ch4-1(3)变号级数的审敛准则

第4章无穷级数无穷级数无穷级数是研究函数的工具表示函数研究性质数值计算数项级数幂级数付氏级数函数项级数2008年12月25日1南京航空航天大学理学院数学系第4章无穷级数第1节常数项级数第2节函数项级数第3节幂级数第4节Fourier级数2008年12月25日2南京航空航天大学理学院数学系第1节常数项级数1.1常数项级数的概念、性质与收敛原理1.2正项级数的审敛准则1.3变号级数的审敛准则2008年12月25日3南京航空航天大学理学院数学系1.3变号级数的审敛准则2008年12月25日4南京航空航天大学理学院数学系1交错级数及其审敛准则2绝对收敛与条件收敛3DirichletandAbel判别法1.3变号级数的审敛准则4绝对收敛级数的性质2008年12月25日5南京航空航天大学理学院数学系定义1:

正、负项交替出现的级数称为交错级数.1交错级数及其敛散性2008年12月25日6南京航空航天大学理学院数学系证明2008年12月25日7南京航空航天大学理学院数学系满足收敛的两个条件,定理证毕.2008年12月25日8南京航空航天大学理学院数学系解2008年12月25日9南京航空航天大学理学院数学系解原级数收敛.2008年12月25日10南京航空航天大学理学院数学系收敛!2008年12月25日11南京航空航天大学理学院数学系存在!存在!2008年12月25日12南京航空航天大学理学院数学系？2绝对收敛与条件收敛2008年12月25日13南京航空航天大学理学院数学系证明注：该定理可由柯西收敛原理证明（见P.273)2008年12月25日14南京航空航天大学理学院数学系定理1.9的作用：任意项级数正项级数2008年12月25日15南京航空航天大学理学院数学系解故由定理知原级数绝对收敛.2008年12月25日16南京航空航天大学理学院数学系解故由定理知原级数条件收敛.2008年12月25日17南京航空航天大学理学院数学系例5以下填写是绝对收敛,还是条件收敛,还是发散2008年12月25日18南京航空航天大学理学院数学系证明例62008年12月25日19南京航空航天大学理学院数学系例7解2008年12月25日20南京航空航天大学理学院数学系2008年12月25日21南京航空航天大学理学院数学系例8

判别级数的收敛性.

2008年12月25日22南京航空航天大学理学院数学系3DirichletandAbel判别法------判别条件收敛的两个方法(1).Abel变换(2).Abel引理2008年12月25日23南京航空航天大学理学院数学系(3).Dirichlet判别法证明:由Abel引理和Cauchy收敛原理注意:由Dirichlet判别法可推出Lebuniz判别法2008年12月25日24南京航空航天大学理学院数学系(4).Abel判别法证明:由条件(1)由条件(2)有由Dirichlet判别法注意:2008年12月25日25南京航空航天大学理学院数学系例9解由Dirichlet判别法知所讨论的级数收敛!2008年12月25日26南京航空航天大学理学院数学系更一般的情形：

若数列{an}具有性质:都收敛.2008年12月25日27南京航空航天大学理学院数学系所以级数的部分和数列当时有

例如：解

2008年12月25日28南京航空航天大学理学院数学系例10

级数收敛但不绝对收敛.解

由于的绝对值级数2008年12月25日29南京航空航天大学理学院数学系2008年12月25日30南京航空航天大学理学院数学系例11解2008年12月25日31南京航空航天大学理学院数学系解是条件收敛由Abel判别法2008年12月25日32南京航空航天大学理学院数学系小结:任意项级数敛散性判别法2008年12月25日33南京航空航天大学理学院数学系(5)绝对收敛级数的性质1).级数的重排

我们把正整数列{1,2,…,n,…}到它自身的一一映射原数列的重排.相应地称级数为原级数的重

作称为正整数列的重排,相应地对于数列

2008年12月25日34南京航空航天大学理学院数学系意重排后所得到的级数绝对收敛且和也为S.定理

设级数绝对收敛,且其和等于S,则任

注

定理只对绝对收敛级数成立.条件收敛级

数重排后得到的新级数,不一定收敛,

即使收敛,也不一定收敛于原来的和.

事实上，条件收敛的级数经过适当重排后,既可以得到发散级数,也可以收敛于任何给定的数.

2008年12月25日35南京航空航天大学理学院数学系将上述两个级数相加,得到的是上述级数的重排:例如下面的级数是条件收敛的,

设其和为A

2008年12月25日36南京航空航天大学理学院数学系2).级数的乘积若为收敛级数,a为常数,则由此可以立刻推广到收敛级数与有限项和的乘

积,即那么无穷级数之间的乘积是否也有上述性质?2008年12月25日37南京航空航天大学理学院数学系设有收敛级数将级数(1)与(2)中每一项所有可能的乘积列成下表：

2008年12月25日38南京航空航天大学理学院数学系可以按各种方法排成不同的级数,常用的有按正方形顺序或按对角线顺序.

上述表中的所有乘积2008年12月25日39南京航空航天大学理学院数学系2008年12月25日40南京航空航天大学理学院数学系2008年12月25日41南京