人教版数学八年级下册《16-1 第1课时 二次根式的概念》教学课件PPT初二公开课

第十六章 二次根式16.1

二根次式第1课时 二次根式的概念会判断一个式子是不是二次根式.会求被开方数中所含字母的取值范围.重点难点：理解二次根式的概念．掌握二次根式有意义的条件.会利用二次根式的非负性解决相关问题.学习目标：情景导入为S

m2，则边长为 m．(2)一张的海报为长方形，若长是宽的2倍，面积为6

m2，则它的宽为

m．思考用带根号的式子填空，这些结果有什么特点？(1)一张海报为正方形，若面积为2

m2，则边长为

2 m；若面积S3(3)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间

t（单位：s）与开始落下的高度h（单位：m）满足关系

h

=5t2，如果用含有

h的式子表示

t

，那么

t

为

．h5分别表示2，S，3，

h

的算术平方根．5问题1 这些式子分别表示什么意义？上面问题中，得到的结果分别是：

2，

S，

3，h．①根指数都为2;②被开方数为非负数.5问题2

这些式子有什么共同特征？两个必备特征①外貌特征：含有“ ”②内在特征：被开方数a

≥

0知识精讲知识点一 二次根式的概念一般地，我们把形如

a（a≥0）的式子叫做二次根式.

“

”称为二次根号.注意：a可以是数，也可以是式.2“ ”中一般把根的指数2省略，写成“ ”被开方数可以是非负的数或单项式、多项式、分式等例1

下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？a

2a

2(3)

12;

(4)(6)

1; (7)

3

5; (8)

2.-m

m≤0

；(1) 32; (2) 6;(5) xy

x,

y异号;被开方数是不是非负数二次根式不是二次根式解：(1)(4)(6)均是二次根式，其中a2+1属于“非负数+正数”的形式一定大于零.(2)(3)(5)(7)均不是二次根式.是是否否分析：是否含二次根号1.要画一个面积为

18

cm2的长方形，使它的长与宽之比为3

:2，它的长、宽各应取多少？解：设长方形的长、宽分别为3x

cm，2x

cm，由题意得2x×3＝18，解得x ＝ 3

(负值舍去)．答：长方形的长、宽应分别取3 3

cm和2 3

cm.针对练习3.下列式子不一定是二次根式的是()A. B.C.2.下列式子一定是二次根式的是()D.A. x

2 B.

x

C.x

2

2b2a

1

0D.

（a

b）2x2

2CA次根式的有( )A．2个

B．3个C．4个D．5个4.下列式子：

7，2

x

,1

m

, a2

b2

, 100

, 5

,a

1

中，一定是二C知识点二 二次根式有意义的条件式子

a

只有在条件a≥0时才叫二次根式．即a≥0是为二a次根式的前提条件.总结：二次根式有意义的条件是被开方数(式)为非负数；反之也成立，即：

a

有意义⇔a≥0.二次根式无意义的条件是被开方数(式)为负数；反之也成立，即：

a

无意义⇔a＜0.例2

当x是怎样的实数时,

x

2

在实数范围内有意义?解：由

x-2

≥

0，得

x

≥

2.当x≥

2时，

x

2

在实数范围内有意义.【变式题1】当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？1x

1（1）

；解：（1）由题意得x－1＞0，∴x＞1.(2)x

3

.x

1解：（2）∵被开方数需大于或等于零，∴3+x≥0，∴x≥－3.∵分母不能等于零，∴x－1≠0，∴x≠1.∴x≥－3且x≠1.归纳：要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方数≥0，列不等式求解即可.若式子为分式，应同时考虑分母不为零.【变式题2】当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？(1)

x2

2x

1; (2) x2

2x

3.解：(1)∵无论x为何实数，

x2

2x

1

x

12

≤0∴当x=1时，

x2

2x

1

在实数范围内有意义.(2)∵无论x为何实数，－x2－2x－3=－(x+1)2－2＜0，∴无论x为何实数，

x2

2x

3

在实数范围内都无意义.归纳：被开方数是多项式时，需要对组成多项式的项进行恰当分组凑成含完全平方的形式，再进行分析讨论.(2)多个二次根式相加如A

B

...

N...有意义的条件：

A≥0；

B≥0；N≥0B(3)二次根式作为分式的分母如 A 有意义的条件：

A＞0；B(4)二次根式与分式的和如

A

1

有意义的条件：A≥0且B≠0.(1)单个二次根式如A

有意义的条件：A≥0；归纳：1.当a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？(4)(1) a

1；(2)2a

3 (3)

a；5

a

.解：(1)由a－1≥0，得a≥1，所以当a≥1时，

a

1在实数范围内有意义．针对练习2 2有意义．(3)由－a≥0，得a≤0，所以当a≤0时，

a

在实数范围内有意义．(4)由5－a≥0，得a≤5，所以当a≤5时，

5

a

在实数范围内有意义．(2)由2a＋3≥0，得a≥－

3

，所以当a≥－

3时，

2a

3

在实数范围内2.二次根式A．x≥1C．x≤1x

1

中，x

的取值范围是(

A

)B．x＞1D．x＜1)A．a≥－1C．a≥－1且a≠2B．a≠2D．a＞2a＋13.要使式子

a－2 有意义，则实数a的取值范围是(C4.当

x

= 时，二次根式－1x

1

取最小值，其最小值为

0 ．二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平方根.对于任意一个二次根式 ，我们知道：aa为被开方数，为保证其有意义，可知a

≥

0；a 表示一个数或式的算术平方根，可知 a ≥

0.二次根式的被开方数非负二次根式的双重非负性二次根式的值非负知识点三 二次根式的双重非负性例3 若

a

5

b

6

(c2

)

2 0

，求a

-b+c的值.解：由题意可知a－5=0,b－6=0,c－2=0,解得a=5,b=6,c=2.所以a－b+c=5－6+2=1.归纳：多个非负数的和为零，则可得每个非负数均为零.初中阶段学过的非负数主要有绝对值、偶次幂及二次根式.针对练习.1.若

y＝x－3＋

3－x＋2 ，则xy＝2.实数a，b满足1A．2 B.

29a

1 ＋4a2＋4ab＋b2＝0，则ba的值为( B )1C．－2 D．－

23.已知实数x，y满足|x－4|＋

y

8

＝0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是(

B )A．20或16 B．20 C．16 D．以上答案均不对)4.二次根式A.a＜0D.a＞0当堂检测1.已知一个正方形的面积是3，那么它的边长是.2.使 x

3

有意义的x的取值范围是

x≥－3 .33.下列各式中一定是二次根式的是(

)A. x

1 B. (

x

1)2C. a2

1D.BaB.a≤0

C.a≥01

中，字母

a

的取值范围是(1xD5.当a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？2.(1) a

1

; (

2

) 2

a

3

;(

3

)

a ; (

4

)5

a解：(1)

a-1

0，a

1.(2)

2a

3

0，

a

3.2(3) a

0，

a

0.(4) 5

a＞0，

a＜5.6.若x，y是实数，且

y

＜2x

1

1

x

1

,求1

y 的值.y

1∴x=

1.2∵y

＜ x

1

1

x

1

,∴y

＜