ch2 .逻辑代数与硬件描述语言基础

2.逻辑代数与硬件描述语言基础2.1

逻辑代数

2.2

逻辑函数的卡诺图化简法

2.3

硬件描述语言VerilogHDL基础

教学基本要求1、熟悉逻辑代数常用基本定律、恒等式和规则.3、了解硬件描述语言VerilogHDL.2、掌握逻辑代数的变换和卡诺图化简法.2.逻辑代数与硬件描述语言基础

2.1.1

逻辑代数的基本定律和恒等式2.1

逻辑代数2.1.3

逻辑函数的变换及代数化简法2.1.2

逻辑代数的基本规则2.1

逻辑代数逻辑代数又称布尔代数。它是分析和设计现代数字逻辑电路不可缺少的数学工具。逻辑代数有一系列的定律、定理和规则，它用于对数学表达式进行处理，以完成对逻辑电路的化简、变换、分析和设计。

逻辑关系指的是事件产生的条件和结果之间的因果关系。在数字电路中往往是将事情的条件作为输入信号，而结果用输出信号表示。条件和结果的两种对立状态分别用逻辑“1”和“0”表示。

1.基本公式

２.1.1逻辑代数的基本定律和恒等式交换律：A+B=B+AA·B=B·A结合律：A+B+C=(A+B)+C

A·B·C=(A·B)·C

分配律：A+BC=(A+B)(A+C)A(B+C)=AB+AC

A·1=AA·0=0A+0=AA+1=10、1律：A·A=0A+A=1互补律：重叠律：A+A=AA·A=A反演律：AB=A+B

A+B=A·B吸收律

2、常用公式AB+AB=AAB=A+B

A+B=A·BA·1=AA·0=0A+0=AA+1=1A·A=0A+A=1A+A=AA·A=A，，

3、基本公式的证明例

证明，列出等式、右边的函数值的真值表(真值表证明法)01·1=001+1=0001111·0=101+0=0011010·1=100+1=0100110·0=110+0=11100A+BA+BABAB

2.1.2

逻辑代数的基本规则

代入规则2.反演规则3.对偶规则代入规则

：在包含变量A逻辑等式中，如果用另一个函数式代入式中所有A的位置，则等式仍然成立。这一规则称为代入规则。例：B(A+C)=BA+BC，用A+D代替A，得B[(A+D)+C]=B(A+D)+BC=BA+BD+BC代入规则可以扩展所有基本公式或定律的应用范围对于任意一个逻辑表达式L，若将其中所有的与（•）换成或（+），或（+）换成与（•）；原变量换为反变量，反变量换为原变量；将1换成0，0换成1；则得到的结果就是原函数的反函数。2.反演规则：保留反变量以外的非号不变。

用反演律,则。，求

例1已知FCD+0BAF+=

解用反演规则

可得()()

DCBAF++=1

解由反演规则，可得例2试求的非函数对于任何逻辑函数式，若将其中的与（•）换成或（+），或（+）换成与（•）；并将1换成0，0换成1；那么，所得的新的函数式就是L的对偶式，记作。

例3.对偶规则：“或-与”表达式“与非-与非”表达式

“与-或-非”表达式“或非－或非”表达式“与-或”表达式

2.1.3

逻辑函数的变换与代数法化简1.常见的几种逻辑函数表达式及其相互变换a.常见的几种逻辑函数表达式

2、逻辑函数的变换

将逻辑函数与或式变换与非-与非表达式例1用与非门实现逻辑函数方法：将逻辑函数两次求反后用摩根定律（1）适应器件的情况:用与非门实现逻辑函数例2、用或非门实现逻辑函数2、两次求反。与或式转换为或非-或非式=A+C+C+DL2=A+C+C+DL2=AC+CD=AC+CD方法：1、将每个乘积两次求反后，用摩根定律；L2=AC+CD用或非门实现用逻辑门实现函数L3转换为与非-与非式(2)简化电路:需要与非门和或非门两块芯片只用一块与非门芯片

化简的意义：根据化简后的表达式构成的逻辑电路简单，可节省器件，降低成本，提高工作的可靠性。化简的主要方法：１．公式法（代数法）；２．图解法（卡诺图法）；2.1.3

逻辑函数的代数化简法

简化标准(最简的与－或表达式)

乘积项的个数最少(与门的个数少）;

每个乘积项中包含的变量数最少（与门的输入端个数少）。化简后使电路简单，可靠性提高。代数化简法：运用逻辑代数的基本定律和恒等式进行化简的方法。

方法：并项法:

吸收法：

A+AB=A

消去法：

配项法：A+AB=A+B

2.1.3

逻辑函数的代数化简与化简法例

用最少的与非门实现逻辑函数L最简与或式最简与或式逻辑图

与非-与非式逻辑图与非-与非式2.2

逻辑函数的卡诺图化简法2.2.2逻辑函数的最小项表达式2.2.1最小项的定义及性质2.2.4用卡诺图化简逻辑函数2.2.3用卡诺图表示逻辑函数2.2

逻辑函数的卡诺图化简法1.逻辑代数与普通代数的公式易混淆，化简过程要求对所 有公式熟练掌握；2.代数法化简无一套完善的方法可循，它依赖于人的经验 和灵活性；3.用这种化简方法技巧强，较难掌握。特别是对代数化简 后得到的逻辑表达式是否是最简式判断有一定困难。 卡诺图法可以比较简便地得到最简的逻辑表达式。代数法化简在使用中遇到的困难：2.2.1

最小项的定义及其性质

n个变量(X1,X2,…,Xn)的最小项就是n个因子的乘积，在该乘积中每个变量都以它的原变量或非变量的形式出现一次，且仅出现一次。1、最小项的定义：如三变量逻辑函数

f(ABC)A(B+C)

-----不是最小项------最小项CBA2、最小项的性质

三个变量的所有最小项的真值表m0m1m2m3m4m5m6m7最小项的表示：通常用mi表示最小项，m

表示最小项,下标i为最小项号。0001000000000101000000010001000001000000100001100010000101000001001100000001011100000001对于变量的任一组取值，全体最小项之和为1。对于任意一个最小项，只有一组变量取值使得它的值为1；

对于变量的任一组取值，任意两个最小项的乘积为0；0001000000000101000000010001000001000000100001100010000101000001001100000001011100000001三个变量的所有最小项的真值表

2.2.2

逻辑函数的最小项表达式

为“与或”逻辑表达式；在“与或”式中的每个乘积项都是最小项。例1将化成最小项表达式=m7＋m6＋m3＋m5

逻辑函数的最小项表达式：

例2将

化成最小项表达式a.去掉非号b.去括号C.使每个乘积项包括所有的变量

2.2.3

用卡诺图表示逻辑函数

1、卡诺图：将n变量的全部最小项都用小方块表示，并使具有逻辑相邻的最小项在几何位置上也相邻地排列起来，这样,所得到的图形叫n变量的卡诺图。逻辑相邻的最小项：如果两个最小项只有一个变量互为反变量，那么，就称这两个最小项在逻辑上相邻。如最小项m6=ABC、与m7=ABC在逻辑上相邻m7m6AB10100100011110

m0

m1

m2

m3

m4

m5

m6

m7

m12

m13

m14

m15

m8

m9

m10

m110001111000011110ABCD

2.用卡诺图表示逻辑函数

AB

mi00m001m111m310m2两变量最小项真值表三变量卡诺图四变量卡诺图两变量卡诺图m0m1m2m3ACCBCA

m0

m1

m2

m3

m4

m5

m6

m7N变量卡诺图ADBB

方法：逻辑函数包含有哪几个最小项，就在卡诺图相对应的方格内填1，其余各方格填0。

例如画出逻辑函数

的卡诺图根据最小项逻辑表达式画卡诺图。Fm0m3m2m4m6m5m7m110001110用卡诺图表示逻辑函数的方法：

1.

将逻辑函数化为最小项表达式；

2.

填写卡诺图。。Lm0m3m2m4m6m5m7m111111000解1).

将逻辑函数化为最小项表达式；2.)

填写卡诺图。例1用卡诺图表示逻辑函数00000例2

画出下式的卡诺图解1.

将逻辑函数化为最小项表达式2.

填写卡诺图0100011110BCA

m0

m1

m2

m3

m4

m5

m6

m7BCA0100011110

1

1

1

1

0

0

0

1ABC000001010011100101110111L10011101m0m1m2m3m4m5m6m7逻辑函数真值表逻辑函数的卡诺图逻辑函数式最小项表达式逻辑函数的几种表示方式

2.2.4

用卡诺图化简逻辑函数

1、用卡诺图化简逻辑函数卡诺图化简的依据若两个最小项相邻，则可合并为一项并消去一个变量。2.若四个最小项相邻并排列成一个矩形组，则可合并为一项并消去两个变量。3.若八个最小项相邻并排列成一个矩形组，则可合并为一项并消去三个变量。依据：具有相邻性的最小项可合并，消去不同因子。

在卡诺图中，最小项的相邻性可以从图形中直观地反映出来。2、用卡诺图化简逻辑函数的一般步骤

A.画出逻辑函数的卡诺图。3.同一方格可以被不同的包围圈重复包围多次，但新增的包围圈中一定要有原有包围圈未曾包围的方格。4.

一个包围圈的方格数要尽可能多,包围圈的数目要可能少。XB.合并最小项，即将相邻的为1的方格圈成一组。C.将所有包围圈对应的乘积项相加。包围圈内的方格数一定是2n个，且包围圈必须呈矩形。2.循环相邻特性包括上下底相邻，左右边相邻和四角相邻。画包围圈时应遵循的原则：

3.2.4

用卡诺图化简逻辑函数

卡诺图化简的原则化简后的乘积项应包含函数式的所有最小项，即覆盖图中所有的1乘积项的数目最少，即圈成的矩形最少每个乘积项因子最少，即圈成的矩形最大3、卡诺图化简举例

例1用卡诺图化简2.2.4

用卡诺图化简逻辑函数

11111111110111111111111110例2用卡诺图化简0111111111111110圈0圈1例：

0001111001ABC例：

000111100011111101ABC例：

000111100011111101ABC例：化简结果不唯一例2

将逻辑函数3、卡诺图化简举例

111111111111111111113.2.4

用卡诺图化简逻辑函数

化简为最简与或表达式。举例说明：三个逻辑变量A、B、C分别表示一台电动机的正转、反转和停止的命令，A=1表示正转，B=1表示反转，C=1表示停止。可能取值只有001，010，100当中的某一种。1.约束项、任意项和逻辑函数式中的无关项2.2.5

含无关项的逻辑函数及其化简⑴约束项、约束项：这些恒等于0的最小项叫做约束项。000，011，101，110，111中的任何一种都不可能出现，可表示为：或在有些逻辑问题中，在有些变量的取值下，最小项是0、或1对函数值均无影响，我们将对应的这些最小项称为任意项。而1010~1111不为8421BCD码，称为任意项。⑵任意项:举例说明：四个逻辑变量A、B、C、D分别表示8421BCD码只可能有0000，0001，0010…1001取值。任意项：在输入变量的某些取值下函数值是1是0皆可，并不影响电路的功能。在这些变量取值下，其值等于1的那些最小项成为任意项。1)填函数的卡诺图时只在无关项对应的格内填任意符号“×”逻辑函数式中用“Φ”或、“d”表示无关项。2、无关项处理方法：2)化简时可根据需要视为“1”也可视为“0”，使函数化到最简。⑶无关项：约束项和任意项既可以