概率论与数理统计34

§3.4协方差及相关系数一、协方差二、协方差矩阵三、相关系数四、条件数学期望五、条件期望的预测含义

对于二维随机变量，除了讨论X与Y的数学期望和方差以外，还需要讨论描述X与Y之间相互关系的数字特征，本节讨论这方面的数字特征。一、协方差E(X-EX)(Y-EY)=E(X-EX)E(Y-EY)又

E(X-EX)=0,E(Y-EY)=0所以

E(X-EX)(Y-EY)=0。

设(X，Y)为二维随机向量，EX，EY均存在，如果E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}存在，则称其为随机变量X与Y的协方差，记为cov(X,Y)，即1、定义cov(X,Y)=E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}

可以证明，如果X，Y的方差存在，则协方差cov(X,Y)一定存在，且满足下列不等式5)

D(aX+bY)=2、协方差的性质6)若X与Y独立，则cov(X,Y)=0,D(X+Y)=DX+DY例3.22解：例3.23解：()

的联合密度函数为，设连续型随机向量YX()îí죣£=其它，0108yxxyyxg．，求)(),cov(YXDYX+

îí죣-=其它010)1(4)(2xxxxgXîí죣=其它0104)(3yyygYò+¥¥-=dxxxgEXX)(ò-=102)1(4dxxxx158=例3.23(续1)D(X+Y)ò+¥¥-=dyyygEYY)(ò=1024dyyy54=94=EXYò+¥¥-=dxxgxEXX)(22ò-=1022)1(4dxxxx31=ò+¥¥-=dyygyEYY)(22ò=10224dyyy32=104)(3££=yyygY

，10)1(4)(2££-=xxxxgX

，158=EX二、协方差矩阵都存在，且称矩阵：为n维随机变量(X1，X2，…，Xn)的协方差矩阵。若记X=(X1，X2，…，Xn)，则X的协方差矩阵可记为DX。为随机变量X与Y的相关系数。相关系数是一个无量纲的量。三、相关系数称则称X与Y不相关；则称X与Y正相关；则称X与Y负相关。若对X与Y进行标准化变换二元正态分布的相关系数的计算(X,Y)~相关系数的性质对二元正态分布：X，Y独立=0X，Y不相关。若X与Y之间没有线性关系并不表示它们之间相互独立，也不表示它们之间没有关系。补充说明的量．之间线性关系紧密程度与量相关系数是表征随机变YX存在着线性关系；之间以概率与时，当，11YXYX=r之间的线性关系越弱；与时，越接近于当，YXYX0r一定不独立。与且，之间一定存在线性关系与，则若，YXYXYX0¹r例3.25解：独立。是否不相关，是否相互与判断，上的均匀分布，服从设

Y

XYX

,cossin],[q=q=pp-qòpp-qqp=dEX

sin21òpp-qqp=dEX

cos21òpp-qqp=dDX

2sin21òpp-qqp=dDY

2cos21òpp-qqqp=dEXY

cossin210=0=21=0=0=21=四、条件数学期望离散型随机向量的条件数学期望连续型随机向量的条件数学期望例3.26例3.27()服从圆域：，设二维随机向量YX122£+yx).1||(]|[

<=yyYXE试求的条件密度为时，可知，当由例

|

Xy1|8.3<()ïîïíì-££---=其它011121222yxyyyxfYX解：条件数学期望的性质随机变量X关于随机变量Y的条件数学期望例3.28()服从二元正态分布：，设二维随机变量YX()()rssmm，，，，，222121~NYX].|[YXE

求