从一道题看奥赛所涉及的解题方法和技巧

从一道题看奥赛所涉及的解题方法和技巧题目：设湖岸MN是一条直线，有一小船自岸边的A点沿与湖岸成α＝15°角的方向匀速向湖中驶去，有一个人自A点同时出发，，他先沿岸走一段再入水中游泳去追小船.已知人在岸上走的速度为v1=4m/s，在水中游泳的速度为v2＝2m/s，试求小船的速度至多为多大时，这人才能追上小船？MNAVmax=?α方法1：微元法如图，设人在D点入水并在B点刚好能追上小船，这表明：此时人追上小船所用时间最少，对应的小船速度最大.FEθCBαMNAD现设C、E是D点两侧附近无限靠近D点的两点，并设分别从C、E点入水追小船所用总时间相等.

现在BC段截取BF=BE，那么∠BFE＝90°.由于从C、E点入水追小船所用总时间相等，所以，人在CE段走与在CF段游泳所用时间相等.D点两侧各有入水点C和E，使得在该处入水追船所用时间相等.于是所以因为C、E两点无限靠近D点，所以∠BDN＝θ＝60°.FDAαEθCMNBK作BK⊥BD交MN于K，于是DK=2BD.又因为v1=2v2,则人游DK段与走DK段所用时间相等.所以人自出发经D点再到B点与人由A点一直走到K点所用时间相同，并都等于小船从A到B所用的最少时间.即有在⊿ABK中，用正弦定理可得：那么FDAαEθCMNBK方法2：类比法BβD设想MN为甲和乙两种介质的分界面，光在甲中的速度为v1，在乙中的速度为v2，据费马原理可知，B→D→A是光从B传到A费时最少的路径，而β是临界角.这可类比本题人从A经D到B的追船情况.由此得：下面解法与方法1相同.最后可得：MA乙甲N方法3：图解法MNEAK如图，设人开始运动就一直游泳，那么他能到达的区域是以A为圆心、以v2t为半径的半圆中的任何一点，若他一直沿湖岸走，那么他在t时间内可以到达AK＝v1t中的任何一点，若他先沿岸走一段再入水追船，那么他可以在t时间内到达图中⊿AEF中的任何一点.所以，他若能追上船，船也必须在t时间内到达这区域.Bα由于题设小船沿α角的方向运动，所以沿此方向的直线与EK线的交点B是船以最大速度运动且又能被人追上的地点.BαMNEAK在Rt⊿AEK中，因为AK=2AE，所以∠AKE＝30°，于是，∠ABK＝180°－15°－

30°＝135°在⊿ABK中,据正弦定理得：而所以方法4：矢量图解法设人先沿岸走一段，再入水追船，以船为参考系，由于人和船是同时由A点出发的，则人在沿岸走时，船看到人正在由船所在位置逐渐“离去”，离去的相对速度为：KMNA要人能追上船，即人能回到船上，则其返回的相对速度必须沿的反方向，返回的相对速度为：αC作图：(1)以MN线上的A点为起点作矢量得K点；(2)以A点为圆心，以v2的大小为半径作圆;(3)作直线AC，使它与MN线的夹角为α＝15°；EBMNAαCK设K点与圆上的任一点E的连线与AC线的交点为B，则AB表示船速，BK表示人相对船的“离开”速度，而BE表示人相对船的“返回”速度.显然，当KE与圆相切时，AB线最长，表示船速最大，由此有作图步骤:由于AK=AE，所以，∠AKF＝30°，∠ABE＝45°.因而⊿ABE为等腰直角三角形，那么（4）作KE与圆相切于E点，并与AC相交于B点.方法5：等效法αMNAB设人在B点追上船，则人到达B点可能有很多途径，如A→C→B，A→D→B,A→E→B等,这些途径中耗时最少的途径对应着允许的最大船速，作∠NAP＝30°，并分别作CK,DH,EF垂直AP，其中设BDH为直线，CDEKHFP30°又设想MN线下方也变成湖水区域，则因为AC=2CK,所以人由K点游泳到C点所用时间与人在岸上走由A点到C点所用时间是相等的.故人按题设情况经路径A→C→B所用时间与假想人全部在水中游泳游过路径K→C→B所用时间相等，同理，人按题设情况经路径A→D→B所用时间与假想人全部在水中游泳游过路径H→D→B所用时间相等，人按题设情况经路径A→E→B所用时间与假想人全部在水中游泳游过路径F→E→B所用时间相等，CDEKHFP30°αMNAB显然，在这些途径中，因为HDB是直线，因此所用时间最少.由以上分析可知，人沿等效途径HDB游泳就费时最少地刚好追上船，这对应着最大船速，设为vmax，则有因为⊿AHB是等腰直角三角形，所以故得方法6：极值法（利用三角函数）MNABCDαβθ如图，设人沿岸走到D点时，船航行到C点，此时人入水游泳就刚好能在B点追上船.在⊿ACD中应用正弦定理得又设此时船速为v，人由A点走到D点耗时为t，则由以上两式得MNABCDαβθ又在⊿CDB中应用正弦定理得设人游过DB段所用时间为,则由以上两式得由（1）、（2）式，并注意，可得MNABCDαβθ又由于，要v尽可能大，即需AC/AD尽可能大，而θ越大，则AC越大，θ－α也越大，且（θ－α）为锐角，则sin（θ－α）随（θ－α）增大而增大，故得sin（θ－α）最大时，θ最大，由于α为恒量，则θ越大，则由（3）式可见，当sin（θ＋β）＝1时，sin（θ－α）有最大值为1/2，此时对应的θ值为，由此得，于是⊿CDB是等腰直角三角形，则有MNABCDαβθ所以，方法7：极值法（利用一元二次函数判别式）如图，设船出发后经时间t被人追上.则船的位移为s=vt，又设人在岸上走用时为kt（0<k<1)，位移为s1=kv1t,人在湖中游用时为(1－k)t（0<k<1)，位移为s2=(1-k)v2t.那么，据余弦定理有：把s、s1、s2的表达式及v1、v2的值代入并整理可得又于是有NMASBS1S2αD要这方程有实数解，其判别式⊿应满足：由此可解得：或由本题的物理情景可知只能取：方法8：极值法（利用一元二次函数判别式）如图，设人在岸上D处入水追船，运动方向与湖岸成θ角,并在B点处追上船，这人由A→D→B用时为t.则上式表明：t与θ有关，且在d、L、v1、v2一定时，由θ决定,研究函数dDMNABθLα两边平方得：整理后得：此方程有