2020年安徽省合肥高二(下)期中数学试卷(理科)

第第页，共12页期中数学试卷（理科）题号一一二总分得分、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知i是虚数单位，则复数z=or在复平面内对应的点所在的象限为（A.第一象限A.第一象限B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数 f（x）2.有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数 f（x）,如果f'（xo）=0,那么x=xo是函数f（x）的极值点，因为函数f（x）=x3在x=0处的导数值f所以，x=o是函数f（x）=x3的极值点.以上推理中（ ）(0)=0,A.大前提错误 A.大前提错误 B.小前提错误C.推理形式错误 D.结论正确TOC\o"1-5"\h\z.函数y=：x2-lnx的单调递减区间为（ ）A.（-1,1]B.（0,1] C.[1,+q D.（0,+8）.由曲线y=N又，直线y=x-2及y轴所围成的图形的面积为（ ）A.9 B.4 C.； D.6.利用数学归纳法证明"（n+1）（n+2）…（n+n）=2nX1MX-x（2n-1）,nCN时，从“n=k”变到“n=k+1”时，左边应增乘的因式是（ ）H卜1A.2k+1 B.冷C.6. C.6. 给出一个命题p：若a,b,c,d虫,中至少有一个小于零.在用反证法证明A.a,b,c,d中至少有一个正数C.a,b,c,d全都大于或等于0r2*+3D.TTVa+b=1,c+d=1,且ac+bd>1,贝Ua,b,c,dp时，应该假设( )B.a,b,c,d全为正数D.a,b,c,d中至多有一个负数.三角形的面积5= +力+G'匚匹氏《为三角形的边长，r为三角形内切圆的半径，利用类比推理，可得出四面体的体积为（ ）A.V=^abcC.+»+（S1,S2,S3,S4分别为四面体的四个面的面积， r为四面体内接球的半径）D.八，启+呢+吟件.S为四面体的高）.已知函数f（x）=ln（4x-x2），则（ ）f（x）在（0,4）单调递增f（x）在（0,4）单调递减y=f（x）的图象关于直线x=2对称y=f（x）的图象关于点（2,0）对称.若函数八0・山』二+3^2在区间&z)内存在单调递增区间，则实数 a的取值范围是A.1-IB.h]C.(一2,—：) D.(匕T4ITOC\o"1-5"\h\z.设a=sin1,b=2sin[c=3sin：,则( )A.cvavb B.a<cvb C.avbvc D.cvbva.已知函数f (x) (xCR)的图象上任一点(xo, yo)处的切线方程为 y-yo= (xo-2)(xo2-1)(x-xo),那么函数f(x)的单调递减区间是( )A.[-1,+°°) B.(-8,2]C.(-00,-1)和(1,2) D.[2,+叫.关于函数f(x)=：+lnx,下列说法错误的是( )A.x=2是f(x)的极小值点B.函数y=f(x)-x有且只有1个零点C.存在正实数k,使得f(x)>kx恒成立D.对任意两个不相等的正实数 x1,x2,若f(xi)=f(x2),则x1+x2>4二、填空题(本大题共4小题，共20.0分).已知a=\，Hdx,则a的值为..已知AABC的三边a,b,c既成等差数列，又成等比数列，则UBC的形状是.设a为实数，若函数，00二«值一5m-4存在零点，则实数a的取值范围是.若函数f(x)=lnx与函数g(x)=x2+2x+a(x<0)有公切线，则实数a的取值范围是.三、解答题(本大题共6小题，共70.0分).已知复数z=(a2-4)+(a+2)i(a贝)(I)若z为纯虚数，求实数a的值；(n)若z在复平面上对应的点在直线 x+2y+1=0上，求实数a的值..设数列｛an｝的前n项之积为Tn,并满足Tn=1-an(n成*)(1)求a1，a2,a3；(2)证明：数列为等差数列.n.已知函数f(x)=x3-3x2-9x+2.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)与直线y=m有三个不同交点，求m的取值范围..(I)设A(xi,yi),B(x2,y2),。是坐标原点，且A,B,O不共线，求证:5AtM(n)设a,b,c均为正数，且a+b+c=1.证明：［+：之i..已知函数f(x)=rx3-ax2+h在x=-2处有极值.(I)求函数f(x)的单调区间；(n)若函数f(x)在区间［-3,3］上有且仅有一个零点，求b的取值范围..已知函数f(x)=lnx-ax2+(2-a)x.(I)讨论f(x)函数的单调性；(n)设f(x)的两个零点是x1，x2,求证:答案和解析.【答案】D【解析】【分析】本题考查了复数的运算和复数的代数形式及其几何意义，属基础题.化简？二，得其在复平面上对应点的坐标即可.【解答】解.z=ZZ="•>—一.」，用牛,[tTT20joiod'所以z在复平面上对应的点为（卮一方，位于第四象限.故选D..【答案】A【解析】【分析】本题考查的知识点是演绎推理的基本方法， 演绎推理是一种必然性推理，演绎推理的前提与结论之间有蕴涵关系.因而，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论必定是真实的，但错误的前提可能导致错误的结论.在使用三段论推理证明中，如果命题是错误的，则可能是“大前提”错误，也可能是“小前提”错误，也可能是推理形式错误，我们分析的其大前提的形式：“对于可导函数（x）,如果f（X0）=0,那么X=X0是函数f（x）的极值点”，不难得到结论.【解答】解：♦.大前提是：“对于可导函数 f（X）,如果f'（X0）=0,那么X=X0是函数f（X）的极值点”，不是真命题，因为对于可导函数f（X）,如果f'（X0）=0,且满足当X=X0附近的导函数值异号时，那么X=X0是函数f（X）的极值点，••大前提错误，故选：A..【答案】B【解析】解：3=?2加*的定义域为（0,+8）,，由y'wo得：0VXW],.・函数y=22-lnX的单调递减区间为（0,1],故选：B.由y=：X2-inX得y'=存，由y'v0即可求得函数y=X2-lnX的单调递减区间.本题考查利用导数研究函数的单调性，注重标根法的考查与应用，属于基础题..【答案】C

【解析】【分析】利用定积分知识求解该区域面积是解决本题的关键，要确定出曲线v=、A，直线y=x-2的交点，确定出积分区间和被积函数，利用导数和积分的关系完成本题的求解.本题考查曲边图形面积的计算问题， 考查学生分析问题解决问题的能力和意识，考查学生的转化与化归能力和运算能力，考查学生对定积分与导数的联系的认识，求定积分关键要找准被积函数的原函数，属于定积分的简单应用问题.【解答】解：联立方程|，:乜得到两曲线的交点（4,2）,因此曲线V=&,直线y=x-2及y轴所围成的图形的面积为:S=（3故选C..【答案】C【解析】解：由题意，n=k时，左边为（k+1）（k+2）…（k+k）；n=k+1时，左边为（k+2）（k+3）…（k+1+k+1）；从而增加两项为（2k+1）（2k+2）,且减少一项为（k+1）,故选：C.根据已知等式，分别考虑n=k、n=k+1时的左边因式，比较增加与减少的项，从而得解.本题以等式为载体，考查数学归纳法，考查从“n=k”变到“n=k+1”时，左边变化的项，属于中档题.【答案】C【解析】解：“a,b,c,d中至少有一个负数”的否定为“a,b,c,d全都大于或等于0”，由用反证法证明数学命题的方法可得，应假设“ a,b,c,d全都大于或等于0”，故选：C.用反证法证明数学命题时，应先假设结论的否定成立.本题主要考查用反证法证明数学命题， 把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面，是解题的突破口，属于基础题..【答案】C【解析】解：设四面体的内切球的球心为O,则球心。到四个面的距离都是r,根据三角形的面积的求解方法： 分割法，将O与四顶点连起来，可得四面体的体积等于以。为顶点，分别以四个面为底面的 4个三棱锥体积的和，犷二式+5a十号+545Tt故选：C.根据平面与空间之间的类比推理，由点类比点或直线，由直线类比直线或平面，由内切圆类比内切球，由平面图形面积类比立体图形的体积， 结合求三角形的面积的方法类比求四面体的体积即可.类比推理是指依据两类数学对象的相似性， 将已知的一类数学对象的性质类比迁移到另一类数学对象上去.一般步骤：①找出两类事物之间的相似性或者一致性.②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（或猜想）.【答案】C【解析】解：函数f（x）=ln（4x-x2）的定义域：（0,4）,因为y=4x-x2,是开口向下的二次函数，对称性为x=2,函数在（0,2）是增函数，在（2,4）是减函数，所以A,B不正确；C正确；D不正确，故选：C.求解函数的定义域，然后判断函数的单调性，函数的对称性，即可得到选项.本题考查复合函数的单调性以及函数的对称性，是基本知识的考查，基础题..【答案】D【解析】【分析】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，属于中档题.求出函数的导数，问题转化为，5）>0在xe（：,2）有解，转化为存在xe|（：,2）,使得a>-J,,而g（x）=—：在（；，2）单调递增，求出g（x）的范围，从而求出akAI |的范围即可.【解答】解：根据题意得，r'（x）=+2ax,曾（x）在区间（i,2）内存在单调递增区间，/㈤：>0在（；，2）内有解，即，+2ax>0Da>一7在（；，2）内有解故存在x^I（；,2）,使得a>-^7,令g（'）=一则g（x）在（：，2）单调递增,所以g（x）E（―2,-Q,故a>-2.故选D..【答案】Cftkuiri【解析】解：设f(x)=',(0<x<l),rOSn；'■I-"E仙if贝Uf'(x)= = =y,当0vxwi时，cosx>0,x<tanx,则此时f'(x)V0,即函数f(x)在(0,1］上为减函数,则f(')>f，)>f(1),即a<bvc,故选：C.根据条件构造函数f(x)=3(0<x<D,求函数的导数，利用导数研究函数的单调性，利用单调性进行比较即可.本题主要考查函数值的大小比较， 根据条件构造函数，利用函数单调性和导数的关系是解决本题的关键..【答案】C【解析】解：因为函数f (x) ,(xCR)上任一点(Xoyo)的切线方程为y-yo= (xo-2)(X02-1)(x-xo),即函数在任一点(xoyo)的切线斜率为k=(xo-2)(xo2-1),即知任一点的导数为f'(x)=(x-2)(x2-1).由f'(x)=(x-2)(x2-1)〈o,得xv-1或1vxv2,即函数f(x)的单调递减区间是(-8,-1)和(1,2).故选：C.由切线方程y-yo=(xo-2)(xo2-1)(x-xo),可知任一点的导数为f'(x)=(x-2)(x2-1),然后由f'(x)vo,可求单调递减区间.本题的考点是利用导数研究函数的单调性， 先由切线方程得到切线斜率，进而得到函数的导数，然后解导数不等式，是解决本题的关键..【答案】C【解析】解：f' (x) =:3，，(。，2)上，函数单调递减，(2, +8)上函数单调递增，.・x=2是f(x)的极小值点，即A正确；y=f(x)-x=+lnx-x,.y'=—j—vo,函数在(o,+8)上单调递减，x―0,y一+8,.,函数y=f(x)-x有且只有1个零点，即B正确；f(x)>kx,可得k<-j+,,1-4+贝Ug'(x)= 令h(x)=-4+x-xlnx,贝Uh'(x)=-lnx,・•.(o,1)上，函数单调递增，(1,+8)上函数单调递减,-h(x)动(1)v。，.g'(x)vo,-g(x)=~+—在(o,+8)上函数单调递减，函数无最小值,.•不存在正实数k,使得f(x)>kx恒成立，即C不正确;对任意两个正实数x1,x2,且x2>x1,(。，2)上，函数单调递减，(2,+8)上函数单调递增，若f(x1)=f(x2),则x1+x2>4,正确.故选：C.对选项分别进行判断，即可得出结论.本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题.【解析】解：a=R；31T工dx的几何意义为圆x2+y2=1(y>()的面积，其面积为最故答案为：，由定积分的几何意义得：a=Ciil-fdx的几何意义为圆x2+y2=1(y>0)的面积，其面积为官得解.本题考查了定积分的几何意义，属简单题..【答案】等边三角形【解析】解：由于三角形的三边a、b、c成等差数列，可得：2b=a+c,①又成等比数列，可得：b2=ac,②联立可得：(a-c)2=0,解得：a=c,可得：a=b=c,则AABC是等边三角形.故答案为：等边三角形.由等差数列和等比数列中项性质可判断得解.本题考查等差数列和等比数列的性质， 考查了三角形的形状的判断，考查化简运算能力,属于基础题..【答案】［-2,2］jq-万20【解析】解：根据题意，函数，⑴=/五,有;1+mW0，解可得：-1虫W3,即函数的定义域为［-1,3］；又由函数y、37与y=-Jl+x-a都是减函数,则f(x)=/3-#-Jl+x-a也为减函数,又由-1板w4则f(x)=\Fiyi+川-a的值域为卜2-a,2-a］;若函数/(x)=二1+T—口存在零点，必有|一2一rw。，解可得：-24W2,即a的取值范围为［-2,2］；故答案为：［-2,2］.根据题意，求出函数的定义域，分析易得f(x)，=飞行三-a在其定义域上减函数，t2—fl20据此可以分析函数f(x)的值域，进而有口40,解可得a的取值范围，即可得答案.本题考查函数零点的判定定理，关键是掌握函数的零点判断定理.16.【答案】(-ln2-1,+8)【解析】解：f(x)=：,g'(x)=2x+2,设与g(x)=x2+2x+a相切的切点为(s,t)sv0,与曲线f(x)=lnx相切的切点为(m,

n)m>0,则有公共切线斜率为2s+2=l=H,又t=s2+2s+a,n=lnm,即有a=s2-i+in(2s+2),设h(s)=s2-l-ln(2s+2)(-1vsv0),<0,.h'(s).h(s)>h(0)=-ln2-1,.a>-ln2-1,<0,•・SC(-1,0),且趋近与1时，f(s)无限增大，「a>-ln2-1,故答案为：(-ln2-1,+8).分别求出导数，设出各自曲线上的切点，得到切线的斜率，再由两点的斜率公式，结合切点满足曲线方程，可得切点坐标的关系式，整理得到关于一个坐标变量的方程，借助于函数的极值和最值，即可得到 a的范围.本题考查导数的几何意义，主要考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查运算能力，属于中档题..【答案】解：(I)若z为纯虚数，则a2-4=0,且a+2wQ解得实数a的值为2；(n)z在复平面上对应的点(a2-4,a+2),在直线x+2y+1=0上,则a2-4+2(a+2)+1=0,解得a=-1.【解析】(I)若z为纯虚数，实部为0,虚部不为0,求实数a的值；(n)求出z在复平面上对应的点的坐标，代入直线 x+2y+1=0,求实数a的值.本题考查复数的基本概念以及复数的几何意义，属于基础题..【答案】(1)解：由Tn=1-an(nCN*),得(2)证明：由((2)证明：由(1)猜测线面用数学归纳法证明：当n=1时，口1=：成立;假设当n=k(kCN*,且n时结论成立，即4=言「丁我二1一出= =i।i，则当n=k+1时，Tk+1=1-ak+1,即ak+1?Tk=1-ak+1,41+ 11= 贝u~m~ak+】=i，.•当n=k+1时，结论成立.综上，%=*=日+1，则F—f-=(n+1+l)-(n+l)=1ffl1rn

即数列【解析】（1）由已知数列递推式分别取n=1,2,3即可求得ai,a2,a3；（2）由（1）猜测数列｛an｝的通项公式，再用数学归纳法证明，然后求得 Tn,利用等差数列的定义证明数列为等差数列.本题考查数列递推式，训练了利用数学归纳法证明与自然数有关的命题， 考查等差关系【解析】（1）求出函数的导数，利用导函数的符号，判断函数的单调性，得到函数的单调区间.（2）求出函数的极值，结合3次函数的图象，写出结果即可.本题考查函数的导数的应用， 函数的单调性以及函数的极值的求法， 考查数形结合以及转化思想的应用，是中档题..【答案】证明：（1）'A（xi,yi）,「|OA=q 直线OA的方程为：yix-xiy=0,-B(X2,y2)到直线OA的距离d=J4+.Vj.SzAOB=；|OA?d』|x1y2TMi.(2)因为1+b>a,&(2)因为1+b>a,&+O2b,+a"(a+b+c)>2(a+b+c),日口八三八即iT+一全+b+c.\bc（I所以〈+"二河ben【解析】（1）由题意可得直线OA的方程为：yix-xiy=0,B（X2,y2）到直线OA的距离11rly厂，2MLi Qd二口上,然后根据Smob=.|OA|?d求出面积即可；（2）由「+b>演4+c>b,B+a>"然后利用综合法即可证明本题考查了两点间的距离和点到直线的距离的求法，考查了综合法，属基础题..【答案】解：（I）f（x）=x2-2ax由题意知：「(-2)=4+4a=0,得a=-1,.f(x)=x2+2x,令f'(x)>0,得xv-2或x>0,令f'(x)<0,得-2vxv0,.f(x)的单调递增区间是(-8,-2)和(0,+8),单调递减区间是(-2,0).(n)由(I)知，f(x)=?m+/+白,f(-