第一、二、三章习题、例题

1-1一质点在平面上作曲线运动，t1时刻的位置矢量为,t2时刻的位置矢量为，求（1）在时间内位移的矢量式；（2）该段时间内位移的大小和方向；（3）在坐标图上画出。（题中r以m为单位，t以s为单位）解：y(m)x(m)O（-2,6）（2,4）1-12-22-3346-26.601-3已知一质点的运动方程为式中t以s为单位，x、y以m为单位（1）计算并图示质点的运动轨迹；（2）求出t=1s到t=2s这段时间质点的平均速度；（3）计算1s末和2s末质点的速度；（4）计算1s末和2s末质点的加速度。解：质点的运动轨迹为抛物线（x>0）。1-9质点从静止出发沿半径R=3m的圆周作匀变速运动，切向加速度。问（1）经过多少时间后质点的总加速度恰好与半径成45度角？（2）在上述时间内，质点所经历的角位移和路程各为多少？解：2-4A、B、C三个物体，质量分别是

当把它们如图a所示放置时，物体系统正好做匀速运动。（1）求物体C与水平桌面间的摩擦因数；（2）如果将物体A移到物体B的上面，如图b所示，求系统加速度及绳中张力（滑轮与绳的质量不计）。BACBACB解：滑轮和绳的质量不计，则绳中张力处处相等，设为FT.ACFTFNFfB（1）如图a放置时，因A,B,C的加速度为零，A和C可视为一个整体，有牛顿第二定律：对A,C竖向水平且对B图a（2）如图b放置时，受力及运动情况如图b,有牛顿第二定律，对C：FfFTCABFTa图b2-9一质量为m的滑块，沿如图所示的轨道以初速无摩擦地滑动，求滑块由A运动到B的过程中所受的冲量，并图示（OB与地面平行，取i水平向右，j竖直向上）。解：物体由A到B的运动过程中，只有重力对物体做功，物体和地球系统机械能守恒，取水平轨道上重力势能为零，则有：ARBIABPAPBji2-22A,B两轻质弹簧，劲度系数分别为k1和k2，把他们如图串接后，再悬一质量为m的重物C,释手后，任其运动。（1）设某时刻两弹簧共伸长x，求A，B的分别伸长值x1和x2

（2）A,B串接后，把他们看做一个新弹簧，设新弹簧的劲度系数为k，请用k1和k2表示k

（3）某时刻，作用在重物C上的弹力正好等于重物C的重量，这时弹簧、重物、地球系统处于平衡，求此时两弹簧的总伸长量。

（4）重物从初位置（两弹簧都没有伸长时）运动到平衡位置的过程中，弹力和重力做功分别是多少？二者合力做功是多少？（5）设重力势能的零势能点和弹性势能的零势能点都在初位置处，分别求在平衡状态时的重力势能和弹性势能。（6）运动过程中不计任何阻力，求平衡位置处重物C的动能Ek和系统的机械能EM.解：（4）以A,B都无伸长时，B之自由端为坐标原点O,向下为正向，建立坐标系，设系统平衡时，弹簧共伸长x，则：（5）由于O点处因此系统平衡时：3-6如图所示，两物体的质量分别为m1和m2，滑轮的转动惯量为J,半径为r，如m2与桌面的摩擦因数为，求系统的加速度a及绳中的张力FT1与FT2(设绳子与滑轮间无相对滑动)。FT1m1m2FT2m1m2FT2FN2Ffa解：分别以m1，m2和滑轮为研究对象，他们的受力和运动情况如上图，对m1，m2应用牛顿第二定律，对轮应用转动定律：m2FT2FN2Ffam13-8质量为m1，长为l的均匀直棒，可绕垂直于棒的一端的水平轴O无摩擦地转动，他原来静止在平衡位置上，现在一质量为m2的弹性小球飞来，正好在棒的下端于棒垂直地相撞，撞后，棒从平衡位置处摆动达到最大角度，如图所示。（1）设碰撞为弹性，试计算小球的初速度大小；（2）相撞时，小球受到多大的冲量？m1m2vl/2EpG=0解：球棒碰撞瞬间，球、棒所受重力作用线过轴O,对轴O的矩皆为零，轴处无摩擦力矩，因此球棒的碰撞过程系统动量矩守恒。（1）球对轴O的初动量矩L20=m2vl,棒初动量矩L10=0;设碰撞后瞬时，小球的速度为

，棒的角速度为，则

由动量矩守恒得：由弹性碰撞动能守恒得：棒由平衡位置摆到最大偏转角的过程，棒、地球系统，只有重力做功，机械能守恒，如图示，取平衡位置棒中心重力势能为零，中心末位置上升，棒在末位置的重力势能为由机械能守恒，有：l/2EpG=0h（2）对小球由动量定理：负号表示棒施予球的冲量与棒初速反向。例1刚体质量为面分布(薄板状刚体)一均匀圆盘质量为，半径,求通过盘中心并与盘面垂直的轴的转动惯量.解：引入质量面密度，单位面积质量为整个圆盘对该轴转动惯量为薄圆盘可以看成是许多同心圆盘的集合，在圆盘上任取一半径为，宽度为的窄圆环，圆环的面积为，圆环质量.此窄圆环上各点到转轴距离都为，该圆环对通过盘心垂直于圆盘的轴的转动惯量为例2半径R质量M的圆盘滑轮可绕通过盘心的水平轴转动，滑轮上绕有轻绳，绳的一端悬挂质量为m的物体。当物体从静止下降距离h时，物体速度是多少？(设滑轮与绳子间无摩擦)解：以滑轮、物体和地球组成系统为研究对象。由于只有保守力做功，故机械能守恒。设终态时重力势能为零。初态：动能为零，重力势能为mgh末态：动能包括滑轮转动动能和物体平动动能由机械能守恒解：以小球为研究对象，受到弹性力、重力、圆环对重物支持力例3

一弹性系数为的轻弹簧，其一端固定在铅垂面内圆环的最高点处，另一端系一质量为的小球，小球穿过圆环并在圆环上做摩擦不计的运动。设弹簧的原长与圆环的半径相等，求重物自弹簧原长点无初速的沿着圆环滑至最低点时所获得的动能。分析：重物在滑动过程中，支持力不做功，只有重力和弹性力做功且两者都是保守力，故重物在滑动过程中机械能守恒。取通过点水平面为零势能面，弹簧原长为弹簧势能零势能面由机械能守恒定律由此得到重物在点动能为零势能为重物在点动能为势能为零弹性势能为

例4：质量为m的小球系于细绳的一端,绳的另一端缚在一根竖直放置的细棒上,小球被约束在水平面内绕细棒旋转,某时刻角速度为1，细绳的长度为r1。当旋转了若干圈后,由于细绳缠绕在细棒上,绳长变为r2,求此时小球绕细棒旋转的角速度2

。解：小球受力绳子的张力

,指向细棒；重力

，竖直向下；支撑力

,竖直向上。

与绳子平行,不产生力矩；

与平衡，力矩始终为零。所以,作用于小球的力对细棒的力矩始终等于零,故小球对细棒的角动量必定是守恒的。根据质点对轴的角动量守恒定律式中v1是半径为r1时小球的线速度,v2是半径为r2时小球的线速度。代入上式得解得可见,由于细绳越转越短,,小球的角速度必定越转越大,即。而解:将行星看为质点,在dt

时间内以速度

完成的位移为

,矢径

在dt

时间内扫过的面积为dS（图中阴影）。根据质点角动量的定义则om·

例5：行星运动的开普勒第二定律认为,对于任一行星,由太阳到行星的径矢在相等的时间内扫过相等的面积。试用角