应力与应变第六章

第六章应力状态与应变状态分析材料力学第六章应力状态与应变状态分析

§6–1应力状态的概念§6–2平面应力状态分析——解析法§6–3平面应力状态分析——图解法§6–4

梁的主应力及其主应力迹线§6–5

三向应力状态研究——应力圆法§6–6

平面内的应变分析§6–7

复杂应力状态下的应力--应变关系

——（广义虎克定律）§6–8

复杂应力状态下的变形比能§6–１应力状态的概念应力状态与应变状态一、引言1、铸铁与低碳钢的拉、压、扭试验现象是怎样产生的？M低碳钢铸铁PP铸铁拉伸P铸铁压缩2、组合变形杆将怎样破坏？MP四、普遍状态下的应力表示

三、单元体：

单元体——构件内的点的代表物，是包围被研究 点的无限小的几何体，常用的是正六面体。单元体的性质——a、平行面上，应力均布；

b、平行面上，应力相等。二、一点的应力状态：

过一点有无数方位的截面，这一点的各个截面上应力情况的集合，称为这点的应力状态（StateofStressataGivenPoint）。xyzs

xsz

s

y应力状态与应变状态txytzx由受力构件中取原始单元体（已知单元体）：例

画出下列图中的A、B、C点的已知单元体。

应力状态与应变状态PPAAsxsxMPxyzBCsxsxBtxztxytyx四、主单元体、主平面、主应力：主单元体(Principalbidy)：

各侧面上切应力均为零的单元体。主平面(PrincipalPlane)：切应力为零的面。主应力(PrincipalStress

）：

主平面上的正应力。主应力排列规定：按代数值大小，应力状态与应变状态s1s2s3xyzsxsysz单向应力状态（UnidirectionalStateofStress）

一个主应力不为零的应力状态。

二向应力状态（PlaneStateofStress）：

一个主应力为零的应力状态。应力状态与应变状态三向应力状态（Three—DimensionalStateof

Stress）：

三个主应力都不为零的应力状态。AsxsxtzxsxsxBtxz平面应力状态空间应力状态tzxsxsxBtxzsxsxA§6–2

平面应力状态分析——解析法应力状态与应变状态sxtxysyxyzxysxtxysyO规定：

:与截面外法线同向为正；

ta：绕研究对象顺时针转为正；

a：x转到n逆时针为正。naa设：斜截面面积dA，由分离体平衡得：一、任意斜截面上的应力应力状态与应变状态考虑切应力互等和三角变换：得:sytyxsxsataaxyOtnatxy同理：sytyxsxsataatnatxy二、应力极值´´应力状态与应变状态§6–3

平面应力状态分析——图解法对上述方程消去参数（2），得：一、应力圆（StressCircle）应力状态与应变状态xysxtxysyOsytxysxsataaxyOtn此方程曲线为圆—应力圆（或莫尔圆，由德国工程师：OttoMohr引入）RC建立应力坐标系，如下图所示，（注意选好比例尺）二、应力圆的画法在坐标系内画出点A(x，xy)和B(y，yx)

AB与sa

轴的交点C便是圆心。以C为圆心，以AC为半径画圆——应力圆；应力状态与应变状态sxtxysyxyOnsataaOstCA(sx,txy)B(sy,tyx)x2anD(sa,

ta)应力状态与应变状态sxtxysyxyOnsataaOstCA(sx,txy)B(sy,tyx)2anD(sa,

ta)三、单元体与应力圆的对应关系面上的应力(，)

应力圆上一点(，)面的法线应力圆的半径两面夹角两半径夹角2

；且转向一致。点面对应;夹角两倍,转向一致x四、在应力圆上标出极值应力应力状态与应变状态OCstA(sx,txy)B(sy,tyx)x2a12a0s1s2s3★切应力最大与最小的截面上，正应力一般不为零,且大小相等。★两互相垂直的截面上，正应力之和为常数;★主平面上，主应力取得极大或极小。性质：OCstA(sx,txy)B(sy,tyx)x2a12a0s1s2s3例：分别用解析法和图解法求图示单元体的

(1)指定斜截面上的正应力和切应力; (2)主应力值及主方向，并画在单元体上；

(3)最大切应力值。单位：MPa解：(一)使用解析法求解101.96MPa21.96MPa84.85MPa64.85104.85σ1=104.85MPa，σ2=0，σ3=-64.85MPa。

(二)使用图解法求解

作应力圆，从应力圆上量出：C（20，0），R=84.85MPa，σ1=104.85MPa，σ2=0MPa，σ3=-64.85MPa，τmax=84.85MPatan2α0=1，2α0=45°σ1=104.85MPa，σ2=0MPa，σ3=-64.85MPa，τmax=84.85MPa，α0=22.5°104.8564.85例：试用应力圆法计算图示单元体e--f截面上的应力。图中应力的单位为MPa。例

用应力圆求解图示单元体解：（1）作应力圆C主应力、主平面，C（45，0），σ1=87.72MPa，σ2=0MPa，σ3=-2.27MPa，τmax=42.72MPa低碳钢铸铁例：讨论圆轴扭转时的应力状态，并分析低碳钢、铸铁试件受扭时的破坏现象。解：低碳钢剪断；铸铁拉断。§6–4

梁的主应力及其主应力迹线应力状态与应变状态12345P1P2q如图，已知梁发生剪切弯曲（横力弯曲），其上M、Q>0，试确定截面上各点主应力大小及主平面位置。单元体：应力状态与应变状态21s1s3s33s1s34s1s1s35a0–45°a0stA1A2D2D1COsA2D2D1CA1Ot2a0stD2D1CD1O2a0=–90°sD2A1Ot2a0CD1A2stA2D2D1CA1O拉力压力主应力迹线（StressTrajectories)：

主应力方向线的包络线——曲线上每一点的切线都指示着该点的拉主应力方位（或压主应力方位）。实线表示拉主应力迹线；虚线表示压主应力迹线。应力状态与应变状态1313§6–5

三向应力状态研究——应力圆法应力状态与应变状态s2s1xyzs31、空间应力状态2、三向应力分析弹性理论证明，图a单元体内任意一点任意截面上的应力都对应着图b的应力圆上或阴影区内的一点。图a图b整个单元体内的最大剪应力为：tmax应力状态与应变状态s2s1xyzs3§6–6广义胡克定律应力状态与应变状态一.基本变形时的胡克定律y