各章课件老师-第一章1.1n阶行列式

线性代数

(Linearalgebra)教师:张宇卓数理统计教研室(诚信楼728)个人信箱作业

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线性代数是高等代数的一大分支.我们知道一次方程叫做线性方程，讨论线性方程及线性运算的代数就叫做“线性代数”.线性代数课程的地位和作用★线性代数是一门非常重要的基础课之一.它的理论不仅渗透到了数学的许多分支中，而且还在理论物理、理论化学、工程技术、国民经济、生物技术、航天、航海等领域中都有着广泛的应用.★该课程对于培养学生的逻辑推理和抽象思维能力、空间直观和想象能力具有重要的作用.通过线性代数的学习，能使学生获得应用科学中常用的矩阵、线性方程组等理论及其有关基本知识，并具有较熟练的矩阵运算能力和用矩阵方法解决一些实际问题的能力.特别地，对于经管类学生，本课程是今后研究和工作需要选学的后继课程的基础，如运筹学，经济计量学，投资与决策等.第一章行列式主要内容：n阶行列式

定义(§1.1),

性质(§1.2、§1.3)；克莱姆法则

n元线性方程组与n阶行列式的关系(§1.4).§1.1n阶行列式一、二、三阶行列式二、排列及其逆序数三、n阶行列式一、二、三阶行列式用消元法解二元线性方程组分析其解的结构.

方程组的解为由方程组的四个系数确定.记对角线法则:主对角线上两元素乘积减去副对角线上两元素乘积.主对角线副对角线方程组的解为则当时，

【注】分母都为原方程组的系数行列式.例1解例2

设问λ为何值时D＝0，λ为何值时D≠0？希望当时,也有问题

三阶行列式如何计算，使上面结论成立？三元线性方程组3332323222131211aabaabaabD=令

333231232221131211aaaaaaaaaD=33231222211121133333123221131112baabaabaaDabaabaabaD==三阶行列式【注】①红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的乘积冠以负号．②三阶行列式包括3!项,每一项都是位于不同行,不同列的三个元素的乘积,其中三项为正,三项为负.三阶行列式的计算方法一：对角线法则【练习】计算方法二：沙路法以上两种方法只适用于三阶行列式的计算.例3求解方程解方程左端例4

利用三阶行列式求解线性方程组解由于方程组的系数行列式同理可得故方程组的解为n元线性方程组令问题对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．

n阶行列式如何计算使上述结论成立？希望当时,有定义1把n个不同的元素排成一列，叫做这n个元素的全排列(或排列).特别地,由n个自然数1、2、…、n组成的有序数组称为一个n级(阶、元)排列.n级排列共有种.二、排列及其逆序数

我们规定,各数之间由小到大排列为标准次序,若n个不同的自然数按照由小到大排列,称这样的排列为n级自然序排列.例如

排列32514中，

32514逆序逆序逆序

在一个排列中，若数

,则称这两个数构成一个逆序.定义2定义3

一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数,

记作的总和计算排列逆序数的方法排列中比每一元素大的且排在前面的元素个数，即是这个排列的逆序数.

方法一排列中比每一元素小的且排在后面的元素个数，也是这个排列的逆序数.的总和方法二【练习】求逆序数为奇数的排列称为奇排列;逆序数为偶数的排列称为偶排列.排列的奇偶性【注】

逆序数为0的排列称作偶排列,如

.例5

计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性.1)217986354解故此排列为偶排列.217986354501304401当

时为偶排列；当

时为奇排列.解0122)特别地,将相邻两个元素对调，叫做相邻对换.对换定义在一个排列中，将某两个数a,b对调，其余各数位置不变，这样的变换称为一个对换,记为(a,b).例如1)2)定理1

任意一个排列经过一次对换后，改变其奇偶性．证明1°相邻两个数对换除外，其它元素的逆序数不改变.对换与排列奇偶性的关系（，）结论

对换相邻两个元素，排列改变奇偶性.当时，的逆序数不变;经对换后的逆序数增加1,经对换后的逆序数不变，的逆序数减少1.当时，次相邻对换次相邻对换次相邻对换

综上,一个排列中的任意两个数对换，排列改变奇偶性.2°不相邻两个数对换证明

设这n!个n级排列中共有s个奇排列,t个偶排列，现证s=t.故必有奇排列偶排列,所以前两个数对换s个

s

个偶排列奇排列,所以前两个数对换

t

个t

个定理2n个元素(n＞1)共有n!个n级排列,其中奇、偶排列各占一半,即各有个.归纳每项内容及符号的规律三阶行列式共有6项，即项．①

每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积．分析三阶行列式结果②符号：,其中为列标全排列.

当行标按1，2，3排列时，每项都可写成

,每项符号决定于列标排列的逆序数，即三、n阶行列式综上，三阶行列式

为对列标所有全排列求和.n阶行列式的定义定义

n阶行列式是所有取自不同行、不同列的n个数的乘积的代数和，即【说明】②

n阶行列式是项的代数和;③

n

阶行列式的每项都是位于不同行、不同列

n个元素的乘积;⑤一阶行列式

,不要与绝对值记号相混淆;④

的符号为①行列式(determinant)是一种特定的算式，计算结果是数值.它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的，可简记为;例6有4阶行列式，分析：（1）是否为展开式中的一项，若是，确定其在展开式中的符号.【注】该行列式中左上角到右下角的对角线称为主对角线,

主对角线上的各元素称为主对角元素.

称左侧的行列式为下三角形行列式，右侧的行列式为上三角形行列式.＝

例7

计算n阶行列式(其中)【练习】计算例8

计算n阶行列式对角形行列式【注】①三角形行列式及对角形行列式的值均等于主对角线元素的乘积;②由行列式定义知，若有一行（或一列）中的元素都为0，则此行列式的值为.0?确定行列式中各项符号定理推论

对于n阶行列式定理

n阶行列式

的一般项可以写成其中为行标的n级排列；

为列标的n级排列.

续例6

有