2023年数一考研真题答案

2002年考研数学一试题答案与解析一、填空题(1)【分析】原式(2)【分析】方程两边对两次求导得①②以代入原方程得,以代入①得,再以代入②得(3)【分析】这是二阶的可降阶微分方程.令(以为自变量),那么代入方程得,即(或,但其不满足初始条件).别离变量得积分得即(对应);由时得于是积分得.又由得所求特解为(4)【分析】因为二次型经正交变换化为标准型时,标准形中平方项的系数就是二次型矩阵的特征值,所以是的特征值.又因,故(5)【分析】设事件表示“二次方程无实根〞,那么依题意,有而即二、选择题(1)【分析】这是讨论函数的连续性,可偏导性,可微性及偏导数的连续性之间的关系.我们知道,的两个偏导数连续是可微的充分条件,假设可微那么必连续,应选(A).(2)【分析】由充分大时即时,且不妨认为因而所考虑级数是交错级数,但不能保证的单调性.按定义考察局部和原级数收敛.再考察取绝对值后的级数.注意发散发散.因此选(C).(3)【分析】证明(B)对:反证法.假设,那么由拉格朗日中值定理,(当时,,因为);但这与矛盾(4)【分析】因为,说明方程组有无穷多解,所以三个平面有公共交点且不唯一,因此应选(B).(A)表示方程组有唯一解,其充要条件是(C)中三个平面没有公共交点,即方程组无解,又因三个平面中任两个都不行,故和,且中任两个平行向量都线性无关.类似地,(D)中有两个平面平行,故,,且中有两个平行向量共线.(5)【分析】首先可以否认选项(A)与(C),因对于选项(B),假设那么对任何,因此也应否认(C),综上分析,用排除法应选(D).进一步分析可知,假设令,而那么的分布函数恰是三、【解】用洛必达法那么.由题设条件知由于,故必有又由洛必达法那么及,那么有.综上,得四、【解】由条件得故所求切线方程为.由导数定义及数列极限与函数极限的关系可得五、【分析与求解】是正方形区域如图.因在上被积函数分块表示于是要用分块积分法,用将分成两块:(关于对称)(选择积分顺序)六、【分析与求解】(1)易知原函数,在上原函数,即.积分在与路径无关.(2)因找到了原函数,立即可得七、【证明】与书上解答略有不同,参见数三2002第七题(1)因为幂级数的收敛域是,因而可在上逐项求导数,得,,所以.(2)与相应的齐次微分方程为,其特征方程为,特征根为.因此齐次微分方程的通解为.设非齐次微分方程的特解为,将代入方程可得,即有.于是,方程通解为.当时,有于是幂级数的和函数为八、【分析与求解】(1)由梯度向量的重要性质:函数在点处沿该点的梯度方向方向导数取最大值即的模,(2)按题意,即求求在条件下的最大值点在条件下的最大值点.这是求解条件最值问题,用拉格朗日乘子法.令拉格朗日函数那么有解此方程组:将①式与②式相加得或假设,那么由③式得即假设由①或②均得,代入③式得即于是得可能的条件极值点现比拟在这些点的函数值:因为实际问题存在最大值,而最大值又只可能在中取到.因此在取到在的边界上的最大值,即可作为攀登的起点.九、【解】由线性无关及知,向量组的秩,即矩阵的秩为因此的根底解系中只包含一个向量.那么由知,的根底解系是再由知,是的一个特解.故的通解是其中为任意常数.十、【解】(1)假设相似,那么存在可逆矩阵,使故(2)令那么但不相似.否那么,存在可逆矩阵,使.从而,矛盾,亦可从而知与不相似.(3)由均为实对称矩阵知,均相似于对角阵,假设的特征多项式相等,记特征多项式的根为那么有相似于也相似于即存在可逆矩阵,使于是由为可逆矩阵知,与相似.十一、【解】由于依题意,服从二