弧度制及其与角度值的换算同步练习

弧度制及其角度值的换算同步练习【基础练习】一、单选题1．下列各命题中，假命题的是（）A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B．一度的角是周角的，一弧度的角是周角的C．根据弧度的定义，一定等于弧度D．不论是用角度制还是用弧度制度量角，它们都与圆的半径长短有关2．化为弧度是（）A． B． C． D．3．（）A．85° B．80° C．75° D．70°4．若是三角形的最小内角，则的取值范围是（）A． B．C． D．5．已知扇形的周长为12cm，圆心角为4rad，则此扇形的面积为（）A． B． C． D．二、填空题6．填表角度数0°30°60°120°150°270°弧度数7．弧度制是数学上一种度量角的单位制，数学家欧拉在他的著作《无穷小分析概论》中提出把圆的半径作为弧长的度量单位.现已知一个扇形的半径为米，圆心角为，圆心角所对的弧长为米，则角的弧度数为__________.8．你在忙着答题，秒针在忙着“转圈”，现在经过了1小时，则分针转过的角的弧度数是_______.三、解答题9．已知一个扇形的周长为定值,求其面积的最大值,并求此时圆心角的大小.10．自行车大链轮有齿，小链轮有齿，当大链轮转过一圈时，小链轮转过的角度是多少？合多少弧度？【提升练习】一、单选题1．如图所示，扇形OAB中，弦AB的长等于半径，则弦AB所对的圆心角的弧度数满足（）A． B．C． D．以上都不是2．如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=45°，以AB为直径的⊙O交BC于点D，若BC=，则图中阴影部分的面积为()A．π+1 B．π+2 C．2π+2 D．4π+13．《掷铁饼者》取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间.现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为米，肩宽约为米，“弓”所在圆的半径约为米，你估测一下掷铁饼者双手之间的距离约为（）（参考数据：）A．米 B．米C．米 D．米4．已知扇形AOB的半径为r，弧长为l，且，若扇形AOB的面积为8，则该扇形的圆心角的弧度数是（）A． B．或2 C．1 D．或15．矩形纸片中，将其按图的方法分割，并按图的方法焊接成扇形；按图的方法将宽等分，把图中的每个小矩形按图分割并把个小扇形焊接成一个大扇形；按图的方法将宽等分，把图中的每个小矩形按图分割并把个小扇形焊接成一个大扇形；……；依次将宽等分，每个小矩形按图分割并把个小扇形焊接成一个大扇形.当时，最后拼成的大扇形的圆心角的大小为（）A．小于 B．等于 C．大于 D．大于二、填空题6．走时精确的钟表，中午时，分针与时针重合于表面上的位置，则当下一次分针与时针重合时，时针转过的弧度数的绝对值等于_______.7．已知两角和为1弧度，且两角差为1°，则这两个角的弧度数分别是__________.8．若扇形的圆心角为，则扇形的内切圆的面积与扇形面积之比为____________.三、解答题9．园林管理处拟在公园某区域规划建设一半径为米，圆心角为(弧度）的扇形观景水池，其中为扇形的圆心，同时紧贴水池周边建设一圈理想的无宽度步道.要求总预算费用不超过24万元，水池造价为每平米400元，步道造价为每米1000元.（1）当和分别为多少时，可使得广场面积最大，并求出最大面积；（2）若要求步道长为105米，则可设计出的水池最大面积是多少.10．在如图所示的圆中，已知圆心角，半径与弦垂直，垂足为点．若的长为，求的长及其与弦所围成的弓形的面积．答案与解析【基础练习】一、单选题1．下列各命题中，假命题的是（）A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B．一度的角是周角的，一弧度的角是周角的C．根据弧度的定义，一定等于弧度D．不论是用角度制还是用弧度制度量角，它们都与圆的半径长短有关【答案】D【解析】A选项，“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位，正确；B选项，一度的角是周角的，一弧度的角是周角的，正确；C选项，根据弧度的定义，一定等于弧度，正确；D选项，用角度制度量角，与圆的半径长短无关，故D错.故选：D.2．化为弧度是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】【详解】.故选：B.3．（）A．85° B．80° C．75° D．70°【答案】C【解析】，.故选：C.4．若是三角形的最小内角，则的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】设是三角形的最小内角，则即，解得.故选D.5．已知扇形的周长为12cm，圆心角为4rad，则此扇形的面积为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】设扇形所在圆的半径为,扇形的弧长为由弧度定义可知,即而扇形的周长为代入可得解得所以扇形面积为故选:C二、填空题6．填表角度数0°30°60°120°150°270°弧度数【答案】详见解析【解析】根据角度和弧度的对应关系，填写好表格如下：角度数0°30°60°120°150°270°弧度数7．弧度制是数学上一种度量角的单位制，数学家欧拉在他的著作《无穷小分析概论》中提出把圆的半径作为弧长的度量单位.现已知一个扇形的半径为米，圆心角为，圆心角所对的弧长为米，则角的弧度数为__________.【答案】【解析】角的弧度数为故答案为：8．你在忙着答题，秒针在忙着“转圈”，现在经过了1小时，则分针转过的角的弧度数是_______.【答案】【解析】由于经过小时，分针转过个周角，因周角为，又顺时针旋转得到的角是负角，故分针转过的角的弧度数是.故答案为：.三、解答题9．已知一个扇形的周长为定值,求其面积的最大值,并求此时圆心角的大小.【答案】时,扇形面积最大为.【解析】设扇形面积为,半径为,圆心角为,则扇形弧长为,所以.故当且时,扇形面积最大为.10．自行车大链轮有齿，小链轮有齿，当大链轮转过一圈时，小链轮转过的角度是多少？合多少弧度？【答案】864°；【解析】当大链轮转过一圈时，小链轮转过，转化为弧度是.【提升练习】一、单选题1．如图所示，扇形OAB中，弦AB的长等于半径，则弦AB所对的圆心角的弧度数满足（）A． B．C． D．以上都不是【答案】A【解析】由题意,,故是正三角形,即.故选:A.2．如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=45°，以AB为直径的⊙O交BC于点D，若BC=，则图中阴影部分的面积为()A．π+1 B．π+2 C．2π+2 D．4π+1【答案】B【解析】如图，连，因为AB=AC，∠ABC=45°，所以∠ACB=45°且，所以∠ODB=45°，则，则，又圆的半径为，故阴影部分的面积为，应选答案B．3．《掷铁饼者》取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间.现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为米，肩宽约为米，“弓”所在圆的半径约为米，你估测一下掷铁饼者双手之间的距离约为（）（参考数据：）A．米 B．米C．米 D．米【答案】B【解析】由题：“弓”所在弧长，其所对圆心角，两手之间距离.故选：B4．已知扇形AOB的半径为r，弧长为l，且，若扇形AOB的面积为8，则该扇形的圆心角的弧度数是（）A． B．或2 C．1 D．或1【答案】D【解析】解：由题意得解得或故或.故选：D5．矩形纸片中，将其按图的方法分割，并按图的方法焊接成扇形；按图的方法将宽等分，把图中的每个小矩形按图分割并把个小扇形焊接成一个大扇形；按图的方法将宽等分，把图中的每个小矩形按图分割并把个小扇形焊接成一个大扇形；……；依次将宽等分，每个小矩形按图分割并把个小扇形焊接成一个大扇形.当时，最后拼成的大扇形的圆心角的大小为（）A．小于 B．等于 C．大于 D．大于【答案】C【解析】将宽BCn等分，当n无限大时，扇形的半径应该无限接近10，而扇形的弧长应该无限接近8+8=16，那么圆心角=16×180÷π÷10≈92°，因此n无限大时，大扇形的圆心角应该大于90°．故答案为：C。二、填空题6．走时精确的钟表，中午时，分针与时针重合于表面上的位置，则当下一次分针与时针重合时，时针转过的弧度数的绝对值等于_______.【答案】.【解析】设时针转过的角的弧度数的绝对值为，由分针的角速度是时针角速度的倍，知分针转过的角的弧度数的绝对值为，由题意可知，，解得，因此，时针转过的弧度数的绝对值等于，故答案为.7．已知两角和为1弧度，且两角差为1°，则这两个角的弧度数分别是__________.【答案】12＋π360，1【解析】设两个角的弧度分别为x,y，又由1∘所以x+y=1x-y=π180即所求两角的弧度数分别为128．若扇形的圆心角为，则扇形的内切圆的面积与扇形面积之比为____________.【答案】【解析】设扇形的半径为R，内切圆半径为r，∵扇形的中心角，∴R−r=2r，∴3r=R，∴扇形的面积内切圆面积为πr2，扇形的内切圆的面积与扇形面积之比为2:3.三、解答题9．园林管理处拟在公园某区域规划建设一半径为米，圆心角为(弧度）的扇形观景水池，其中为扇形的圆心，同时紧贴水池周边建设一圈理想的无宽度步道.要求总预算费用不超过24万元，水池造价为每平米400元，步道造价为每米1000元.（1）当和分别为多少时，可使得广场面积最大，并求出最大面积；（2）若要求步道长为105米，则可设计出的水池最大面积是多少.【答案】（1）见解析（2）平方米【解析】试题分析：（1）步道长为扇形周长，利用弧长公式及扇形面积公式可得不等式，利用基本不等式将不等式转化为关于的一元不等式，解得的范围，确定最大值为400.（2）由条件得，消得，由及，解出，根据二次函数最值