统计学第5章 参数估计

数据分析

(方法与案例)

作者贾俊平统计学统

计

学

Statisticsyyyy-M-不象其他科学，统计从来不打算使自己完美无缺，统计意味着你永远不需要确定无疑。

——GudmundR.Iversen统计名言yyyy-M-第5章数值变量的推断—参数估计5.1

参数估计的基本原理5.2

一个总体参数的区间估计5.3

两个总体参数的区间估计5.4样本量的确定parameterestimationyyyy-M-学习目标参数估计的基本原理点估计与区间估计评价估计量优良性的标准一个总体参数的区间估计方法两个总体参数的区间估计方法样本量的确定方法yyyy-M-大学生每周上网花多少时间？为了解学生每周上网花费的时间，中国人民大学公共管理学院的4名本科生对全校部分本科生做了问卷调查。调查的对象为中国人民大学在校本科生，调查内容包括上网时间、途径、支出、目的、关心的校园网内容，以及学生对收费的态度，包括收费方式、价格等问卷调查由调查员直接到宿舍发放并当场回收。对四个年级中每年级各发60份问卷，其中男、女生各30份。共收回有效问卷共200份。其中有关上网时间方面的数据经整理如下表所示yyyy-M-大学生每周上网花多少时间？回答类别人数（人）频率（%）3小时以下32163～6小时3517.56～9小时3316.59～12小时2914.512小时以上7135.5合计200100平均上网时间为8.58小时，标准差为0.69小时。全校学生每周的平均上网时间是多少？每周上网时间在12小时以上的学生比例是多少？你做出估计的理论依据是什么？yyyy-M-5.1参数估计的基本原理

5.1.1点估计与区间估计

5.1.2评价估计量的标准第5章参数估计yyyy-M-5.1.1点估计与区间估计5.1参数估计的基本原理yyyy-M-参数估计(parameterestimation)就是用样本统计量去估计总体的参数估计量：用于估计总体参数的统计量的名称如样本均值，样本比例，样本方差等例如:样本均值就是总体均值的一个估计量参数用表示，估计量用表示估计值：估计参数时计算出来的统计量的具体值如果样本均值x=80，则80就是的估计值估计量与估计值

(estimator&estimatedvalue)yyyy-M-点估计

(pointestimate)用样本的估计量的某个取值直接作为总体参数的估计值例如：用样本均值直接作为总体均值的估计；用两个样本均值之差直接作为总体均值之差的估计无法给出估计值接近总体参数程度的信息由于样本是随机的，抽出一个具体的样本得到的估计值很可能不同于总体真值一个点估计量的可靠性是由它的抽样标准误差来衡量的，这表明一个具体的点估计值无法给出估计的可靠性的度量yyyy-M-区间估计

(intervalestimate)在点估计的基础上，给出总体参数估计的一个估计区间，该区间由样本统计量加减估计误差而得到根据样本统计量的抽样分布能够对样本统计量与总体参数的接近程度给出一个概率度量比如，某班级平均分数在75～85之间，置信水平是95%

yyyy-M-区间估计的图示yyyy-M-将构造置信区间的步骤重复很多次，置信区间包含总体参数真值的次数所占的比例，也称置信度表示为(1-为是总体参数未在区间内的比例常用的置信水平值有

99%,95%,90%相应的为0.01，0.05，0.10置信水平

(confidencelevel)

yyyy-M-由样本估计量构造出的总体参数在一定置信水平下的估计区间统计学家在某种程度上确信这个区间会包含真正的总体参数，所以给它取名为置信区间如果用某种方法构造的所有区间中有95%的区间包含总体参数的真值，5%的区间不包含总体参数的真值，那么，用该方法构造的区间称为置信水平为95%的置信区间。同样，其他置信水平的区间也可以用类似的方式进行表述置信区间的表述

(confidenceinterval)yyyy-M-总体参数的真值是固定的，而用样本构造的区间则是不固定的，因此置信区间是一个随机区间，它会因样本的不同而变化，而且不是所有的区间都包含总体参数实际估计时往往只抽取一个样本，此时所构造的是与该样本相联系的一定置信水平(比如95%)下的置信区间。我们只能希望这个区间是大量包含总体参数真值的区间中的一个，但它也可能是少数几个不包含参数真值的区间中的一个置信区间的表述

(confidenceinterval)yyyy-M-当抽取了一个具体的样本，用该样本所构造的区间是一个特定的常数区间，我们无法知道这个样本所产生的区间是否包含总体参数的真值，因为它可能是包含总体均值的区间中的一个，也可能是未包含总体均值的那一个一个特定的区间总是“包含”或“绝对不包含”参数的真值，不存在“以多大的概率包含总体参数”的问题置信水平只是告诉我们在多次估计得到的区间中大概有多少个区间包含了参数的真值，而不是针对所抽取的这个样本所构建的区间而言的正确的表述：计算置信水平为95%的置信区间是一种方法，该方法使得区间以95%的概率覆盖总体参数置信区间的表述

(confidenceinterval)yyyy-M-置信区间的表述

(95%的置信区间)从均值为185的总体中抽出n=10的20个样本构造出的20个置信区间我没有抓住参数！点估计值yyyy-M-使用一个较大的置信水平会得到一个比较宽的置信区间，而使用一个较大的样本则会得到一个较准确(较窄)的区间。直观地说，较宽的区间会有更大的可能性包含参数但实际应用中，过宽的区间往往没有实际意义比如，天气预报说“在一年内会下一场雨”，虽然这很有把握，但有什么意义呢？另一方面，要求过于准确(过窄)的区间同样不一定有意义，因为过窄的区间虽然看上去很准确，但把握性就会降低，除非无限制增加样本量，而现实中样本量总是有限的区间估计总是要给结论留点儿余地置信区间的表述

(confidenceinterval)yyyy-M-5.1.2评价估计量的标准5.1参数估计的基本原理yyyy-M-无偏性

(unbiasedness)无偏性：估计量抽样分布的数学期望等于被估计的总体参数yyyy-M-有效性

(efficiency)有效性：对同一总体参数的两个无偏点估计量，有更小标准差的估计量更有效

yyyy-M-一致性

(consistency)一致性：随着样本量的增大，估计量的

值越来越接近被估计的总体参数yyyy-M-5.2一个总体参数的区间估计

5.2.1总体均值的区间估计

5.2.2总体比例的区间估计

5.2.3总体方差的区间估计第5章参数估计yyyy-M-5.2.1总体均值的区间估计5.2一个总体参数估计的区间估计yyyy-M-一个总体参数的区间估计总体参数符号表示样本统计量均值比例方差yyyy-M-总体均值区间的一般表达式总体均值的置信区间是由样本均值加减估计误差得到的估计误差由两部分组成：一是点估计量的标准误差，它取决于样本统计量的抽样分布。二是估计时所要的求置信水平为时，统计量分布两侧面积为的分位数值，它取决于事先所要求的可靠程度总体均值在置信水平下的置信区间可一般性地表达为样本均值±分位数值×样本均值的标准误差yyyy-M-总体均值的区间估计

(大样本的估计)1. 假定条件总体服从正态分布,且方差(２)

已知如果不是正态分布，可由正态分布来近似(n

30)使用正态分布统计量z总体均值在1-置信水平下的置信区间为yyyy-M-总体均值的区间估计

(大样本的估计)【例5-1】一家保险公司收集到由36个投保人组成的随机样本，得到每个投保人的年龄(单位：周岁)数据如下表。试建立投保人年龄90%的置信区间

36个投保人年龄的数据233539273644364246433133425345544724342839364440394938344850343945484532yyyy-M-总体均值的区间估计

(大样本的估计)解：已知n=36,1-=90%，z/2=1.645。根据样本数据计算得：，

总体均值在1-置信水平下的置信区间为投保人平均年龄的置信区间为37.37岁~41.63岁yyyy-M-总体均值的区间估计

(小样本的估计)1. 假定条件总体服从正态分布,但方差(２)

未知小样本

(n<30)使用t

分布统计量总体均值在1-置信水平下的置信区间为yyyy-M-总体均值的区间估计

(小样本的估计)【例5-2】一家食品生产企业以生产袋装食品为主，为对产量质量进行监测，企业质检部门经常要进行抽检，以分析每袋重量是否符合要求。现从某天生产的一批食品中随机抽取了25袋，测得每袋重量如下表所示。已知产品重量的分布服从正态分布，且总体标准差为10克。试估计该批产品平均重量的置信区间，置信水平为95%25袋食品的重量112.5101.0103.0102.0100.5102.6107.5

95.0108.8115.6100.0123.5102.0101.6102.2116.6

95.4

97.8108.6105.0136.8102.8101.5

98.4

93.3yyyy-M-总体均值的区间估计

(小样本的估计)解：已知Ｘ~N(，102)，n=25,1-=95%，z/2=1.96。根据样本数据计算得：。由于是正态总体，且方差已知。总体均值在1-置信水平下的置信区间为该食品平均重量的置信区间为101.44g~109.28gyyyy-M-总体均值的区间估计

(小样本的估计)【例5-3】已知某种灯泡的寿命服从正态分布，现从一批灯泡中随机抽取16只，测得其使用寿命(单位：h)如下。建立该批灯泡平均使用寿命95%的置信区间16灯泡使用寿命的数据1510152014801500145014801510152014801490153015101460146014701470yyyy-M-总体均值的区间估计

(小样本的估计)解：已知Ｘ~N(，2)，n=16,1-=95%，t/2=2.131

根据样本数据计算得：，

总体均值在1-置信水平下的置信区间为该种灯泡平均使用寿命的置信区间为1476.8h～1503.2hyyyy-M-用SPSS求置信区间

(小样本)SPSS的输出结果

yyyy-M-5.2.2总体比例的区间估计5.2一个总体参数估计的区间估计yyyy-M-总体比例的区间估计

(传统方法)1. 假定条件总体服从二项分布可以由正态分布来近似np(成功次数)和n(1-p)(失败次数)均应该大于10使用正态分布统计量z3.总体比例在1-置信水平下的置信区间为样本比例±分位数值×样本比例的标准误差yyyy-M-总体比例的区间估计

(例题分析—传统方法)【例5-4】某城市想要估计下岗职工中女性所占的比例，随机地抽取了100名下岗职工，其中65人为女性职工。试以95%的置信水平估计该城市下岗职工中女性比例的置信区间解：已知n=100，p＝65%,1-=95%，z/2=1.96该城市下岗职工中女性比例的置信区间为55.65%~74.35%

yyyy-M-一个总体比例的区间估计

(现代方法)按照传统方法计算出来的置信水平为(1-)的置信区间能够覆盖总体真实比例的概率小于(1-)，既是大样本也是如此，更不可能应用于小样本根据经验法则：传统方法要求np(成功次数)和n(1-p)(失败次数)均应该大于10(也有些书上说大于5)对于非常大的样本，传统方法和现代方法的结果几乎相同，但对于小样本或中等样本现代方法更适用yyyy-M-一个总体比例的区间估计

(现代方法)通过修正试验次数n(样本量)和试验成功的比例P(样本比例)改进置信区间将试验次数n加上4，即用代替n；将试验成功的次数x加上2，即用代替p对于任意大小的样本都可以使用该方法计算置信区间只是在样本较小时，偶尔会有区间下限小于0或区间上限大于1的情况发生。此时可用0代替小于0的下限，用1代替大于1的上限yyyy-M-一个总体比例的区间估计

(现代方法)设总体服从二项分布，即X~(n，p)，x为n次独立伯努利试验成功的次数，P为成功的概率定义和总体比例在1-置信水平下的置信区间该区间也称为Agresti-Coull区间(由AlanAgresti和BrentCoull给出，以其姓氏命名)如果下限小于0则用0代替；如果上限大于1则用1代替yyyy-M-一个总体比例的区间估计

(现代方法)【例】某城市想要估计下岗职工中女性所占的比例，随机地抽取了100名下岗职工，其中65人为女性职工。试以95%的置信水平估计该城市下岗职工中女性比例的置信区间解：该城市下岗职工中女性比例的置信区间为47.72%~79.12%

yyyy-M-5.2.3总体方差的区间估计5.2一个总体参数估计的区间估计yyyy-M-总体方差的区间估计1. 估计一个总体的方差或标准差2. 假设总体服从正态分布总体方差

2

的点估计量为s2,且4.总体方差在1-置信水平下的置信区间为yyyy-M-总体方差的区间估计

(图示)yyyy-M-总体方差的区间估计

(例题分析)【例5-5】一家食品生产企业以生产袋装食品为主，现从某天生产的一批食品中随机抽取了25袋，测得每袋重量如下表所示。已知产品重量的分布服从正态分布。以95%的置信水平建立该种食品重量方差的置信区间

25袋食品的重量112.5101.0103.0102.0100.5102.6107.5

95.0108.8115.6100.0123.5102.0101.6102.2116.6

95.4

97.8108.6105.0136.8102.8101.5

98.4

93.3yyyy-M-总体方差的区间估计

(例题分析)解:已知n＝25，1-＝95%,根据样本数据计算得

s2=93.21

2置信度为95%的置信区间为

该企业生产的食品总体重量标准差的的置信区间为7.54g~13.43gyyyy-M-一个总体参数的区间估计

(小结)yyyy-M-5.3两个总体参数的区间估计

5.3.1两个总体均值之差的区间估计

5.3.2两个总体比例之差的区间估计

5.3.3两个总体方差比的区间估计第5章参数估计yyyy-M-两个总体参数的区间估计总体参数符号表示样本统计量均值差比例差方差比yyyy-M-5.3.1两个总体均值之差的区间估计5.3两个总体参数估计的区间估计yyyy-M-均值之差区间的一般表达式两个总体均值的置信区间是由两个样本均值之差加减估计误差得到的估计误差由两部分组成：一是点估计量的标准误差，它取决于样本统计量的抽样分布。二是估计时所要的求置信水平为时，统计量分布两侧面积为的分位数值，它取决于事先所要求的可靠程度两个总体均值之差(1-2)在置信水平下的置信区间可一般性地表达为(x1-x2)±分位数值×(x1-x2)的标准误差yyyy-M-两个总体均值之差的估计

(独立大样本)1. 假定条件两个总体都服从正态分布，1２、2２已知若不是正态分布,可以用正态分布来近似(n130和n230)两个样本是独立的随机样本使用正态分布统计量zyyyy-M-两个总体均值之差的估计

(独立大样本)1. 1２，2２已知时，两个总体均值之差1-2在1-置信水平下的置信区间为

1２、2２未知时，两个总体均值之差1-2在1-置信水平下的置信区间为yyyy-M-两个总体均值之差的估计

(独立大样本)【例5-6】某地区教育管理部门想估计两所中学的学生高考时的英语平均分数之差，为此在两所中学独立抽取两个随机样本，有关数据如右表。建立两所中学高考英语平均分数之差95%的置信区间

两个样本的有关数据

中学1中学2n1=46n1=33S1=5.8S2=7.2Englishyyyy-M-两个总体均值之差的估计

(独立大样本)解:两个总体均值之差在1-置信水平下的置信区间为

两所中学高考英语平均分数之差的置信区间为5.03分~10.97分yyyy-M-两个总体均值之差的估计

(独立小样本:

12=22)1. 假定条件两个总体都服从正态分布两个总体方差未知但相等：1２=2２两个独立的小样本(n1<30和n2<30)总体方差的合并估计量估计量x1-x2的抽样标准差yyyy-M-两个总体均值之差的估计

(独立小样本:

12=22)两个样本均值之差的标准化两个总体均值之差1-2在1-置信水平下的置信区间为yyyy-M-两个总体均值之差的估计

(独立小样本:

12=22)【例5-7】为估计两种方法组装产品所需时间的差异，分别对两种不同的组装方法各随机安排12名工人，每个工人组装一件产品所需的时间(单位：min)下如表。假定两种方法组装产品的时间服从正态分布，且方差相等。试以95%的置信水平建立两种方法组装产品所需平均时间差值的置信区间两个方法组装产品所需的时间方法1方法228.336.027.631.730.137.222.226.029.038.531.032.037.634.433.831.232.128.020.033.428.830.030.226.5yyyy-M-两个总体均值之差的估计

(独立小样本:

12=22)解:根据样本数据计算得合并估计量为两种方法组装产品所需平均时间之差的置信区间为0.14分钟~7.26分钟yyyy-M-两个总体均值之差的估计

(独立小样本:1222)1. 假定条件两个总体都服从正态分布两个总体方差未知且不相等：1２2２两个独立的小样本(n1<30和n2<30)使用统计量yyyy-M-两个总体均值之差的估计

(独立小样本:1222)两个总体均值之差1-2在1-置信水平下的置信区间为自由度yyyy-M-用SPSS求两个总体均值之差置信区间

(例题分析)检验两个总体的方差是否相等。原假设是相等，如Sig.很小，则表明两个总体方差不相等，此时使用区间“假设方差相等”，否则使用区间“假设方差不相等”。本例使用“假设方差相等”求置信区间SPSSyyyy-M-两个总体均值之差的估计

(独立小样本:1222)【例5-8】沿用前例。假定第一种方法随机安排12名工人，第二种方法随机安排8名工人，即n1=12，n2=8，所得的有关数据如表。假定两种方法组装产品的时间服从正态分布，且方差不相等。以95%的置信水平建立两种方法组装产品所需平均时间差值的置信区间

两个方法组装产品所需的时间方法1方法228.336.027.631.730.137.222.226.529.038.531.037.634.433.832.128.020.028.830.030.221yyyy-M-两个总体均值之差的估计

(独立小样本:1222)解:根据样本数据计算得

自由度为两种方法组装产品所需平均时间之差的置信区间为0.192分钟~9.058分钟yyyy-M-用SPSS求两个总体均值之差置信区间

(例题分析)SPSS的输出结果(只截取估计的部分)检验两个总体的方差是否相等。原假设是相等，如Sig.很小，则表明两个总体方差不相等，此时使用区间“Equalvariancesnotassumed”，否则使用区间“Equalvariancesassumed”。本例使用“Equalvariancesassumed”yyyy-M-两个总体均值之差的估计

(匹配大样本)假定条件两个匹配的大样本(n130和n230)两个总体各观察值的配对差服从正态分布两个总体均值之差d=1-2在1-置信水平下的置信区间为d±分位数值×d的标准误差yyyy-M-两个总体均值之差的估计

(匹配小样本)假定条件两个匹配的小样本(n1<30和n2<30)两个总体各观察值的配对差服从正态分布

两个总体均值之差d=1-2在1-置信水平下的置信区间为yyyy-M-两个总体均值之差的估计

(匹配小样本)【例5-9】由10名学生组成一个随机样本，让他们分别采用A和B两套试卷进行测试，结果如下表。试建立两种试卷分数之差d=1-2

95%的置信区间

10名学生两套试卷的得分学生编号试卷A试卷B差值d17871726344193726111489845691741754951-27685513876601698577810553916STATISTICSyyyy-M-两个总体均值之差的估计

(匹配小样本)解:根据样本数据计算得两种试卷所产生的分数之差的置信区间为6.33分~15.67分yyyy-M-用SPSS求配对小样本均值之差置信区间

(例题分析)SPSS的输出结果

(只截取估计的部分)用求置信区间SPSSyyyy-M-5.3.2两个总体比例之差的区间估计5.3两个总体参数估计的区间估计yyyy-M-1. 假定条件两个总体服从二项分布可以用正态分布来近似两个样本是独立的n1p1和n1(1-p1)，n2p2和n2(1-p2)，均应该大于102. 两个总体比例之差1-2在1-置信水平下的置信区间为两个总体比例之差的区间估计

(传统方法)(p1-p2)±分位数值×(p1-p2)的标准误差yyyy-M-两个总体比例之差的估计

(例题分析—传统方法)【例5-10】在某个电视节目的收视率调查中，农村随机调查了400人，有32%的人收看了该节目；城市随机调查了500人，有45%的人收看了该节目。试以95%的置信水平估计城市与农村收视率差别的置信区间12yyyy-M-两个总体比例之差的估计

(例题分析—传统方法)解:已知

n1=500，n2=400，p1=45%，p2=32%，

1-=95%，z/2=1.96

1-2置信度为95%的置信区间为城市与农村收视率差值的置信区间为6.68%~19.32%yyyy-M-两个总体比例之差的区间估计

(现代方法)通过修正试验次数n1、n2(样本量)和试验成功的比例P1、P2(样本比例)改进置信区间将试验次数n1和n1各加上2，即用代n1，代替n2；将试验成功的次数x1和x2各加上1，即用代替p1，用代替p2对于任意大小的样本都可以使用该方法计算置信区间yyyy-M-两个总体比例之差的区间估计

(现代方法)设两总体都服从二项分布，即X1~(n1，p1)，X2~(n2，p2)。x1为n1次独立伯努利试验成功的次数，P1位成功的概率概率，x2

为n2次独立伯努利试验成功的次数，P2为成功的概率定义，；，1-2在1-置信水平下的置信区间该区间也称为Agresti-Caffo区间(由AlanAgresti和BrianCaffo给出，以其姓氏命名)如果下限小于-1则用-1代替；如果上限大于1则用1代替yyyy-M-5.3.3两个总体方差比的区间估计5.3两个总体参数估计的区间估计yyyy-M-两个总体方差比的区间估计1. 比较两个总体的方差比用两个样本的方差比来判断如果S12/S22接近于1,说明两个总体方差很接近如果S12/S22远离1,说明两个总体方差之间存在差异总体方差比在1-置信水平下的置信区间为yyyy-M-两个总体方差比的区间估计

(图示)yyyy-M-两个总体方差比的区间估计

(例题分析)【例5-11】为了研究男女学生在生活费支出(单位：元)上的差异，在某大学各随机抽取25名男学生和25名女学生，得到下面的结果男学生：女学生：试以90%置信水平估计男女学生生活费支出方差比的置信区间yyyy-M-两个总体方差比的区间估计

(例题分析)解:根据自由度

n1=25-1=24，n2=25-1=24，查得F/2(24)=1.98，F1-/2(24)=1/1.98=0.50512/22置信度为90%的置信区间为男女学生生活费支出方差比的置信区间为0.47~1.84

yyyy-M-两个总体参数的区间估计

(小结)yyyy-M-5.4样本量的确定

5.4.1估计总体均值时样本量的确定

5.4.2估计总体比例时样本量的确定第5章参数估计yyyy-M-6.4.1估计总体均值时样本量的确定6.4样本量的确定yyyy-M-估计总体均值时样本量n为样本量n与总体方差2、边际误差E、可靠性系数Z或t之间的关系为与总体方差成正比与边际误差的平方成反比与可靠性系数成正比样本量的圆整法则：当计算出的样本量不是整数时，将小数点后面的数值一律进位成整数，如24.68取25，24.32也取25等等估计一个总体均值时样本量的确定其中：yyyy-M-估计一个总体均值时样本量的确定

(例题分析)【例5-12】拥有工商管理学士学位的大学毕业生年