【优化方案】高考数学总复习 第5章§5.4平面向量的数量积及运算律精品课件 大纲人教

§5.4平面向量的数量积及运算律

考点探究·挑战高考考向瞭望·把脉高考5.4平面向量的数量积及运算律双基研习·面对高考双基研习·面对高考基础梳理[0°，180°]a⊥b当θ＝0°时，a与b同向；当θ＝180°时，a与b反向．(2)a与b的数量积已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则把数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积或内积，记作a·b，即a·b＝_____________.|a||b|cosθ(3)规定零向量与任一向量的数量积为0.(4)a·b的几何意义a·b等于a的长度与b在a的方向上的投影的乘积．2．向量数量积的性质设a，b都是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，θ是a与e的夹角，则(1)e·a＝a·e＝_________.(2)a⊥b⇔__________＝0.|a|cosθa·b－|a||b|≤3．向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a.(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝_________．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.4．平面向量数量积的坐标表示(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝________________.a·(λb)x1x2＋y1y21．向量的数量积是一个数量，它的符号是怎样确定的？提示：由向量数量积的定义知：a·b＝|a||b|·cosθ.当a，b为非零向量时，a·b的符号由夹角的余弦来确定；当0°≤θ＜90°时，a·b>0；当90°<θ≤180°时，a·b<0；当a与b至少有一个为零向量或θ＝90°时，a·b＝0.思考感悟2．向量a，b，c满足规律(a·b)c＝a(b·c)?提示：不满足，因为(a·b)c与c共线，而a(b·c)与a共线．一般情况下，a与c不一定共线，所以(a·b)c与a(b·c)不一定相等．答案：C课前热身答案：C答案：B4．已知a＋b＝(2，－8)，a－b＝(－8,16)，则a·b＝______.答案：－635．已知a＝(3,2)，b＝(－1,2)，(a＋λb)⊥b，则实数λ＝________.考点探究·挑战高考考点突破考点一平面向量数量积的运算求两个向量的的数量积，有有两种方法：：一是根据定定义，确定两两个向量的长长度以及两个个向量的夹角角，代入定义义式即可；二二是坐标形式式，确定两个个向量的坐标标，然后代入入坐标公式．．参考本节教教材例2、例4.例1(1)已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝|b|＝4，则a·b＝________；(a－2b)·(a＋b)＝________.(2)若a＝(3，－4)，b＝(2,1)，则(a－2b)·(2a＋3b)＝________.b在a上的投影为________．【思路分析】】利用平面向量量数量积的定定义及运算律律→a2，b2，及a·b.【领悟归纳】】两个向量的数数量积，若两两个向量没给给出具体的坐坐标时，就依依据运算律计计算，若给出出向量具体的的坐标，可求求出具体坐标标如(2)的法一，也可可依据运算律律如(2)的法二．考点二利用平面向量的数量积解决夹角、长度问题例2【思路分析】】首先求出|b|及|a＋b|.【思维总结】】求向量夹角要要注意角度范范围．互动探究若本例条件不不变，求(a＋b)与(a－b)夹角(1)两个向量平行行的充要条件件：a∥b⇔|a·b|＝|a|·|b|⇔a·b＝|a||b|或－|a||b|.(2)两个非非零向向量垂垂直的的充要要条件件：两非零零向量量垂直直，则则它们们的数数量积积等于于0.上述两两点的的实质质就是是把位位置关关系的的判定定转化化为代代数运运算，，参考考例1、例2.考点三利用平面向量数量积解决垂直、平行问题例3【思路路点拨拨】利用公公式a·b＝0⇔a⊥b.【思维维总结结】在(2)中直接接利用用a·b＝0，使化化简简简单，，如果果把a与b的坐标标代入入(a＋2b)·(ka＋b)化简过过程麻麻烦．．方法技技巧1．向量量的加加、减减、数数乘与与数量量积的的混合合运算算可以以看成成多项项式的的运算算，按按多项项式的的运算算法则则进行行．例例如(λ1a＋λ2b)·(k1a＋k2b)＝λ1k1a2＋(λ1k2＋λ2k1)a·b＋λ2k2b2.如例1.2．用坐坐标计计算时时，有有时先先化简简再代代入坐坐标简简单，，整体体运用用|a|2及a·b的结果果．如如例3.方法感感悟失误防防范1．向量量的数数量积积与数数的乘乘法的的区别别(1)两个向向量的的数量量积是是个数数量，，而不不是向向量．．(2)当a≠0时，由由a·b＝0不能推推出b一定是是零向向量．．这是是因为为对任任一与与a垂直的的非零零向量量b，都有有a·b＝0.(3)a·b＝b·c⇒a＝c.(4)一般地地，a·(b·c)≠(a·b)·c，这是是由于于b·c和a·b都是实实数，，而a与c不一定定共线线．(5)对于实实数a、b，有|ab|＝|a|·|b|，但对对于向向量a、b，有|a··b|≤|a|·|b|.2．当两两向量量的夹夹角θ为钝角角时，，－1＜cosθ＜0，要注注意cosθ≠－1，这一一点特特别容容易忽忽略，，因为为cosθ＝－1时，两两向量量反向向，所所成角角不是是钝角角．同同样当当θ为锐角角时，，0<cosθ<1.cosθ＝1时θ为0，两向向量同同向．．考向瞭望·把脉高考考情分分析向量作作为数数学工工具正正越来来越被被接受受和应应用，，从近近几年年的高高考中中，向向量的的数量量积是是必考考内容容，即即单独独考查查，以以选择择题，，填空空题的的形式式出现现，又又以解解答题题的形形式与与解析析几何何综合合，具具有一一定难难度．．2010年的的高高考考中中，，重重庆庆理理第第2题，，江江西西理理第第13题等等是是利利用用数数量量积积求求模模，，重重庆庆文文第第3题是是利利用用数数量量积积待待定定字字母母取取值值，，江江西西文文第第13题考考查查了了数数量量积积的的几几何何意意义义，，其其它它试试题题也也都都对对数数量量积积进进行行了了考考查查．．预测测2012年高高考考客客观观题题以以求求模模长长、、求求夹夹角角为为重重点点，，主主观观题题中中注注重重与与三三角角函函数数、、解解析析几几何何、、立立体体几几何何等等综综合合，，转转化化为为坐坐标标运运算算为为多多．．命题题探探源源例【答答案案】】B【名名师师点点评评】】本题题考考查查了了向向量量的的数数量量积积及及模模的的求求法法，，属属基基础础题题．．这这类类题题在在教教材材中中多多处处出出现现，