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文档简介

2022年湖南省娄底市普通高校对口单招高等数学一自考预测试题(含答案)学校:________班级:________姓名:________考号:________

一、单选题(20题)1.

2.

3.

A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.收敛性与a有关

4.A.A.0B.1/2C.1D.∞

5.

6.在空间直角坐标系中,方程x2-4(y-1)2=0表示()。A.两个平面B.双曲柱面C.椭圆柱面D.圆柱面

7.

8.A.A.3

B.5

C.1

D.

9.

10.设Y=x2-2x+a,贝0点x=1()。A.为y的极大值点B.为y的极小值点C.不为y的极值点D.是否为y的极值点与a有关

11.

12.级数(a为大于0的常数)().A.A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.收敛性与a有关

13.二元函数z=x3-y3+3x2+3y2-9x的极小值点为()

A.(1,0)B.(1,2)C.(-3,0)D.(-3,2)

14.

15.平面的位置关系为()。A.垂直B.斜交C.平行D.重合

16.设y1(x),y2(x)二阶常系数线性微分方程y+py+qy=0的两个线性无关的解,则它的通解为()A.A.y1(x)+c2y2(x)

B.c1y1(x)+y2(x)

C.y1(x)+y2(x)

D.c1y1(x)+c2y2(x)注.c1,C2为任意常数.

17.A.2x

B.3+2x

C.3

D.x2

18.

19.A.0B.1C.2D.4

20.设f'(x)=1+x,则f(x)等于().A.A.1

B.X+X2+C

C.x++C

D.2x+x2+C

二、填空题(20题)21.

22.

23.

24.函数f(x)=x3-12x的极小值点x=_______.

25.

26.

27.曲线y=x3-6x的拐点坐标为______.

28.

29.

30.设y=f(x)在点x0处可导,且在点x0处取得极小值,则曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为________。

31.

32.当x=1时,f(x)=x3+3px+q取到极值(其中q为任意常数),则p=______.

33.

34.

35.

36.若=-2,则a=________。

37.二元函数z=x2+y2+1的极小值为_______.

38.广义积分.

39.二元函数z=x2+3xy+y2+2x,则=______.

40.

三、计算题(20题)41.求曲线在点(1,3)处的切线方程.

42.设平面薄板所占Oxy平面上的区域D为1≤x2+y2≤4,x≥0,y≥0,其面密度

u(x,y)=2+y2,求该薄板的质量m.

43.

44.已知某商品市场需求规律为Q=100e-0.25p,当p=10时,若价格上涨1%,需求量增(减)百分之几?

45.

46.

47.

48.求微分方程的通解.

49.

50.证明:

51.当x一0时f(x)与sin2x是等价无穷小量,则

52.

53.求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值.

54.求函数一的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点.

55.设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B,在抛物线与x轴所围成的平面区域内,以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示).设梯形上底CD长为2x,面积为

S(x).

(1)写出S(x)的表达式;

(2)求S(x)的最大值.

56.将f(x)=e-2X展开为x的幂级数.

57.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解.

58.研究级数的收敛性(即何时绝对收敛,何时条件收敛,何时发散,其中常数a>0.

59.求函数y=x-lnx的单调区间,并求该曲线在点(1,1)处的切线l的方程.

60.

四、解答题(10题)61.求y"+2y'+y=2ex的通解.

62.

63.

64.

65.证明:当时,sinx+tanx≥2x.

66.

67.

68.

69.计算

70.所围成的平面区域。

五、高等数学(0题)71.已知同上题若产品以每件500元出售,问:要使利润最大,应生产多少件?

六、解答题(0题)72.

参考答案

1.C

2.A

3.A

本题考查的知识点为级数绝对收敛与条件收敛的概念.

4.A

5.A

6.A

7.A解析:

8.A本题考查的知识点为判定极值的必要条件.

故应选A.

9.C

10.B本题考查的知识点为一元函数的极值。求解的一般步骤为:先求出函数的一阶导数,令偏导数等于零,确定函数的驻点.再依极值的充分条件来判定所求驻点是否为极值点。由于y=x2-2x+a,可由y'=2x-2=0,解得y有唯一驻点x=1.又由于y"=2,可得知y"|x=1=2>0。由极值的充分条件可知x=1为y的极小值点,故应选B。如果利用配方法,可得y=(x-1)2+a-1≥a-1,且y|x=1=a-1,由极值的定义可知x=1为y的极小值点,因此选B。

11.D解析:

12.A本题考查的知识点为级数绝对收敛与条件收敛的概念.

注意为p=2的p级数,因此为收敛级数,由比较判别法可知收敛,故绝对收敛,应选A.

13.A对于点(-3,0),A=-18+6=-12,B=0,C=6,B2-AC=72>0,故此点为非极值点.对于点(-3,2),A=-12,B=0,C=-12+6=-6,B2-AC=-72<0,故此点为极大值点.对于点(1,0),A=12,B=0,C=6,B2-AC=-72<0,故此点为极小值点.对于点(1,2),A=12=0,C=-6,B2-AC=72>0,故此点为非极值点.

14.B

15.A本题考查的知识点为两平面的关系。两平面的关系可由两平面的法向量,n1,n2间的关系确定。若n1⊥n2,则两平面必定垂直.若时,两平面平行;

当时,两平面重合。若n1与n2既不垂直,也不平行,则两平面斜交。由于n1=(1,-2,3),n2=(2,1,0),n1·n2=0,可知n1⊥n2,因此π1⊥π2,应选A。

16.D

17.A由导数的基本公式及四则运算法则,有故选A.

18.B

19.A本题考查了二重积分的知识点。

20.C本题考查的知识点为不定积分的性质.

可知应选C.

21.

22.eab

23.(-∞2)

24.22本题考查了函数的极值的知识点。f'(x)=3x2-12=3(x-2)(x+2),当x=2或x=-2时,f'(x)=0,当x<-2时,f'(x)>0;当-2<x<2时,f'(x)<0;当x>2时,f’(x)>0,因此x=2是极小值点,

25.F(sinx)+C

26.

27.(0,0)本题考查的知识点为求曲线的拐点.

依求曲线拐点的一般步骤,只需

(1)先求出y".

(2)令y"=0得出x1,…,xk.

(3)判定在点x1,x2,…,xk两侧,y"的符号是否异号.若在xk的两侧y"异号,则点(xk,f(xk)为曲线y=f(x)的拐点.

y=x3-6x,

y'=3x2-6,y"=6x.

令y"=0,得到x=0.当x=0时,y=0.

当x<0时,y"<0;当x>0时,y">0.因此点(0,0)为曲线y=x3-6x的拐点.

本题出现较多的错误为:填x=0.这个错误产生的原因是对曲线拐点的概念不清楚.拐点的定义是:连续曲线y=f(x)上的凸与凹的分界点称之为曲线的拐点.其一般形式为(x0,f(x0)),这是应该引起注意的,也就是当判定y"在x0的两侧异号之后,再求出f(x0),则拐点为(x0,f(x0)).

注意极值点与拐点的不同之处!

28.

29.1/2

30.y=f(x0)y=f(x)在点x0处可导,且y=f(x)有极小值f(x0),这意味着x0为f(x)的极小值点。由极值的必要条件可知,必有f"(x0)=0,因此曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为y-f(x0)=f(x0)(x-x0)=0,即y=f(x0)为所求切线方程。

31.

32.-1f'(x)=3x2+3p,f'(1)=3十3p=0,所以p=-1.

33.-2/π本题考查了对由参数方程确定的函数求导的知识点.

34.0.

本题考查的知识点为幂级数的收敛半径.

所给幂级数为不缺项情形

因此收敛半径为0.

35.

36.因为=a,所以a=-2。

37.1;本题考查的知识点为二元函数的极值.

可知点(0,0)为z的极小值点,极小值为1.

38.1本题考查的知识点为广义积分,应依广义积分定义求解.

39.2x+3y+2本题考查的知识点为二元函数的偏导数运算.

40.

41.曲线方程为,点(1,3)在曲线上.

因此所求曲线方程为或写为2x+y-5=0.

如果函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)存在,则表明曲线y=f(x)在点

(x0,fx0))处存在切线,且切线的斜率为f′(x0).切线方程为

42.由二重积分物理意义知

43.

44.需求规律为Q=100ep-2.25p

∴当P=10时价格上涨1%需求量减少2.5%需求规律为Q=100ep-2.25p,

∴当P=10时,价格上涨1%需求量减少2.5%

45.

46.

47.

48.

49.

50.

51.由等价无穷小量的定义可知

52.

53.函数的定义域为

注意

54.

列表:

说明

55.

56.

57.解:原方程对应的齐次方程为y"-4y'+4y=0,

58.

59.

60.由一阶线性微分方程通解公式有

61.相应微分方程的齐次微分方程为y"+2y'+y=0.其特征方程为r2+2r+1=0;特征根为r=-1(二重实根);齐次方程的通解为Y=(C1+C2x)e-x

相应微分方程的齐次微分方程为y"+2y'+y=0.其特征方程为r2+2r+1=0;特征根为r=-1(二重实根);齐次方程的通解为Y=(C1+C2x)e-x,

62.本题考查的知识点为:描述函数几何性态的综合问题。

极小值点为x=一1,极小值为曲线的凹区间为(一2,+∞);曲线的凸区间为(一∞,一2);

63.本题考查的知识点为计算二重积分;选择积分次序或利用极坐标计算.

积分区域D如图2—1所示.

解法1利用极坐标系.

D可以表示为

解法2利用直角坐标系.

如果利用直角坐标计算,区域D的边界曲线关于x,y地位等同,因此选择哪种积分次序应考虑被积函数的特点.注意

可以看出,两种积分次序下的二次积分都可以进行计算,但是若先对x积分,后对y积分,将简便些.

本题中考生出现的较普遍的错误为,利用极坐标将二重积分化为二次积分:

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