分别为m1=5g，m2=10g，电量均为SKIPIF1<0C，以无重量的绝缘线相连。若绝缘线的长度l=1m，且远大于两球的半径，试求；①绝缘线切断的瞬时，每球的加速度；②绝缘线切断很久以后，两球的速度。解① 绝缘线切断的瞬时，每球受到的力为SKIPIF1<0因此，两球获得的加速度分别为SKIPIF1<0SKIPIF1<0②当两球相距为l时，两球的电位分别为SKIPIF1<0； SKIPIF1<0此时，系统的电场能量为 SKIPIF1<0绝缘线切断很久以后，两球相距很远(l>>a,l>>b)，那么，两球的电位分别为SKIPIF1<0; SKIPIF1<0由此可见，绝缘线切断很久的前后，系统电场能量的变化为SKIPIF1<0这部分电场能量的变化转变为两球的动能，根据能量守恒原理及动量守恒定理可得下列方程：SKIPIF1<0， SKIPIF1<0由此即可求出绝缘线切断很久以后两球的速度v1和v2：SKIPIF1<0； SKIPIF1<02-23如习题图2-23所示，半径为a的导体球中有两个较小的球形空腔。若在空腔中心分别放置两个点电荷q1及q2，在距离SKIPIF1<0处放置另一个点电荷q3，试求三个点电荷受到的电场力。qq1q2rq3a习题图2-23解根据原书2-7节所述，封闭导体空腔具有静电屏蔽特性。因此，q1与q2之间没有作用力，q3对于q1及q2也没有作用力。但是q1及q2在导体外表面产生的感应电荷-q1及-q2，对于q3有作用力。考虑到r>>a，根据库仑定律获知该作用力为SKIPIF1<02-24证明位于无源区中任一球面上电位的平均值等于其球心的电位，而与球外的电荷分布特性无关。解已知电位与电场强度的关系为SKIPIF1<0，又知SKIPIF1<0，由此获知电位满足下列泊松方程SKIPIF1<0利用格林函数求得泊松方程的解为SKIPIF1<0式中SKIPIF1<0。考虑到SKIPIF1<0，代入上式得SKIPIF1<0若闭合面SKIPIF1<0内为无源区，即SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0若闭合面S为一个球面，其半径为a，球心为场点，则SKIPIF1<0，那么上式变为SKIPIF1<0考虑到差矢量SKIPIF1<0的方向为该球面的半径方向，即与SKIPIF1<0的方向恰好相反，又SKIPIF1<0,则上式变为SKIPIF1<0由于在SKIPIF1<0面内无电荷，则SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0由此式可见，位于无源区中任一球面上的电位的平均值等于其球心的电位，而与球外的电荷分布无关。2-25已知可变电容器的最大电容量SKIPIF1<0，最小电容量SKIPIF1<0，外加直流电压为300V，试求使电容器由最小变为最大的过程中外力必须作的功。解在可变电容器的电容量由最小变为最大的过程中，电源作的功和外力作的功均转变为电场储能的增量，即SKIPIF1<0式中 SKIPIF1<0SKIPIF1<0因此，外力必须作的功为SKIPIF1<02-26若使两个电容器均为C的真空电容器充以电压V后，断开电源相互并联，再将其中之一填满介电常数为SKIPIF1<0的理想介质，试求：①两个电容器的最终电位；②转移的电量。解两电容器断开电源相互并联，再将其中之一填满相对介电常数为SKIPIF1<0理想介质后，两电容器的电容量分别为SKIPIF1<0两电容器的电量分别为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0由于两个电容器的电压相等，因此SKIPIF1<0联立上述两式，求得SKIPIF1<0， SKIPIF1<0因此，两电容器的最终电位为SKIPIF1<0考虑到SKIPIF1<0，转移的电量为SKIPIF1<02a2a1b习题图2-27半径为a，外导体半径为b，其内一半填充介电常数为SKIPIF1<0的介质，另一半填充介质的介电常数为SKIPIF1<0，如习题图2-27所示。当外加电压为V时，试求：①电容器中的电场强度；②各边界上的电荷密度；③电容及储能。解① 设内导体的外表面上单位长度的电量为SKIPIF1<0，外导体的内表面上单位长度的电量为SKIPIF1<0。取内外导体之间一个同轴的单位长度圆柱面作为高斯面，由高斯定理SKIPIF1<0SKIPIF1<0求得 SKIPIF1<0已知SKIPIF1<0，在两种介质的分界面上电场强度的切向分量必须连续，即SKIPIF1<0，求得SKIPIF1<0内外导体之间的电位差为SKIPIF1<0即单位长度内的电荷量为 SKIPIF1<0故同轴电容器中的电场强度为 SKIPIF1<0由于电场强度在两种介质的分界面上无法向分量，故此边界上的电荷密度为零。内导体的外表面上的电荷面密度为SKIPIF1<0； SKIPIF1<0外导体的内表面上的电荷面密度为SKIPIF1<0； SKIPIF1<0③单位长度的电容为SKIPIF1<0电容器中的储能密度为SKIPIF1<02-28一平板电容器的结构如习题图2-28所示，间距为d，极板面积为SKIPIF1<0。试求：①接上电压V时，移去介质前后电容器中的电场强度、电通密度、各边界上的电荷密度、电容及储能；②断开电源后，再计算介质移去前后以上各个参数。ddl/2KVl/20习题图2-28解 ①接上电源，介质存在时，介质边界上电场强度切向分量必须连续，因此，介质内外的电场强度SKIPIF1<0是相等的，即电场强度为SKIPIF1<0。但是介质内外的电通密度不等，介质内SKIPIF1<0，介质外SKIPIF1<0。两部分极板表面自由电荷面密度分别为SKIPIF1<0， SKIPIF1<0电容器的电量 SKIPIF1<0电容量为 SKIPIF1<0电容器储能为 SKIPIF1<0若接上电压时，移去介质，那么电容器中的电场强度为 SKIPIF1<0电通密度为 极板表面自由电荷面密度为SKIPIF1<0电容器的电量为 SKIPIF1<0电容量为 SKIPIF1<0电容器的储能为 SKIPIF1<0②断开电源后，移去介质前，各个参数不变。但是若移去介质，由于极板上的电量SKIPIF1<0不变，电场强度为SKIPIF1<0电通密度为 SKIPIF1<0极板表面自由电荷面密度为 SKIPIF1<0两极板之间的电位差为 SKIPIF1<0电容量为 SKIPIF1<0电容器的储能为SKIPIF1<02-29若平板电容器的结构如习题图2-29所示，尺寸同上题，计算上题中各种情况下的参数。d/d/2d/2l0习题图2-29解①接上电压，介质存在时，介质内外的电通密度均为SKIPIF1<0，因此，介质内外的电场强度分别为SKIPIF1<0； SKIPIF1<0两极板之间的电位差为SKIPIF1<0。则SKIPIF1<0则电位移矢量为SKIPIF1<0； SKIPIF1<0极板表面自由电荷面密度为SKIPIF1<0； SKIPIF1<0介电常数为SKIPIF1<0的介质在靠近极板一侧表面上束缚电荷面密度为SKIPIF1<0介电常数为SKIPIF1<0与介电常数为SKIPIF1<0的两种介质边界上的束缚电荷面密度为SKIPIF1<0此电容器的电量SKIPIF1<0则电容量为SKIPIF1<0电容器的储能为SKIPIF1<0接上电压时，移去介质后：电场强度为SKIPIF1<0电位移矢量为SKIPIF1<0极板表面自由电荷面密度为SKIPIF1<0电容器的电量SKIPIF1<0电容量为SKIPIF1<0电容器的储能为SKIPIF1<0(2)断开电源后，介质存在时，各个参数与接上电源时完全相同。但是，移去介质后，由于极板上的电量SKIPIF1<0不变，电容器中电场强度为SKIPIF1<0，电通密度为SKIPIF1<0极板表面自由电荷面密度为 SKIPIF1<0两极板之间的电位差为 SKIPIF1<0电容量为 SKIPIF1<0电容器的储能为 SKIPIF1<02-30已知两个电容器C1及C2的电量分别为q1及q2，试求两者并联后的总储能。若要求并联前后的总储能不变，则两个电容器的电容及电量应满足什么条件？解并联前两个电容器总储能为SKIPIF1<0并联后总电容为SKIPIF1<0，总电量为SKIPIF1<0，则总储能为SKIPIF1<0要使SKIPIF1<0，即要求SKIPIF1<0方程两边同乘SKIPIF1<0，整理后得SKIPIF1<0方程两边再同乘SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0即 SKIPIF1<0由此获知两个电容器的电容量及电荷量应该满足的条件为SKIPIF1<02-31若平板电容器中介电(x)AdX0 习题图2-31ASKIPIF1<0平板面积为A，间距为d，如习题2-31所示。试求平板电容器的电容。解 设极板上的电荷密度分别为SKIPIF1<0，则由高斯定理，可得电通密度SKIPIF1<0，因此电场强度为SKIPIF1<0 SKIPIF1<0那么，两极板的电位差为SKIPIF1<0则电容量为SKIPIF1<0dVtdVt00习题图2-32A电压为V，极板面积为A，间距为d，如习题图2-32所示。若将一块厚度为SKIPIF1<0的导体板平行地插入该平板电容器中，试求外力必须作的功。解未插入导体板之前，电容量SKIPIF1<0。插入导体板后，可看作两个电容串联，其中一个电容器的电容SKIPIF1<0，另一个电容器的电容SKIPIF1<0，那么总电容量为SKIPIF1<0根据能量守恒原理，电源作的功和外力作的功均转变为电场能的增量，即SKIPIF1<0式中 SKIPIF1<0 SKIPIF1<0则 SKIPIF1<02-33已知线密度SKIPIF1<0的无限长线电荷位于（1,0,z）处，另一面密度SKIPIF1<0的无限大面电荷分布在x=0平面。试求位于SKIPIF1<0处电量SKIPIF1<0的点电荷受到的电场力。xz1PSKIPIF1<0xz1PSKIPIF1<0oSKIPIF1<00.55y习题图2-33SKIPIF1<0无限长线电荷在P点产生的电场强度为SKIPIF1<0因此，P点的总电场强度为SKIPIF1<0所以位于P点的点电荷受到的电场力为SKIPIF1<02-34已知平板电容器的极板尺寸为SKIPIF1<0，间距为d，两板间插入介质块的介电常数为SKIPIF1<0，如习题图2-34所示。试求：①当接上电压V时，插入介质块受的力；②电源断开后，再插入介质时，介质块的受力。ddabSU0习题图2-34解①此时为常电位系统，因此介质块受到的电场力为 SKIPIF1<0式中x为沿介质块宽边b的位移。介质块插入后，引起电容改变。设插入深度x，则电容器的电容为SKIPIF1<0电容器的电场能量可表示为SKIPIF1<0那么介质块受到的x方向的电场力为 SKIPIF1<0②此时为常电荷系统，因此介质块受到的电场力为SKIPIF1<0式中x为沿介质块宽边b的位移。介质块插入后，极板电量不变，只有电容改变。此时电容器的电场能量可表示为SKIPIF1<0因此介质块受到的x方向的电场力为SKIPIF1<0第三章静电场3-1已知在直角坐标系中四个点电荷分布如习题图3-1所示，试求电位为零的平面。-q3cmYX+q-q3cmYX+q+q-q1cm习题图3-1SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，那么，图中4个点电荷共同产生的电位应为 SKIPIF1<0令SKIPIF1<0，得 SKIPIF1<0由4个点电荷的分布位置可见，对于x=1.5cm的平面上任一点，SKIPIF1<0，因此合成电位为零。同理，对于x=0.5cm的平面上任一点，SKIPIF1<0，因此合成电位也为零。所以，x=1.5cm及x=0.5cm两个平面的电位为零。xqP(r,z)hhSKIPIF1<0xqP(r,z)hhSKIPIF1<0SKIPIF1<0-qz习题图3-2证明建立圆柱坐标，令导体表面位于xy平面，点电荷距离导体表面的高度为SKIPIF1<0，如图3-2所示。那么，根据镜像法，上半空间的电场强度为SKIPIF1<0电通密度为 SKIPIF1<0式中 SKIPIF1<0； SKIPIF1<0那么，SKIPIF1<0已知导体表面上电荷的面密度SKIPIF1<0，所以导体表面的感应电荷为SKIPIF1<0则总的感应电荷为SKIPIF1<03-3根据镜像法，说明为什么只有当劈形导体的夹角为的整数分之一时，镜像法才是有效的？当点电荷位于两块无限大平行导体板之间时，是否也可采用镜像法求解。答根据镜像法，如果劈形导体的夹角不为SKIPIF1<0的整数分之一时，则镜像电荷不能最终和原电荷重合，这样将会产生无限多个镜像电荷，每个镜像电荷都会产生一定的电位，导致合成电位无限大，因而无解。当点电荷位于两块无限大导体板之间时，可采用镜像法求解。此时虽然也会产生无限多个镜像电荷，但是远处的镜像电荷对于两板之间的场点贡献越来越小，因此可以获得一个有限的解。rlh导体习题图3-4xy3-4一根无限长的线电荷平行放置在一块无限大的导体平面附近，如习题图3-4所示。已知线电荷密度SKIPIF1<0，离开平面的高度SKIPIF1<0m，空间媒质的相对介电常数SKIPIF1<0。试求：①空间任一点场强及能量密度；②导体表面的电荷密度；③当线电荷的高度增加一倍时，外力对单位长度内的线电荷应作的功。rlh导体习题图3-4xy解①建立圆柱坐标，令导体表面位于xz平面，导体上方场强应与变量z无关。根据镜像法，上半空间中任一点SKIPIF1<0的场强为SKIPIF1<0电场能量密度为SKIPIF1<0已知导体表面的电荷面密度SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0单位长度内线电荷受到的电场力可等效为其镜像线电荷对它的作用力，即SKIPIF1<0可见，线电荷受到的是吸引力。所以，当线电荷的高度SKIPIF1<0增加一倍时，外力必须做的功为SKIPIF1<0（J）。3-5在无限大的导体平面上空平行放置一根半径为a的圆柱导线。已知圆柱导线的轴线离开平面的距离为h，试求单位长度圆柱导线与导体平面之间的电容。解根据镜像法可知，无限大的导体平面与无限长圆柱导线之间的场分布与两根无限长平行圆柱导线之间的一半空间的场分布完全相同。因此，圆柱导线与导体平面之间的单位长度内的电容是两根平行圆柱导线的单位长度内的电容一倍。由教材3-3节获知两根平行圆柱导线的单位长度内的电容为SKIPIF1<0式中D为两根圆柱导线轴线之间的距离，a为圆柱导线的半径。因此，对于本题的圆柱导线与导体平面之间的单位长度内的电容为SKIPIF1<0若高度h>>a，上式还可进一步简化为SKIPIF1<060h60hlh习题图3-6(a)在夹角60的导电劈的中央部位，离开两壁的距离为h，如习题图3-6(a)所示。若线电荷的线密度为SKIPIF1<0，试求其电位分布函数。l60l-ll-l-lPr0r1r2r3r4r5习题图3-6(b)rxyo解根据镜像法，正如原书3-3节所述，需要引入5个镜像电荷，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，它们离场点P的距离分别为r1，r2，r3，r4，和r5，其位置如习题图3-6(b)所示。已知，无限长的线电荷产生的电场强度为SKIPIF1<0可见，空间某点r对于任一参考点r0的电位为SKIPIF1<0对于本题，若取坐标原点作为电位参考点，因为原线电荷SKIPIF1<0离坐标原点的距离为2h，离场点P的距离为r0，那么该线电荷在P点产生的电位为SKIPIF1<0因为全部镜像电荷离坐标原点的距离均为2h，那么，劈间任一点P以坐标原点作为电位参考点的电位为SKIPIF1<0即 SKIPIF1<0dd/3q习题图dd/3q习题图3-7无限大的接地的平行导体板之间，如习题图3-7所示。两板间距为d，点电荷位于SKIPIF1<0处，试求两板间的电位分布。解选用圆柱坐标系，令下底板位于z=0平面，点电荷q位于SKIPIF1<0轴，则导体板之间任一点电位与角度无关。根据镜像法，必须在SKIPIF1<0轴上引入无限多个镜像电荷，zSKIPIF1<0zSKIPIF1<0q-q-qqqrx正SKIPIF1<0轴上：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，．．．负SKIPIF1<0轴上：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，．．．则两板之间任一点SKIPIF1<0的电位为：SKIPIF1<0SKIPIF1<03-8试证位于无限大导体平面上半球形导体上空的点电荷q受到的力的大小为SKIPIF1<0式中a为球半径，d为电荷与球心的间距，SKIPIF1<0为真空介电常数，如习题图3-8(a)所示。qqqq″q′0dd-qd′d″0习题图3-8(b)q0ad习题图3-8(a)证明应用镜像法，将半球变为一个整球。那么，为了保证无限大导体平面和球面形成的边界电位为零，必须引入三个镜像电荷：q，q，q，其中q和q，以及q和q保证无限大平面边界的电位为零，q和q，以及q和q保证球面边界的电位为零。那么，根据镜像法，求得镜像电荷q和q分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0其位置分别位于SKIPIF1<0及SKIPIF1<0处。因此，点电荷SKIPIF1<0所受到的力应为三个镜像电荷产生的电场力的矢量和。由于三种电场力的方向均位于一条垂线上，矢量和变为标量和，即SKIPIF1<0将上式整理后，即得 SKIPIF1<0SKIPIF1<03-9当孤立的不带电的导体球位于均匀电场SKIPIF1<0中，使用镜像法求出导体球表面的电荷分布。（提示：利用点电荷与导体球之间的镜像关系。）解当导体球和点电荷之间的距离远远大于其半径时，可以认为该导体球附近的电场是均匀的，设SKIPIF1<0由点电荷SKIPIF1<0产生，SKIPIF1<0到球心的距离为SKIPIF1<0，球半径为a