2023届北京市交通大学附属中学高三第一次模拟考试数学试卷含解析

2023年高考数学模拟试卷请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．如图，用一边长为的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将体积为的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋中心（球心）与蛋巢底面的距离为（）A． B． C． D．2．抛物线的准线与轴的交点为点，过点作直线与抛物线交于、两点，使得是的中点，则直线的斜率为（）A． B． C．1 D．3．若复数满足，则（）A． B． C． D．4．已知（为虚数单位，为的共轭复数），则复数在复平面内对应的点在（）.A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限5．已知点是抛物线：的焦点，点为抛物线的对称轴与其准线的交点，过作抛物线的切线，切点为，若点恰好在以，为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．6．在中，“”是“”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件7．台球是一项国际上广泛流行的高雅室内体育运动，也叫桌球（中国粤港澳地区的叫法）、撞球（中国地区的叫法）控制撞球点、球的旋转等控制母球走位是击球的一项重要技术，一次台球技术表演节目中，在台球桌上，画出如图正方形ABCD，在点E，F处各放一个目标球，表演者先将母球放在点A处，通过击打母球，使其依次撞击点E，F处的目标球，最后停在点C处，若AE=50cm．EF=40cm．FC=30cm，∠AEF=∠CFE=60°，则该正方形的边长为（）A．50cm B．40cm C．50cm D．20cm8．“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为A． B．C． D．9．某几何体的三视图如图所示，图中圆的半径为1，等腰三角形的腰长为3，则该几何体表面积为（）A． B． C． D．10．如果实数满足条件，那么的最大值为（）A． B． C． D．11．已知，则“直线与直线垂直”是“”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件12．某市气象部门根据2018年各月的每天最高气温平均数据,绘制如下折线图,那么,下列叙述错误的是()A．各月最高气温平均值与最低气温平均值总体呈正相关B．全年中,2月份的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大C．全年中各月最低气温平均值不高于10°C的月份有5个D．从2018年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值呈下降趋势二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．《九章算术》第七章“盈不足”中第一题：“今有共买物，人出八，盈三钱；人出七，不足四，问人数物价各几何？”借用我们现在的说法可以表述为：有几个人合买一件物品，每人出8元，则付完钱后还多3元；若每人出7元，则还差4元才够付款.问他们的人数和物品价格？答：一共有_____人；所合买的物品价格为_______元．14．已知F为抛物线C：x2＝8y的焦点，P为C上一点，M（﹣4，3），则△PMF周长的最小值是_____.15．甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，乙获胜的概率是，则乙不输的概率是_____．16．已知函数为奇函数，则______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数，．（1）当时，求不等式的解集；（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．18．（12分）在等比数列中，已知，.设数列的前n项和为，且，（，）.（1）求数列的通项公式；（2）证明：数列是等差数列；（3）是否存在等差数列，使得对任意，都有？若存在，求出所有符合题意的等差数列；若不存在，请说明理由.19．（12分）已知点和椭圆.直线与椭圆交于不同的两点，.（1）当时，求的面积；（2）设直线与椭圆的另一个交点为，当为中点时，求的值.20．（12分）设函数.（1）若，求实数的取值范围；（2）证明：，恒成立.21．（12分）某公园有一块边长为3百米的正三角形空地，拟将它分割成面积相等的三个区域，用来种植三种花卉.方案是：先建造一条直道将分成面积之比为的两部分（点D，E分别在边，上）；再取的中点M，建造直道（如图）.设，，（单位：百米）.（1）分别求，关于x的函数关系式；（2）试确定点D的位置，使两条直道的长度之和最小，并求出最小值.22．（10分）以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的参数方程是（为参数，常数），曲线的极坐标方程是.（1）写出的普通方程及的直角坐标方程，并指出是什么曲线；（2）若直线与曲线，均相切且相切于同一点，求直线的极坐标方程.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】

先求出球心到四个支点所在球的小圆的距离，再加上侧面三角形的高，即可求解.【详解】设四个支点所在球的小圆的圆心为，球心为，由题意，球的体积为，即可得球的半径为1，又由边长为的正方形硬纸，可得圆的半径为，利用球的性质可得，又由到底面的距离即为侧面三角形的高，其中高为，所以球心到底面的距离为.故选：D.【点睛】本题主要考查了空间几何体的结构特征，以及球的性质的综合应用，着重考查了数形结合思想，以及推理与计算能力，属于基础题.2、B【解析】

设点、，设直线的方程为，由题意得出，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，结合可求得的值，由此可得出直线的斜率.【详解】由题意可知点，设点、，设直线的方程为，由于点是的中点，则，将直线的方程与抛物线的方程联立得，整理得，由韦达定理得，得，，解得，因此，直线的斜率为.故选：B.【点睛】本题考查直线斜率的求解，考查直线与抛物线的综合问题，涉及韦达定理设而不求法的应用，考查运算求解能力，属于中等题.3、B【解析】

由题意得,,求解即可.【详解】因为,所以.故选:B.【点睛】本题考查复数的四则运算,考查运算求解能力,属于基础题.4、D【解析】

设，由，得，利用复数相等建立方程组即可.【详解】设，则，所以，解得，故，复数在复平面内对应的点为，在第四象限.故选：D.【点睛】本题考查复数的几何意义，涉及到共轭复数的定义、复数的模等知识，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.5、D【解析】

根据抛物线的性质，设出直线方程，代入抛物线方程，求得k的值，设出双曲线方程，求得2a＝丨AF2丨﹣丨AF1丨＝（1）p，利用双曲线的离心率公式求得e．【详解】直线F2A的直线方程为：y＝kx，F1（0，），F2（0，），代入抛物线C：x2＝2py方程，整理得：x2﹣2pkx+p2＝0，∴△＝4k2p2﹣4p2＝0，解得：k＝±1，∴A（p，），设双曲线方程为：1，丨AF1丨＝p，丨AF2丨p，2a＝丨AF2丨﹣丨AF1丨＝（1）p，2c＝p，∴离心率e1，故选：D．【点睛】本题考查抛物线及双曲线的方程及简单性质，考查转化思想，考查计算能力，属于中档题．6、C【解析】

由余弦函数的单调性找出的等价条件为，再利用大角对大边，结合正弦定理可判断出“”是“”的充分必要条件.【详解】余弦函数在区间上单调递减，且，，由，可得，，由正弦定理可得.因此，“”是“”的充分必要条件.故选：C.【点睛】本题考查充分必要条件的判定，同时也考查了余弦函数的单调性、大角对大边以及正弦定理的应用，考查推理能力，属于中等题.7、D【解析】

过点做正方形边的垂线，如图，设，利用直线三角形中的边角关系，将用表示出来，根据，列方程求出，进而可得正方形的边长.【详解】过点做正方形边的垂线，如图，设，则，，则，因为，则，整理化简得，又，得，.即该正方形的边长为.故选：D.【点睛】本题考查直角三角形中的边角关系，关键是要构造直角三角形，是中档题.8、D【解析】分析：根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列，利用等比数列的相关性质可解.详解：因为每一个单音与前一个单音频率比为，所以，又，则故选D.点睛：此题考查等比数列的实际应用，解决本题的关键是能够判断单音成等比数列.等比数列的判断方法主要有如下两种：（1）定义法，若（）或（），数列是等比数列；（2）等比中项公式法，若数列中，且（），则数列是等比数列.9、C【解析】

几何体是由一个圆锥和半球组成，其中半球的半径为1，圆锥的母线长为3，底面半径为1，计算得到答案.【详解】几何体是由一个圆锥和半球组成，其中半球的半径为1，圆锥的母线长为3，底面半径为1，故几何体的表面积为.故选：.【点睛】本题考查了根据三视图求表面积，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.10、B【解析】

解：当直线过点时，最大，故选B11、B【解析】

由两直线垂直求得则或，再根据充要条件的判定方法，即可求解.【详解】由题意，“直线与直线垂直”则，解得或，所以“直线与直线垂直”是“”的必要不充分条件，故选B.【点睛】本题主要考查了两直线的位置关系，及必要不充分条件的判定，其中解答中利用两直线的位置关系求得的值，同时熟记充要条件的判定方法是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.12、D【解析】

根据折线图依次判断每个选项得到答案.【详解】由绘制出的折线图知：在A中，各月最高气温平均值与最低气温平均值为正相关，故A正确；在B中，全年中，2月的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大，故B正确；在C中，全年中各月最低气温平均值不高于10℃的月份有1月，2月，3月，11月，12月，共5个，故C正确；在D中，从2018年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值，先上升后下降，故D错误.故选：D.【点睛】本题考查了折线图，意在考查学生的理解能力.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、753【解析】

根据物品价格不变，可设共有x人，列出方程求解即可【详解】设共有人，由题意知，解得，可知商品价格为53元.即共有7人，商品价格为53元.【点睛】本题主要考查了数学文化及一元一次方程的应用，属于中档题.14、5【解析】

△PMF的周长最小，即求最小，过做抛物线准线的垂线，垂足为，转化为求最小，数形结合即可求解.【详解】如图，F为抛物线C：x2＝8y的焦点，P为C上一点，M（﹣4，3），抛物线C：x2＝8y的焦点为F（0，2），准线方程为y＝﹣2.过作准线的垂线，垂足为，则有，当且仅当三点共线时，等号成立，所以△PMF的周长最小值为55.故答案为：5.【点睛】本题考查抛物线定义的应用，考查数形结合与数学转化思想方法，属于中档题.15、【解析】乙不输的概率为，填.16、【解析】

利用奇函数的定义得出，结合对数的运算性质可求得实数的值.【详解】由于函数为奇函数，则，即，，整理得，解得.当时，真数，不合乎题意；当时，，解不等式，解得或，此时函数的定义域为，定义域关于原点对称，合乎题意.综上所述，.故答案为：.【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求参数，考查了函数奇偶性的定义和对数运算性质的应用，考查计算能力，属于中等题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(2)【解析】

（1）当时，，当或时，，所以可转化为，解得，所以不等式的解集为．（2）因为，所以，所以，即，即．当时，因为，所以，不符合题意．当时，解可得，因为当时，不等式恒成立，所以，所以，解得，所以实数的取值范围为．18、（1）（2）见解析（3）存在唯一的等差数列，其通项公式为，满足题设【解析】

（1）由，可得公比，即得；（2）由（1）和可得数列的递推公式，即可知结果为常数，即得证；（3）由（2）可得数列的通项公式，，设出等差数列，再根据不等关系来算出的首项和公差即可.【详解】（1）设等比数列的公比为q，因为，，所以，解得.所以数列的通项公式为：.（2）由（1）得，当，时，可得①，②②①得，，则有，即，，.因为，由①得，，所以，所以，.所以数列是以为首项，1为公差的等差数列.（3）由（2）得，所以，.假设存在等差数列，其通项，使得对任意，都有，即对任意，都有.③首先证明满足③的.若不然，，则，或.（i）若，则当，时，，这与矛盾.（ii）若，则当，时，.而，，所以.故，这与矛盾.所以.其次证明：当时，.因为，所以在上单调递增，所以，当时，.所以当，时，.再次证明.（iii）若时，则当，，，，这与③矛盾.（iv）若时，同（i）可得矛盾.所以.当时，因为，，所以对任意，都有.所以，.综上，存在唯一的等差数列，其通项公式为，满足题设.【点睛】本题考查求等比数列通项公式，证明等差数列，以及数列中的探索性问题，是一道数列综合题，考查学生的分析，推理能力.19、（1）；（2）或【解析】

（1）联立直线的方程和椭圆方程，求得交点的横坐标，由此求得三角形的面积.（2）法一：根据的坐标求得的坐标，将的坐标都代入椭圆方程，化简后求得的坐标，进而求得的值.法二：设出直线的方程，联立直线的方程和椭圆的方程，化简后写出根与系数关系，结合求得点的坐标，进而求得的值.【详解】（1）设，，若，则直线的方程为，由，得，解得，，设直线与轴交于点，则且.（2）法一：设点因为，，所以又点，都在椭圆上，所以解得或所以或.法二：设显然直线有斜率，设直线的方程为由，得所以又解得或所以或所以或.【点睛】本小题主要考查直线和椭圆的位置关系，考查椭圆中三角形面积的求法，考查运算求解能力，属于中档题.20、（1）（2）证明见解析【解析】

（1）将不等式化为，利用零点分段法，求得不等式的解集.（2）将要证明的不等式转化为证，恒成立，由的最小值为，得到只要证，即证，利用绝对值不等式和基本不等式，证得上式成立.【详解】（1）∵，∴，即当时，不等式化为，∴当时，不等式化为，此时无解当时，不等式化为，∴综上，原不等式的解集为（2）要证，恒成立即证，恒成立∵的最小值为－2，∴只需证，即证又∴成立，∴原题得证【点睛】本题考查绝对值不等式的性质、解法，基本不等式等知识；考查推理论证能力、运算求解能力；考查化归与转化，分类与整合思想.21、（1），.，.（2）当百米时，两条直道的长度之和取得最小值百米.【解析】