经济数学-常数项级数概念与性质

引言正如有限中包含着无穷级数,而无限中呈现极限一样,无限之灵魂居于细微之处,而最紧密地趋近极限却并无止境.区分无穷大之中的细节令人喜小中见大,多么伟大的神力.------雅克.伯努利无穷级数是数与函数的一种重要表达形式,也是微积分理论研究无穷级数在表达函数、研究函数的性质、计算函数值以及求解微分方程等方面悦!与实际应用中极其有力的工具.都有着重要的应用.的另一种形式,但无论在研究极限的存在性还是在计算这种极限的时候,这种形式都显示出很大的优本章先介绍无穷级数的一些基本内容,然后再讨论常数项级数、函数项级数,并着重讨论如何将函数展开成幂级数的问题.越性.研究无穷级数及其和,可以说是研究数列及其极限一、问题的提出二、常数项级数的概念三、等比级数及其在经济学上的应用四、无穷级数的基本性质五、小结第一节常数项级数的概念和性质一、问题的提出我们在前面所学的定积分，所表达的是一类和式极限。有限和的极限实际上是无穷多个数相加之和，所谓和式极限存在是指无穷多项相加之和是一个有限数。下面我们将专门研究无穷和的问题，并把无穷多个数相加的式子称为无穷级数，简称级数。

“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，如果把每天截取的棒长相加，到第n天所得之棒长之和为：

此时上式中的加项无穷增多，成为无穷多个数相加的式子，这就是级数。计算棒长显然总的棒长小于1，并且n的值愈大，其数值愈接近于1；当时，的极限为1。二、常数项级数的概念设有无穷数列称和式(1)为(常数项)无穷级数,简称为级数.其中称为级数的一般项或通项.级数(1)的前项的和(2)称为级数(1)的前项部分和.时,当依次取它们构成一个新的数列即数列称为部分和数列.例1写出级数一般项.解分母是偶数的连乘积，而且第一项为偶数，二项是两个偶数之积，第三项是三个偶数之积，，第项是个偶数之积，故可写成而分子为奇数，故第项为于是该级数的一般项为的第例2已知级数的前项的部分和求这个级数.解因为所以从而故所求级数为.2.级数的收敛与发散定义如果级数的部分和数列存在极限即则称无穷级数收敛,极限称为级数的和,并写成如果没有极限,则称无穷级数发散.发散,如果级数收敛于则部分和们之间的差(3)称为级数的余项.显然有而是用近似代替所产生的误差.注:按定义,级数与数列同时收敛或同时它例3讨论级数的收敛性.解所以即题设级数收敛，其和为1.解故所给算术级数是发散的

例6证明一反证法证明二三、等比级数及其在经济学上的应用1.等比级数（几何级数）定义

其中叫做公比.

2.等比级数（几何级数）敛散性定理

收敛

发散

发散

发散

综上解已知级数为等比级数，四、无穷级数的基本性质性质1在级数中去掉、加上或改变有限项,不会改变级数的收敛性.证这里只证明“改变级数的前面有限项不会改变级数的收敛性”,其它两种情况容易由此结果设有级数(1)得到一个新的级数(2)推出.若改变它的前个有限项,设级数(1)的前项和为则设级数(2)的前项和为则于是,数列与具有相同的收敛性,即级数(1)与(2)具有相同的收敛性.性质2如果级数分别收敛于和则对任意常数级数收敛,且证设级数及的部分和分别为及则于是因此收敛,且结论:收敛级数可以逐项相加与逐项相减.问题:1.级数一个收敛一个发散能否得出肯定结论？2.两个级数都发散能否得出肯定结论？（1.发散；2.不一定.)设级数收敛，发散，证明：发散.证用反证法,已知收敛,假定收敛,由收敛,这与题设矛盾,所以级数发散.与级数性质得知例如:1.级数2.级数发散解例9解例10证明注意1.收敛级数可以加括弧，但收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.

收敛

发散3.正项级数加括弧与去括弧均不影响其敛散性.证明注意1.