第五章期末复习

小结与复习第五章相交线与平行线知识网络相交线一般邻补角对顶角邻补角互补对顶角相等特殊垂直存在性和唯一性垂线段最短点到直线的距离同位角、内错角、同旁内角平行线平行公理及其推论平行线的判定平行线的性质平移平移的特征命题知识构图两线四角三线八角1.互为邻补角:两条直线相交所构成的四了角中,有公共顶点且有一条公共边的两个角是邻补角。如图(1)122.对顶角:(1)两条直线相交所构成的四个角中，(1)

有公共顶点但没有公共边的两个角是对顶角。如图(2).(2)1234(2)一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角是对顶角。3.邻补角的性质:

同角的补角相等。4.对顶角性质:对顶角相等。两个特征:(1)具有公共顶点;(2)角的两边互为反向延长线。n条直线相交于一点，就有n(n-1)对对顶角。1.垂线的定义:

两条直线相交，所构成的四个角中，有一个角是时，就说这两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另一条直线的垂线。它们的交点叫垂足。2.垂线的性质:(1)过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。性质(2):直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短。简称:垂线段最短。3.点到直线的距离:

从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。4.如遇到线段与线段，线段与射线，射线与射线，线段或射线与直线垂直时，特指它们所在的直线互相垂直。5.垂线是直线，垂线段特指一条线段是图形，点到直线距离是指垂线段的长度，是指一个数量，是有单位的。你能量出C到AB的距离,B到AC的距离,A到BC的距离吗?A

DCB

E

F拓展应用

如图：要把水渠中的水引到水池C中，在渠岸的什么地方开沟，水沟的长度才能最短？请画出图来，并说明理由。C∟理由:垂线段最短┓ABCDOE此题需要正确地应用、对顶角、邻补角、垂直的概念和性质。OADCB由垂直先找到的角，再根据角之间的关系求解。平行线的概念:在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。2.两直线的位置关系:在同一平面内，两直线的位置关系只有两种:(1)相交;(2)平行。3.平行线的基本性质:(1)平行公理(平行线的存在性和唯一性)

经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。

(2)推论(平行线的传递性)

如果两条直线都和第三条直线平行，

那么这两条直线也互相平行。4.同位角、内错角、同旁内角的概念同位角、内错角、同旁内角，指的是一条直线分别与两条直线相交构成的八个角中，不共顶点的角之间的特殊位置关系。它们与对顶角、邻补角一样，总是成对存在着的。

同位角的位置特征是:

(1)在截线的同旁，(2)被截两直线的同方向。内错角的位置特征是:

(1)在截线的两旁，(2)在被截两直线之间。同旁内角的位置特征是:

(1)在截线的同旁，(2)在被截两直线之间。判定两直线平行的方法有三种:(1)定义法;在同一平面内不相交的两条直线是平行线。(2)传递法;两条直线都和第三条直线平行,这两条直线也平行。(3)三种角判定(3种方法):

同位角相等,两直线平行。

内错角相等,两直线平行。

同旁内角互补,两直线平行。在这五种方法中，定义一般不常用。ABDCFE123456789101112练一练（1）∠1和∠9是由直线

、

被直线

所截成的

角；

（2）∠6和∠12是由直线

、

被直线

所截成的

角；

（3）∠4和∠6是由直线

、

被直线

所截成的

角；

（4）由直线AB、CD被直线EF

所截成的同位角有

；（5）∠7和∠12是

角；在判断两个角时一定要先知道由哪两条直线被哪条直线所截呦！ABCDEF同位ABEFCD内错ABCDEF同旁内∠1和∠9、∠4和∠12、∠2和∠10、∠3和∠11同旁内例1.∠1与哪个角是内错角？

ACBDE12答：∠EAC答：∠DAB答：∠BAC,∠BAE

,∠2∠1与哪个角是同旁内角？∠2与哪个角是内错角?1、观察右图并填空：(1)

∠1

与

是同位角;(2)

∠5

与

是同旁内角;(3)

∠1

与

是内错角;随堂练习banm23145∠4∠3∠2

2、指出图中的同位角、内错角、同旁内角ablmn1234同位角:∠4与∠1内错角:∠4与∠2同旁内角:∠3与∠1平行线的性质平行线的判定两直线平行条件结论同位角相等内错角相等同旁内角互补条件同位角相等内错角相等同旁内角互补结论两直线平行夹在两平行线间的垂线段的长度,叫做两平行线间的距离。综合应用:ABCDEF1231、填空：

(1)、∵∠A=____,(已知）

AC∥ED,(_____________________)

(2)、∵AB∥______,(已知）∠2=∠4，(______________________)45(3)、___∥___,(已知）∠B=∠3.(___________

___________)

试一试，你准行！

模仿上题自己编题。（考查平行线的性质或判定）∠4同位角相等，两直线平行。DF两直线平行,内错角相等。ABDF两直线平行,同位角相等.判定性质

性质∴∴∴∵ABCDEF123456如图：填空，并注明理由。（1）、∵∠1=∠2

（已知）

——∥——（）

∵∠3=∠4

（已知）

——∥——（）

∵∠5=∠6

（已知）

——∥——（）

∵∠5+∠AFE=180

（已知）

——∥——（）

∵AB∥FC,ED∥FC

（已知）

——∥——（）∴∴∴∴∴ABED内错角相等。两直线平行，AFBE同位角相等，两直线平行。BCEF

内错角相等，两直线平行。AFBE同旁内角互补，两直线平行。ABED平行于同直线的两条直线互相平行。平行线的判定应用练习：例2.已知∠DAC=∠ACB,∠D+∠DFE=1800,求证:EF//BC

证明:∵∠DAC=∠ACB(已知)∴AD//BC

(内错角相等,两直线平行)∵∠D+∠DFE=1800(已知)∴AD//EF

(同旁内角互补,两直线平行)∴EF//BC(平行于同一条直线的两条直线互相平行)ABCDEF例1.如图已知：∠1+∠2=180°，

求证：AB∥CD。

证明：由：∠1+∠2=180°(已知)，∠1=∠3（对顶角相等）. ∠2=∠4（对顶角相等)

根据：等量代换

得：∠3+∠4=180°.

根据：同旁内角互补，两直线平行得：AB//CD.4123ABCEFD例2.如图，已知：AC∥DE，∠1=∠2，试证明AB∥CD。

证明：∵由AC∥DE（已知）

∴

∠ACD=∠2

(两直线平行，内错角相等)∵∠1=∠2（已知）∴∠1=∠ACD(等量代换)∴AB∥CD(内错角相等，两直线平行)ADBE12C例3.已知EF⊥AB，CD⊥AB，∠EFB=∠GDC，求证：∠AGD=∠ACB。证明：∵EF⊥AB，CD⊥AB（已知）∴AD∥BC(垂直于同一条直线的两条直线互相平行)∴∠EFB＝∠DCB

（两直线平行，同位角相等）∵∠EFB=∠GDC（已知）∴∠DCB=∠GDC（等量代换）∴DG∥BC（内错角相等,两直线平行）∴∠AGD=∠ACB

（两直线平行，同位角相等）例4.两块平面镜的夹角应为多少度?如图，两平面镜а、β的夹角为θ，入射光线AO平行于β入射到а上，经两次反射后的反射光线平行于а，则角θ=_____度аβθOBA123451.命题的概念:

判断一件事情的句子，叫做命题。命题必须是一个完整的句子;

这个句子必须对某件事情做出肯定或者否定的判断。两者缺一不可。2.命题的组成:

每个命是由题设、结论两部分组成。题设是已知事项;结论是由已知事项推出的事项。命题常写成“如果……，那么……”的形式。或“若……，则……”等形式。真命题和假命题:

命题是一个判断，这个判断可能是正确的，也可以是错误的。由此可以把命题分成真命题和假命题。真命题就是:

如果题设成立，那么结论一定成立的命题。

假命题就是:

如果题设成立时，不能保证结论总是成立的命题。4.定理：它们的正确性是经过推理证实的，这样的真命题叫做定理.5.证明：一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这个推理过程

叫做证明.例1.判断下列语句，是不是命题，如果是命题，是真命题，还是假命题?画线段AB=2cm直角都相等;两条直线相交，有几个交点?如果两个角不相等，那么这两个角不是对顶角。相等的角都是直角;分析:因为(1)、(3)不是对某一件事作出判断的句子，所以(1)、(3)不是命题。

解.(1)、(3)不是命题;(2)、(4)、(5)是命题;(2)、(4)都是真命，(5)是假命题。练习1、下列命题是真命题的有（）A、相等的角是对顶角B、不是对顶角的角不相等C、对顶角必相等D、有公共顶点的角是对顶角E、邻补角的和一定是180度F、互补的两个角一定是邻补角G、两条直线相交,只要其中一个角的大小确定了,那么另外三个角的大小就确定了

C、E、G

例2.如图给出下列论断:(1)AB//CD(2)AD//BC(3)∠A=∠C以上，其中两个作为题设，另一个作为结论，用“如果……，那么……”的形式，写出一个你认为正确的命题。ABCD分析:不妨选择(1)与(2)作条件，由平行性质“两直线平行，同旁内角互补”可得∠A=∠C，故满足要求。由(1)与(3)也能得出(2)成立，由(2)与(3)也能得出(1)成立。解:如果在四边形ABCD中，AB//DC、AD//BC，那么∠A=∠C。1.平移的定义:

把一个图形整体沿某一方向移动，会得到一个新图形，这样的图形运动，叫做平移。平移的特征:(1)平移不改变图形的形状和大小。

(2)新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点，对应点连结而成的线段平行且相等。决定平移的因素是平移的方向和距离。经过平移，图形上的每一点都沿同一方向移动相同的距离。经过平移，对应角相等;对应线段平行且相等;对应点所连的线段平行且相等。例1.在以下生活现象中,不是平移现象的是站在运动着的电梯上的人左右推动的推拉窗扇小李荡秋千运动的躺在火车上睡觉的旅客分析:A、B、D属平移，在一个位置取两点连成一条线，在另一个位置再观察这条线段，发现是平行的，而C同样取两点连成一条线段，运动到另一位置时，可能已不平行解:选C2.下列生活中的物体的运动情况可以看成平移的是()（1）摆动的钟摆（2）在笔直的公路上行驶的汽车（3）随风摆动的旗帜（4）摇动的大绳（5）汽车玻璃上雨刷的运动（6）从楼梯自由落下的球（球不旋转）例2.如图所示，△ABC平移到△A′B′C′的位置，则点A的对应点是______，点B的对应点是______，点C的对应点是____。线段AB的对应线段是___________，线段BC的对应线段是_________，线段AC的对应线段是___________。∠BAC的对应角是__________，∠ABC的对应角是____________，∠ACB的对应角是___________。△ABC的平移方向是___________________________________________，平移距离是____________________________________________。ABCA′B′C′A′B′C′沿着射线AA′(或BB′，或CC′)的方向线段AA′的长(或线段BB′的长或线段CC′的长ABCDE1F2操作与解释：数学课上有这样一道题：“如图，以点B为顶点,射线BC为一边，利用尺规作∠EBC，使得∠EBC=∠A，EB与AD一定平行吗？”。小王说“一定平行”；而小李说“不一定平行”。你更赞同谁的观点？

已知：AB∥CD。试探索①∠A、∠C与∠AEC之间的关系；②∠B、∠D与∠BFD之间的关系。ABCDEF几何之旅ll1234专题复习【例1】如图,AB⊥CD于点O,直线EF过O点,∠AOE=65°,求∠DOF的度数.BACDFEO解：∵AB⊥CD，∴∠AOC=90°.∵∠AOE=65°,∴∠COE=25°又∵∠COE=∠DOF(对顶角相等）∴∠DOF=25°.专题一相交线【迁移应用1】如图,AB,CD相交于点O,∠AOC=70°,EF平分∠COB,求∠COE的度数.ABCDEFO答案：∠COE=125°.【归纳拓展】两条直线相交包括垂直和斜交两种情形.相交时形成了两对对顶角和四对邻补角.其中垂直是相交的特殊情况，它将一个周角分成了四个直角.【例2】如图，AD为△ABC的高，能表示点到直线（线段）的距离的线段有（）A.2条B.3条C.4条D.5条答案：从图中可以看到共有三条，A到BC的垂线段AD,B到AD的垂线段BD,C到AD的垂线段CD.BCDA专题二点到直线的距离B【迁移应用2】如图AC⊥BC,CD⊥AB于点D,CD=4.8cm,AC=6cm,BC=8cm,则点C到AB的距离是

cm;点A到BC的距离是

cm;点B到AC的距离是

cm.【归纳拓展】点到直线的距离容易和两点之间的距离相混淆.当图形复杂不容易分析出是哪条线段时，准确掌握概念，抓住垂直这个关键点，认真分析图形是关键.4.868【例3】(1)如图所示,∠1=72°,∠2=72°,∠3=60°,求∠4的度数.解：∵∠1=∠2=72°，∴a//b(内错角相等，两直线平行）.∴∠3+∠4=180°.(两直线平行，同旁内角互补)∵∠3=60°，∴∠4=120°.ab专题三平行线的性质和判定证明:∵∠DAC=∠ACB(已知)∴AD//BC(内错角相等,两直线平行)∵∠D+∠DFE=180°(已知)∴AD//EF(同旁内角互补,两直线平行)∴EF//BC(平行于同一条直线的两条直线互相平行)(2)已知∠DAC=∠ACB,∠D+∠DFE=180°,求证:EF//BC.ABCDEF【迁移应用3】如图所示，把一张张方形纸片ABCD沿EF折叠，若∠EFG=50°,求∠DEG的度数.答案：100°.【归纳拓展】平行线的性质和判定经常结合使用，由角之间的关系得出直线平行，进而再得出其他角之间的关系，或是由直线平行得到角之间的关系，进而再由角的关系得出其他直线平行.【例4】如图所示,下列四组图形中,有一组中的两个图形经过平移其中一个能得到另一个,这组图形是（）解析：紧扣平移的概念解题.专题四平移D【迁移应用4】如图所示,△DEF经过平移得到△ABC,那么∠C的对应角和ED的对应边分别是（）A.∠F,ACB.∠BOD,BAC.∠F,BAD.∠BOD,AC【归纳拓展】平移前后的图形形状和大小完全相同，任何一对对应点连线段平行（或共线）且相等.C解：设∠1的度数为x°,则∠2的度数为x°,则∠3的度数为8x°,根据题意可得x°+x°+8x°=180°，解得x=18.即∠1=∠2=18°，而∠4=∠1