工程力学第五章 空间力系

第三章空间力系§3-1 回顾

1、力在直角坐标轴上的投影

xyzXiZiYiFiXiZiYiFiX=FsinγcosφY=FsinγsinφZ=Fcosγβαγφxyzγ

X=FcosαY=Fcosβ

Z=Fcosγ2、力的分解3、空间力偶（F,F’)的力偶矩矢力偶矩矢的三要素：

大小、方位和转向ndFF’BAMnMM为自由矢M为自由矢M为自由矢M为自由矢O就是力偶矩的大小。可见，与矩心无关。如图力偶（F，F’）对O点的矩为：4、汇交力系、力偶系的合成与平衡

合成结果：

R=ΣFi，M=ΣMi

平衡条件

ΣFi

=0，ΣMi=0§3-2力对点的矩和力对轴的矩

1.回顾力对点的矩

力F

对点O的矩的矢量MO(F

)，大小为：|MO(F)|=Fh=2△OAB式中△OAB为图中阴影部分的面积。

MO(F)=r×F力对点的矩矢等于矩心到力的作用点的矢径与该力的的矢量积。nhrFOABzxyMO(F)力对点的矩矢为定位矢量若以O

点为原点,令

i、j、k分别为坐标轴

x、y、z

方向的单位矢量，设力在三坐标轴的投影为

X、Y、Z，则有

r=xi+yj+zk F=Xi+Yj+Zk=(yZ

－zY)i+(zX

－xZ)j+(xY

－yX)k2.力对轴的矩为了度量力对绕定轴转动的物体作用效果，必须了解力对轴的矩。以一个门为例：门上作用一个力F假定门绕z

轴旋转将力F

向z

轴和xy

面分解成两个分力Fz

和Fxy，显然力Fxy

使门绕z

轴旋转。FFxyFzzxyOz力对轴的矩之定义 力对轴的矩是力使刚体绕该轴转动效果的度量，是一个代数量，其绝对值等于该力在垂直于该轴的平面上的投影对于此平面与该轴的交点的矩的大小。顶着坐标轴看力使物体绕轴逆时针旋转为正。FFxyFzABh即

Mz(F

)=MO(

Fxy)=±

Fxyh=±2△OAB力对轴的矩等于零的情形：①力与轴相交(h=0)②力与轴平行(Fxy=0)一句话:只要力与轴在同一平面内,力对轴的矩等于零。FxyFxyFzFxyFxyFzFxy力对轴的矩之解析表达式设空间中有一个力FyxyxOzXYFxyXYZFA(x,y,z)力作用点A的坐标为x，y，z;力F

在三坐标轴的投影分别为X，Y，Z;A(x,y,z)A(x,y,z)根据合力矩定理，得Mz(F)=M

O(Fxy)=MO(X)+MO(Y)=xY

－yX将上式与按同类方法求得的其他两式合并写成：M

x

(F)=yZ－zY

My

(F)=zX－xZM

z(F)=xY－yXXYZXYZ手柄ABCE在平面Axy内，在D处作用一个力F，它垂直y轴，偏离铅垂线的角度为α，若CD=a，BC∥x轴，CE∥y轴，AB=BC=l。求力F对x、y和z三轴的矩。例3-1CDEAxzyαFB显然，

Fx=Fsinα

Fz

=Fcosα由合力矩定理可得：CDEAxzyαFB解法1将力F沿坐标轴分解为Fx

和Fz。FxFzMx(F)=M

x(Fz

)=-F

z(AB+CD)=-F(l+a)cosαM

y(F)=M

y(Fz)=-F

z(BC)=-FlcosαM

z(F

)=M

z(Fx)=-F

x(AB+CD)=-F(l+a)sinαFxFzFxFz解法2直接套用力对轴之矩的解析表达式：力在x、y、z轴的投影为X=FsinαY=0Z=-F

cosαCDEAxzyαFBFxFzM

x(F)=yZ

－zY=(l+a)(-Fcosα)-0=-F(l+a)cosαM

y

(

F)=zX

－xZ=0-(-l)(-Fcosα)=-FlcosαM

z

(F)=xY

－yX=0-(l+a)(Fsinα)=-F(l+a)sinα3.力对点的矩和力对轴的矩的关系力对点的矩矢量可以写成：可得

[MO(

F)]x

=Mx(F)[MO(

F)]y

=M

y

(F)[MO(

F)]z

=M

z(F)MO(

F)=[MO(

F)]x

i

+[MO(

F)]y

j+[MO(

F)]z

k=(yZ

－zY)i+(zX

－

xZ)j+(xY

－yX)k

而

Mx(F)=yZ

－zY

M

y(

F)=zX

－xZ

M

z

(F)=xY

－yX

结论：力对点的矩矢在通过该点的某轴上的投影，等于力对该轴的矩。力对点的矩和力对轴的矩的关系（续）如果力对通过O点的直角坐标轴x、y、z的矩是已知的，则力对点O的矩的大小和方向余弦为：图中力F的大小为10kN，求的力F在x、y、z三坐标轴的投影，以及对三坐标轴的矩和对O点的矩。(长度单位为m)OxyzA(4,9,5)534例3-2Fijk解：1、先求F的三个方向余弦FF见后续2、求力的投影（F

=10kN）例3-2（续1）OxyzA(4,9,5)534FijkFF已算得：见后续（求力对轴的矩也完全可以先将力F分解为三个分力，再由合力矩定理分别求出力对轴的矩）例4-2（续4）4、求力F对O点的矩由

MO(F)=Mx

i+My

j+Mz

k

得：也可以按如下方法求解：§4-3空间力系向一点简化

O点称为简化中心；R’=F1’+F2’+F3’;M

=M1+M2+M3;对于力的数目为n

的空间任意力系，推广为：——

力系的主矢——

力系对简化中心的主矩仍设物体上只作用三个力F1、F2

和F3，它们组成空间任意力系，在空间内任意取一O

点，分别将三力向此点简化。右击三按钮功能相同结论空间任意力系向一点简化，可得一力和一个力偶。这个力的大小和方向等于该力系的主矢，作用线通过简化中心O；这个力偶的矩矢等于该力系对简化中心的主矩矢。主矢与简化中心无关；主矩一般情况下与简化中心的位置有关。合力矩定理R=∑Fi

，d=|MO|/R∵力偶（R，R’’）的矩MO等于R对O点的矩，即

MO

=MO(R)，而又有MO=∑MO(F)∴得关系式 MO(R)=∑MO(F)即：空间任意力系的合力对于任意一点的矩等于各分力对同一点的矩的矢量和。将上式向任意轴投影（如z

轴）得：

Mz

(R)=∑M

z(F

)OdOdOMOR’R’RR”RMOMOMO主矢R’≠0；主矩MO≠0且MO与R’即不平行也不正交

。M”O=MOsinα；M’O=MOcosα

M’O和R’组成力螺旋，其中心轴距O点的距离为：OOOαR’MOR’R’M”OM’OM’OdMOMOMO4、空间力系简化为平衡的情形主矢R’=0；主矩M

O=0

§4-5空间力系的平衡方程空间力系平衡的充分必要条件：所有力在三个坐标轴中的每一个轴上的投影的代数和等于零，以及这些力对于每一个坐标轴的矩的代数和也为零。除了上述的基本方程，还有所谓的4力矩、5力矩和6力矩式。由：得：几种特殊情形平衡规律[Ⅰ] 汇交力系∵所有的力矩方程恒等于0∴汇交力系有三个平衡方程：

∑X=0，∑Y=0，∑Z=0[Ⅱ] 平行力系（假定力的作用线平行z轴） ∵∑X≡0，∑Y≡0，∑Mz≡0 ∴平行力系有三个平衡方程：

∑Z=0，∑M

x

=0，∑M

y

=0[Ⅲ] 平面一般力系（假定力的作用面为Oxy面）∵∑Z≡0，∑Mx

≡0，∑My

≡0∴平面一般力系有三个平衡方程：

∑X=0，∑Y=0，∑M

z=0§4-6空间约束的类型及其约束反力约束反力未知量约束类型AFAAFAzFAyA径向轴承圆柱铰链铁轨蝶铰链空间约束的类型及其约束反力(2)约束反力未知量约束类型AFAyFAxFAzAFAyFAxFAzMAyMAzFAyFAzAMAy球形铰链止推轴承导向轴承万向接头空间约束的类型及其约束反力(3)约束反力未知量约束类型AFAyFAxFAzMAyMAzMAxAFAyFAxFAzMAzMAxFAyFAzMAzMAxAMAy带有销子的夹板导轨空间的固定端支座§4-7空间力系平衡问题举例例4-3均质长方形薄板重W=200N，用球形铰链A和蝶形铰链B固定在墙上，并用二力杆EC将板维持水平。求EC杆的拉力和铰链的反力。WZBXBZAYAXAT解：受力分析如图CADBabyxzE30°60°ZAYAXAZAYAXAZBXBTZBXBT空间任意力系的平衡方程有六个，所以对于空间任意力系作用下平衡的物体，只能求解六个未知量。本节基本目的：①受力分析②平衡方程的建立③解题技巧例4-3(续）∑X=0，XA+XB－Tcos30ºsin30º=0∑Y=0，YA

－Tcos30ºcos30º=0∑Z=0，ZA

+ZB－W+Tsin30º=0WZBXBZAYAXATCADBabyxzE30°60°ZAYAXAZAYAXAZAYAXAZBXBTZBXBTZBXBT∑Mz

(F

)=0，X

B·

a=0∑Mx

(F)=0，Z

B·a+Tsin30°·a

－

W·a/2=0∑My

(F

)=0，W·b/2－

Tsin30

°

·b

=0

解之得：XA=86.6N，YA=150N，ZA

=100N

X

B

=0，ZB=0，T=200NW=200N图示三轮小车，自重P=8kN，作用于点E，载荷P1=10N，作用于点C。求小车静止时地面对车轮的反力。例4-4P1PFBFAFD解：以小车为研究对象，受力分析如图FBFAFDFBFAFD0.2mB0.6m0.6m1.2m2mED0.2mACP10.2mB0.6m0.6m1.2m2mED0.2mACFBFDFBFDFBFDFBFDP例4-4(续）zxyO∑M

x

(F)=0，2FD

－1.2P

－0.2P1=0FD=5.8kN∑My

(F)=0，1.2FB

－0.8P1－0.6P+0.6FD=0FB

=7.8kN∑Z=0，

FA+FB

+FD

－P1

－P=0FA=4.4kN适当地选择坐标轴对简化计算非常重要。FAFAFAFA选取坐标轴如图在图中，皮带的拉力F2=2F1，曲柄上作用有铅垂力F=2000N。已知皮带轮的直径

D=400mm，曲柄长R=300mm，α=30º，β=60º。求皮带拉力和轴承反力。例4-5200mm200mm200mmDRFF2βF1αAB例4-5(2)

(α=30º，β=60º)解:选坐标轴如图∑X=0，F1sin30º+F2sin60º+XA+XB=0∑Y=0，0=0∑Z=0，ZA+ZB-F-

F1cos30º-F2cos60º=0zyxzxFRDβαF2F1ZAXAZBXBF2F1FZAXAZBXBZAXAZBXBZAXAZBXB以整个轴为对象，受力分析如图200mm200mmαβ200mmAB(α=30º，β=60º)解:选坐标轴如图∑M

x

(F)=0，400ZB-200F+200F1cos30º+200F2cos60º=0∑M

y

(F)=0，F·R-(F2-F1)·D/2=0∑M

z(F)=0，200F1sin30º+200F2sin60º-400XB=0又有：F2=2F1(由于∑Y≡0，所以只有在题设条件下可解）解得：F1=3000N，F2=6000N，

XA=-1004N，ZA=9397N，XB

=3348N，ZB

=-1700NzyxzxFRDβαF2F1ZAXAZBXBF2F1FZAXAZBXBZAXAZBXBZAXAZBXB200mm200mmαβ200mmABα=30º，β=60º例4-5(3)水平均质板重P，6根直杆用球铰将板和地面连接，结构如图。求由板重引起得各杆内力。例4-6解：给各杆编号①②③④⑤⑥受力分析，假定各杆均受拉力S1S2S3S4S5S6S1S2S3S4S5S6S1S2S3S4S5S6S1S2S3S4S5S6∑MAB=0∑MAE

=0S5=0∑MAC=0S4=0∑MBF

=0S1=0∑MEG=0S3=0∑MFG=0PaBHbADCFGE§4-8重心1.重心的概念及其坐标公式

重力是一个分布力系，可足够精确地视为空间平行力系。一般所谓重力，就是空间平行力系地合力。可以证明不变形的物体（刚体）在地表面无论怎样放置，其平行分布重力的合力作用线都通过此物体上的一个确定的点，这一点称为物体的重心重心的坐标公式为了求坐标

zC，将物体连同直角坐标系Oxyz

一起绕x轴逆时针旋转90°重力的方向并无改变对有x轴取矩，有PzC

=(P1z1+P2z2+…+Pnzn)=∑Pizi△ViMiCPPiyizixizCxCyCxzyOxzyO△ViMiCPiPzizC体积的重心如果物体是均质的，单位体积的重量为γ=常量，以△Vi表示微小体积，物体总体积为V=∑△Vi。将

Pi=γ△Vi代入重心公式，得上式的极限为体积重心与比重无关，只与物体的体积有关面积的重心工程中常采用薄壳结构，其厚度与其表面积S相比是很小的，若薄壳均质等厚的，则重心公式为PPiyizixizCxCyCxzyOCds线段的重心如果物体是均质等截面的细长线段，其截面尺寸与其长度l相比是很小的，则重心公式为yizixizCxCyCxzyOPPiC重心公式（1）重心公式（2）重心公式（3）重心公式（4）2.确定重心的常用方法当物体具有对称轴、对称面或对称中心时，它的重心一定在对称轴、对称面或对称中心上。对于几何形状较复杂的均质物体，往往采用分割法和负面积法分割法负面积法3.确定重心的常用实验方法实验方法多种多样，但最常见的是悬挂法。CCCC称重法为了确定具有对称轴的图示连杆的重心xC，线先称出连杆重量

P

。然后将其一端支承于A点，另一端放在磅称B上，测得两点的水平距离

l及

B

处的约束反力FB,假定为

G,

由∑MA(F)=0，PxC

－FB

l=0本章小结1、力在直角坐标轴上的投影

X=FsinγcosφY=FsinβsinφZ=FcosγXiZiYiFiφxyz