《数图》第5章 图像复原

数字图像处理基础DigitalImageProcessing第五章图像复原1DigitalImageProcessing

图像复原（恢复imagerestoration）－－图像处理中经典问题之一，难解问题之一。图像复原目的－－恢复降质图像的本来面目。图像复原方法－－弄清降质原因，建立数学模型，逆降质的过程恢复图像。图像降质因素：光学系统的像差、衍射、畸变、摄像感光元件的非线性、成像过程的相对运动、大气的湍流效应、环境随机噪声等。图像复原方法的分类：处理域：空域、频域；约束条件：无约束条件、有约束条件；复原系统：线性复原、非线性复原；…………2DigitalImageProcessing图像复原和图像增强的相似之处：改善图像质量。图像增强－－提高图像的“可懂度”，有较好的观赏效果，具一定的主观成分，没有明确的客观标准；图像复原－－提高图像的“保真度”，恢复原图像，有更多的客观成分，具有明确的客观标准。3DigitalImageProcessing第1节图像的降质模型1.图像降质图像复原处理的关键：建立图像的降质（退化）模型。常用线性、空间不变系统模型近似。

图5.1图像的退化及复原模型g(x,y)f(x,y)H[·]n(x,y)T[·]退化模型复原模型4DigitalImageProcessing2.图像降质模型（1）连续图像的降质模型不考虑噪声时输出图像（5.1）其中（5.2）

（5.2）代入（5.1）式后（5.3）设H是线性算子（5.4）5DigitalImageProcessing其中

H[]是移不变算子

(5.5)线性和空间不变系统的退化图像g(x,y)

(5.6)

降质系统的输出＝输入图像信号*系统冲激响应当冲激响应函数h(x,y)已知时，从f(x,y)得到g(x,y)容易，从g(x,y)恢复f(x,y)并非易事。6DigitalImageProcessing考虑加性噪声n(x,y)：

(5.7)对应的频率域表达式：

(5.8)

一般频域图像复原步骤：已知g(x,y)、h(x,y)求f(x,y)

转化已知G(u,v)、H(u,v)求F(u,v)；g(x,y)、h(x,y)求f(x,y)

FT频域传递函数H(u,v)；由G(u,v)=H(u,v)F(u,v)IFT得到复原图像f(x,y)。7DigitalImageProcessing（2）离散图像的降质模型连续图像复原推广离散图像复原。

空域卷积表示（离散线性空间不变系统）：

降质图像g(i,j)输入图像f(i,j)降质系统h(i,j,m,n)加性噪声n(i,j)

(5.9)

空域矩阵表表示：

g、f、n分别为g、f、n的堆叠列矢量

(5.10)

频域DFT表示：

(5.11)8DigitalImageProcessing

3.图像降质实例（1）孔径衍射造成的图像降质物平面上的点光源（二维冲激函数）

像平面上的光斑（系统冲激响应）物平面上场景＝众多点光源的集合

像平面上图像＝众多光斑的集合。点扩展函数（PSF）SOd1d2点光源像光斑物平面像平面(x,y)图5.2简单的透镜成像系统成像透镜(ξ,η)9在实际光学系统中：透镜成像系统＝孔径（aperture）成像系统，孔径衍射效应是造成图像模糊的主要原因。孔径：取代透镜的一张不透光的平面，在光轴中心开有透光的（圆）小孔，孔中的透光率服从某种分布。衍射效应：输入点光源发出的球形发散入射光波，响应不再是球形会聚的出射光波的单点图像。图5.3孔径衍射造成的模糊(a)理想的PSF(b)衍射引起的PSF10DigitalImageProcessing

光瞳函数：透镜等效孔径所在平面上透光率的空间分布。

(5.12)光学成像的惠更斯-菲涅尔原理：对于相干光，点扩展函数在幅值上就是光瞳函数的二维傅立叶变换。即：

(5.13)

进行变量替换

(5.14)11DigitalImageProcessing相干光：降质系统传递函数H(u,v)是h(x,y)的傅立叶变换,点扩展函数h(x,y)是光瞳函数p(ξ,η)的傅立叶变换,系统的传递函数是光瞳函数的两次傅立叶变换。

对一个函数作两次光学傅立叶变换相当于将此函数绕原点作反转，相干光学成像系统的传递函数：

(5.15)非相干光:

各点光源的相位是随机独立的，不具有统一的幅度关系，只具有统计意义上的强度关系：降质系统的点扩展函数是相干光的点扩展函数模的平方（光瞳函数FT平方）。

非相干光系统的点扩展函数是光瞳函数的功率谱。h(x,y)H(u,v)p(ξ,η)FTFT12DigitalImageProcessing

（2）相对运动造成的图像模糊景物和相机之间的相对运动，造成图像的模糊，为了简单起见，只研究由匀速直线运动所造成的模糊图像的恢复，假设：相机曝光时感光单元所产生的图像退化只受相对运动影响之外。(a)原始图像(b)运动造成的模糊图像(c)复原后的图像图5.4相对运动造成的图像模糊及其复原13DigitalImageProcessing设：物体f(x,y)在一平面内运动，x0(t)是物体在x方向的位移，y0(t)是物体在y方向的位移，t表示运动的时间；感光单元的总曝光量是在快门打开到关闭这段曝光时间T内的积分。曝光成像后的降质图像为：（5.18）（5.20）（5.19）匀速直线运动所造成图像模糊系统的传递函数。FT14DigitalImageProcessing再简化：物体只在x方向上作匀速直线运动（y0(t)=0）。图像模糊后任意一点的值（5.18）式可简化为（5.21）设物体在T时间内移动距离为s，速度为s/T，水平方向移动的距离为降质系统的传递函数为： （5.22）对应的系统点扩展函数为：（5.23）15DigitalImageProcessing（3）大气湍流造成的图像降质受大气湍流的影响：航空图片、卫星图片、天文图，…………简单情况：在长时间作用的情况下，大气湍流降质图像的系统传递函数为： （5.24）C为与湍流性质有关的常数。16DigitalImageProcessing4.降质模型的矩阵表示先考虑一维情况，然后再推广到二维。（1）一维模型的矩阵表示

如f(x)为信号，h(x)为降质系统的冲激响应，则降质系统的输出g(x)为：

(5.25)不考虑噪声上式的矩阵形式：(5.26)

式中g、f都是M维列向量，H是M×M阶矩阵，矩阵H中的每一行元素均相同，每行以循环方式右移一位。

矩阵H是循环矩阵。g=Hf17DigitalImageProcessing（2）二维模型的矩阵表示图像为f(x,y)，降质系统响应为h(x,y)，输出降质图像g(x,y)为：

(5.27)用矩阵表示：(5.28)

式中g、f是MN×1维列向量，降质矩阵H可以表示为M×M的分块循环矩阵，其中任意一子矩阵Hj

是由降质函数h(x,y)的第j行构成的，也是循环矩阵。如果考虑到加性噪声：

(5.29)用矩阵表示：(5.30)g=Hf

g=Hf＋n18DigitalImageProcessing对于实际应用，要想从式（5.30）得出f(x,y)，其计算工作是十分困难的：

（5.30）解方程计算量十分惊人

利用循环矩阵、块循环矩阵的性质来对矩阵计算进行大幅度的削减，例如将循环矩阵对角化来简化矩阵求逆运算。

（5.30）往往是一种病态方程

对噪声或误差非常敏感，微小的数据误差可以引起方程解的巨大波动。对方程解施加一定的限制或约束，将解方程问题转化为求函数优化或函数极值问题。19DigitalImageProcessing

5.循环矩阵的对角化

利用循环矩阵的相似性定理，将降质模型中的大矩阵进行对角化。循环矩阵具有正交、复指数特征向量，将矩阵方程转化成DFT的形式。庞大方程组（空间域）运算简化频谱运算（频率域）（1）循环矩阵的对角化若H、B都是M×M矩阵，若有可逆矩阵U，使得B和H互为相似矩阵H=UBU-1(5.31)

相似矩阵的特征多项式相同，对应的特征值也相同。如果M阶矩阵H与对角阵D相似，充要条件是H有M个线性无关的特征向量。相似矩阵D和H的特征值相同，对角阵D的对角元素就是自己的特征值。20DigitalImageProcessingM阶循环矩阵H，存在M个线性无关的特征向量，可和一个对角矩阵相似。M阶循环矩阵H，其特征值为一标量集合{λ(k),k=0,1,…,M-1}，其中

(5.32)对应的特征向量为一列矢量集合{w(k),k=0,1,…,M-1}，其中

(5.33)将上述特征值和特征向量直接代入下式验证，等式成立，

Hw(k)=λ(k)w(k)k=0,1,…,M-1

(5.34)

将H的M个特征向量w(k)组成一个M×M的矩阵W：

W=[w(0)w(2)…w(M-1)(5.35)只要是M×M的循环矩阵，它的特征向量组成的矩阵W都是相同的。21DigitalImageProcessing由于循环矩阵H具有M个线性无关的特征向量｛w(k)｝，可以保证由这些列向量组成的矩阵W的逆矩阵存在，即WW-1=I。参照(5.31)式的H=UBU-1

，可把H对角化：

H=WDW-1 (5.36)

D是对角阵，其对角元素d(k,k)是H的特征值λ(k)：

(5.37)

22DigitalImageProcessingH矩阵的逆矩阵为：

H-1=(WDW-1)-1=(W-1D-1W)T=WD-1W-1

(5.38）D是对角阵，D-1也是对角阵，它的每个元素为D中对应元素的倒数;W矩阵的值和H矩阵的元素无关，因此H-1比较容易获得。H的特征值是h(x)的DFT：

h(x)形成的循环矩阵H的第k个特征值＝h(x)的DFT的第k个值H(k)。

H的相似对角矩阵D的对角元素＝序列h(x)的DFT。23DigitalImageProcessing（2）分块循环矩阵的对角化

分块循环矩阵H（MN×MN，M×M块，子块为N×N）可以对角化；其MN个特征向量组成的矩阵W，是一个的循环分块矩阵。W的第i行第m列个子块可表示式为：

i,m=0,1,2,…,M-1(5.39)其子块wN为一个N×N子矩阵，其第k行第n列位置的元素为：

k,n=0,1,2,…,N-1(5.40)24DigitalImageProcessing逆矩阵W-1也是一个分块循环矩阵。即第i行第m列个子块表示式为：

i,m=0,1,2,…,M-1(5.41)子块wN-1为一个N×N矩阵，其第k行n列位置的元素为：

k,n=0,1,2,…,N-1(5.42)将（5.39）至（5.42）式代入下式：WW-1

＝I，确互为逆矩阵。实际上：W是由分块循环矩阵H的特征向量所构成的MN×MN矩阵，其MN个特征向量是线性无关的，必定存在逆矩阵W-1。25DigitalImageProcessing分块循环矩阵H可以写成：

H=WDW-1 (5.43)或 D=W-1HW(5.44)其中：矩阵D是一个MN×MN维的对角阵，由M×M个对角子矩阵组成的分块循环矩阵，

对角子矩阵由N×N个对角元素d(k,k)组成，且为H矩阵的特征值。还可以证明，H的转置矩阵HT可用D的复共轭D*来表示：HT=WD*W-1(5.45)26DigitalImageProcessing（3）对角化在降质模型中的应用1）一维情况将H=WDW-1代入（5.26）：g=Hf=WDW-1f(5.46)用W-1左乘上式两边：W-1g=W-1WDW-1f=DW-1f

(5.47)其中W-1是一个M×M维的矩阵，即：

(5.48)27DigitalImageProcessingg是M维列向量，W-1g也是M维列向量，其第k项为G(k)：即g(x)的傅立叶变换

k=0,1,2,…,M-1(5.49)同理，W-1f的第k项记为F(k)：

即f(x)的傅立叶变换

k=0,1,2,…,M-1(5.50)可见：用W-1乘g，产生的新向量W-1g，它的元素是g中各元素的傅立叶变换。（5.46）的g=Hf=WDW-1f中的D的主对角线元素是H的特征值λ(k)，根据（5.35）有：

k=0,1,2,…,M-1(5.51)其中H(k)是h(x)的傅立叶变换。28DigitalImageProcessing综上，将式（5.47）简化成傅立叶变换的乘积：

(5.52)

等价的频率域处理：(5.53)小结：

求解M个方程的方程组问题计算三个序列的傅立叶变换问题。W-1g=W-1WDW-1f=DW-1f29DigitalImageProcessing2）二维情况考虑噪声项，g=Hf+n，用W-1左乘此式，

W-1g=W-1(Hf+n)=W-1Hf+W-1n=W-1WDW-1f+W-1n

(5.54)

化简：W-1g=DW-1f+W-1n (5.55)类似一维情况，(5.55)式的左边MN×1维列矢量W-1g可用下式表示：

(5.56)其中G(u,v)：

(5.57)同理，W-1f：

W-1n：u=0,1,2,…,M-1v=0,1,2,…,N-130DigitalImageProcessing类似一维，对角阵D的任一元素为H矩阵的特征值＝降质函数h(x,y)的DFT。 （5.58）将对角阵D的对角线元素“拉直”排列后成为：

对应g=Hf+n，可得到

u=0,1,2,…,M-1，v=0,1,2,…,N-1(5.59)G(u,v)/F(u,v)/N(u,v)/H(u,v)分别为g(x,y)/f(x,y)/n(x,y)/h(x,y)的2D-DFT。降质模型的庞大方程组计算简化M×N的2D-DFT计算。式中的下标uv并不代表D矩阵的第u行第v列，而表示在D矩阵对角线上、和右乘列矢量相对应的第（u,v）个元素。31DigitalImageProcessing第2节无约束图像复原循环矩阵的对角化解决矩阵H求逆问题，对噪声的影响未予考虑，没有对问题的解施加一定的约束－－无约束图像复原：

如逆滤波，运动模糊的消除，最小二乘方法等。1.逆滤波图像复原

不考虑图像噪声，降质图像、降质系统、原始图像的关系为：G(u,v)=H(u,v)F(u,v)

F(u,v)=G(u,v)/H(u,v)f(x,y)=IDFT[F(u,v)]

(5.60)

H(u,v)≠0

(5.61)(5.62)复原函数1/H(u,v)和降质函数H(u,v)作用相反:逆滤波(inversefiltering)复原。(unconstraintimagerestoration)32DigitalImageProcessing考虑噪声G(u,v)=H(u,v)F(u,v)+N(u,v)时，复原图像为：

(5.63)如H(u,v)出现零点，就会导致不定解或不稳定解（病态性质）：

没有噪声，一般也不可能精确地复原f(x,y)；考虑噪声，噪声项将被放大，使得噪声成分在图像复原的结果中起主导作用。原图像(b)模糊图像(c)模糊加噪图像(d)模糊图像逆滤波(e)模糊加噪图像的逆滤波图5.5逆滤波图像复原33DigitalImageProcessing为了克服H(u,v)零点的影响，限制复原在频谱坐标离原点不太远的中低频、信噪比高有限区域内运行；在H(u,v)零点的那些频谱点及其附近，人为地设置H-1(u,v)的值。例如取图像复原函数M(u,v)为：

(5.64)其中d为常数，在以d为半径的频域区内，H(u,v)无零点，按照1/H(u,v)进行逆滤波，在此区域以外，则不加改变。34DigitalImageProcessing

2.运动模糊的消除实际中：拍摄快速运动物体，镜头在曝光瞬间的偏移、运动的目标……用逆滤波复原法去除由匀速直线运动引起的图像模糊。（1）逆滤波复原运动模糊的降质函数（5.22）为： （5.65）

对H(u,v)=0的处理：在进行逆滤波时避免零点，在范围内进行。35DigitalImageProcessing（2）递推法复原在只有x方向上的运动（不考虑y），降质图像为

0≤x≤L

（5.66）要求解原图像，需解此积分方程。经过变量代换、上式对x求导数，得到：

0≤x≤L

（5.68）为了简便，设L=Ks，K为正整数，s表示在曝光期间T内图像中景物移动的总距离。将图像划为宽度为s的K个竖条，在0～L范围内任意一点的x坐标：

x=ms+z（5.69）

式中m为x/s的整数部分，其值为0,1,2,…,K-1，余数用z表示。sz(ms+z)msyx运动物体图像f(x,y)图5.6水平匀速运动降质图像的复原示意图36DigitalImageProcessing将（5.69）代入（5.68）得： （5.70）

它表示原图像的值之间是一种叠代关系。

……叠代过程的描述省略……得出只有x方向匀速直线运动模糊图像复原后的表达式： （5.78）

按照上述思路，将y代入，即可得到最终复原图像：（5.79）第m条中一点的原图像值降质图像的导数值邻近第(m-1)条中相同位置的原图像值A为常数，当K很大时接近f(x)的平均值。37DigitalImageProcessing3.无约束最小二乘方复原

图像复原－－给定降质图像g，根据降质系统H和噪声n的特性，估计原图像，使其尽量接近原图像，两者的误差尽可能小。－－典型的误差函数最小二乘方优化问题。降质模型g=Hf+n，不考虑噪声，g=Hf根据上述准则，即寻找一个，使g与之偏差在最小二乘方意义上最小，即使得的范数最小，用准则函数表示：

(5.80)(5.81)38DigitalImageProcessing无约束复原：在准则函数求极小值的过程中，不受任何其它条件的约束。对求导并令其等于零：

(5.84)解得无约束最小二乘方复原图像：

(5.85)式中(HTH)-1HT

是H矩阵的广义逆矩阵。如H为非奇异方阵，是线性方程组g=Hf的直接解。39DigitalImageProcessing按(5.38)式的H-1=WD-1W-1，用对角化矩阵D来描述，复原图像为：

(5.86)根据对角阵与傅立叶变换的关系：上式等价于：

(5.87)可见，在H为非奇异方阵、不考虑噪声的情况下：最小二乘方准则下寻找出的最优估计图像由g和降质系统H的对角化矩阵D得出复原图像两者相同40DigitalImageProcessing第3节有约束图像复原回顾：无约束图像复原，不受任何其它条件的约束，具有相当大的局限性。改进：增加约束条件－－有约束图像复原。图像复原线性方程组是一个病态问题，解波动性很大。为了获得良态解（更好的图像复原效果），根据实际图像复原的具体要求，利用降质模型、噪声、图像的先验特性，对问题的解附加一定的限制和约束，增加解的可靠性和实用性，获得更加接近原图像的复原效果。41DigitalImageProcessing1.有约束最小二乘方复原

有约束图像复原：已降质系统、噪声、图像的先验特性作为约束条件。如：有约束最小二乘方复原、功率谱均衡复原、平滑约束滤波复原等。

有约束最小二乘方复原：采用拉格朗日乘子法，寻找，使准则函数最小：

令Q为的线性算子，要设法寻找一个最优估计，使形式为、服从约束条件的函数最小化。求这类问题的最小化，用Q算子对解进行约束，使得它的范数平方最小。拉格朗日乘子法的约束条件拉格朗日乘数此约束的物理含义：估计误差等于噪声。对随机变量，“等于”是在范数平方意义上的相等。(5.88)最小二乘方准则函数。42DigitalImageProcessing对求偏导并使其为零后解得： （5.89）式中γ=1/α，选择不同的Q，可得到不同的有约束复原方法。当Q=I，对解不产生约束，即对解不进行线性运算，解得： （5.90）

当γ=0时，退化为无约束情况的图像复原，

前（5.85）

可见无约束最小二乘方复原是有约束最小二乘方复原的特殊情况。在空间域上求解(5.89)或(5.90)，由于维数巨大，很难直接求解，通常转换到频率域上进行处理。43DigitalImageProcessing

2.维纳滤波复

维纳滤波复原：约束算子Q=Rf-1/2Rn1/2

Rf

=E{ffT}（堆叠图像f的相关矩阵）Rn=E{nnT

}（堆叠噪声n的相关矩阵）

（5.91）

Rf的第i

行第j

列元素是E{fi

fj}，表示图像f的第i个和第j个元素的相关，Rn的第i

行第j

列元素是E{ni

nj}，表示噪声n的第i个和第j个元素的相关。Rf

和Rn

都是实对称矩阵。

在图像中，邻近像素点高度相关，距离较远的像素其相关性较弱。典型的相关矩阵在主对角线方向呈一条非零元素带，其它区域多为零值或接近零值。44DigitalImageProcessing默认图像和噪声的平稳性，可近似将Rf和Rn

用块循环矩阵表示：Rf

=WDfW-1 Rn

=WDnW-1

（5.92）根据块循环矩阵对角化的原理，列矢量表示受约束后的：（5.94）……得到复原后的图像： （5.100）对应的频域表达式：（5.101）45DigitalImageProcessing下面讨论式（5.101）的几种情况：①（5.101）式：有信噪比最大化约束条件下的最小二乘方复原滤波器。②如γ=1，（5.101）式为维纳滤波器，如γ为变数，则为参变维纳滤波器。③无噪声时，Sn(u,v)=0。式（5.101）退化成逆滤波器。④当无信号时，这时滤波器都完全截止，阻止噪声通过。⑤如果无噪声的统计性质，一般可假设为白噪声＝常数功率谱密度。⑥当Sf(u,v)和Sn(u,v)统计性质未知时，式（5.101）可以用下式近似： （5.103）46DigitalImageProcessing图5.7维纳滤波图像复原一例，复原后的峰值信噪比（PSNR）提高4dB以上。(a)原始图像(b)加噪模糊图像(22dB)(c)复原后图像(26dB)图5.7维纳滤波图像复原47DigitalImageProcessing3.功率谱均衡复原

（powerspectrumequalization）复原原则：估计图像的功率谱＝原图像的功率谱相等 （5.104）由此导出功率谱均衡复原滤波器：

（5.105） 根据图像退化的降质模型和功率谱的定义可知：（5.106）估计图像功率谱原图像功率谱复原函数降质图像功率谱48DigitalImageProcessing将(5.106)式代入(5.105)式，可得: （5.107） （5.108）（5.109）(5.106)(5.105)功率谱均衡vs维纳滤波相似之处：需要已知信号和噪声的功率谱；无噪声时，简化为逆滤波；无信号时，完全截止。不同之处：功率谱均衡滤波器无零点问题。49DigitalImageProcessing4.平滑约束复原(smoothnessconstraints)自然场景的图像数据间的变化是比较平缓的，突然的变化较少，因此，要求所估计的图像数据是平滑过渡的，是施加了平滑约束的。

平滑约束最小二乘方复原：使得估计图像的二阶导数（平滑的标志）最小。只需要知道有关噪声的均值和方差等先验知识。约束算子矩阵Q：选择拉普拉斯算子，避免一般导数的方向性。差分式近似：

(5.110)等效卷积模板：(5.111)

50DigitalImageProcessing准则函数中Q是MN×MN维的分块循环矩阵（平滑矩阵）：（5.112）为了满足矩阵运算要求，将p(x,y)矩阵补零后形成N×N维pe(x,y)矩阵，上式中每个子矩阵qj

是pe(x,y)矩阵的第j行组成的N×N维的循环矩阵，即（5.113)51DigitalImageProcessing重写（5.89）式最优解的结果：（5.114）按照对角化方法：（5.115）上式两边左乘以W-1，得到（5.116）复原图像的频谱表示：（5.117）

形式上与维纳滤波器有些相似，但这里只需对噪声均值和方差的知识；在平滑约束中，获得的最优解是经拉普拉斯滤波后其能量之和最小的一幅图像；拉普拉斯滤波的结果表示图像的跳变分量（高频分量）大小；选择跳变分量最少，符合实际图像具有高度相关、以中低频能量为主的特性。52DigitalImageProcessing第4节非线性图像复原实际中：图像降质系统并非线性，噪声并非加性，线性复原只是一种近似。近年来，非线性图像复原的方法获得了良好的效果。1.最大后验概率复原

(MAP，MaximumAPosterior)将原始图像f(x,y)和被观测到的降质图像g(x,y)都看成二维随机场，在已知g(x,y)的前提下，对f(x,y)进行种种估计:求出后验概率密度函数P(f(x,y)|g(x,y))，当P(f(x,y)|g(x,y))为最大值时所对应的就代表在已知降质图像g(x,y)时最有可能的原始图像f(x,y)，也就是是f(x,y)的最大后验估计。 根据贝叶斯准则求P(f|g)的最大值：

(5.118)降质图像的分布P(g)独立于最优化问题，可用常数C表示。53DigitalImageProcessing忽略常数，对式（5.118）取对数后再求偏导使其为零，解出f即满足要求：

(5.119)考虑先前的降质模型：g=Hf+n (5.120)

设：H是服从N维高斯分布的平稳随机场，只需均值和方差参数就可以确定。噪声n满足零均值的N维高斯分布：

(5.121)f的分布已知，g的随机性是由n决定的，P(g|f)和P(n)具有相同分布：

(5.122)上式对f求偏导可得：(5.123)n的协方差矩阵54DigitalImageProcessing设图像像素f的概率密度函数为正态分布：

(5.124)对f求偏导：

(5.125)把(5.123)、(5.125)代入(5.119)：

(5.126)如事先通过使f的均值为0，上式可解得：

(5.127)这是关于的线性方程，可用叠代或其它方法求解得到恢复图像。(5.119)(5.123)55DigitalImageProcessing

如果噪声n为N维独立高斯分布随机场，(5.127)式中的协方差矩阵为单位矩阵，将不起作用，维纳滤波中的约束算子相当于这里的，在这种情况下MAP方法和最小二乘方复原方法是一致的。注意：如(5.118)式中得不到f的分布，或简单地将f作为均匀分布，则此时MAP复原就成为最大似然估计(ML，MaximumLikehood)复原：

(5.128)(5.127)(5.89)MAP结果比较

有约束最小二乘方结果56DigitalImageProcessing

2.最大熵复原最大熵复原：是在图像复原过程中加最大熵约束，要求在所有可行解中，图像熵最大那一个作为最终的图像解。

优点：不需要对图像先验知识做更多假设，在抑制噪声和恢复图像细节之间取得较好的平衡。信息论：熵的大小是表征随机变量集合（信源）的随机程度的统计平均值；信源为等概率分布式，其熵值最大。如果将N×N大小的非负图像f(i,j)像素值看作是一个随机变量集合，任一像素的灰度值表示这一点随机变量的概率，仿效随机变量熵，定义图像熵Hf：

(5.129)这里的图像熵和以往的图像信源熵是不同的。57DigitalImageProcessing信源熵：随机集合的熵值越大，说明各个随机变量的概率大小越趋同，差别越小。图像熵：图像的熵值越大，说明各个像素的灰度值越趋同，差别越小，图像越平滑。本质上：图像最大熵的约束就是图像平滑的约束。噪声熵Hn：保证图像的非负性，定义等效噪声n’(i,j)=n(i,j)+B(5.130)

(5.131)图像最大熵复原问题等价求图像熵和噪声熵加权熵的极大值问题（Frieden方法）。加权熵H：

(5.132)为加权系数，用以调整对噪声熵的强调，值大，噪声熵Hn对总量H的贡献也大，对噪声的平滑要求加强，结果对噪声的平滑作用要远远超过对图像的平滑，以免对图像过分平滑。最大的噪声负值58DigitalImageProcessing在用拉各朗日法对（5.132）式求极值的过程中还要增加具体的约束条件。第一个约束：图像的灰度值之和为一常数

(5.133)第二个约束：降质图像g(p,q)为h(p,q)和原