数值分析第二章复习与思考题

第二章复习与思考题1.什么是拉格朗日插值基函数？它们是如何构造的？有何重要性质？答：若n次多项式lj(X)(j=0,1，…,n)在n+1个节点x0＜气＜•••＜x上满足条件<1,k=j,[0,k。j,j,k=0,1,…,n,则称这n<1,k=j,[0,k。j,j,k=0,1,…,n,则称这n+1个n次多项式l(X)l(x)…,l(x)为节点x,x，…,x上的n次拉格朗日插值0 1 n 0 1 n基函数.以lkG)为例，由lkG)所满足的条件以及lkG)为n次多项式，可设lk(x)"G-x)…(x-x)x-x)…(x-x)，

0 k-1 k+1 n其中A为常数，利用lk«)=1得1=A(xk-x)…(x-xK-x)…(x-x)，

0k k-1 k k+1 kn、/ 1/ 、/ 、,-x)—(x-x~)x-x~)…C-x)，k0k k-1 k k+1 kn7/、(x-x)—(x-xK-x)—(x-x)nl(x)=( )~( k_1Vk+^~(—n~~)=nk vx一x)—(x一x)(x一x)—(x一x)k k-1k k+1 knk-x0x一x jj=0x*jj丰k对于l(x)(i=0,1，…,n)i有不xkl(x)=xkk=0,1,—,n，iii=0特别当k=0时，有乎l(x)=1.ii=02.什么是牛顿基函数？它与单项式基｛x,…,xn｝有何不同?基函数答：称£,x-x,(x-x)x-x)…,(x-x)…(x-x)｝为节点x,x，…,x上的牛顿0 0 1 0 n-1 01 n利用牛顿基函数，节点x,x，…,x上的n次牛顿插值多项式PG)可以表示为01 n nP(x)=a+a(x-x) +a(x-x)…(x-x)n 0 1 0 n 0 n-1=fR,气,…,xk1k=0,1,…,n.与拉格朗日插值多项式不同，牛顿插值基函数在增其中ak加节点时可以通过递推逐步得到高次的插值多项式，例如P(x)=P(x)+a(x-x)…(x-x)

k+1 k k+1 0 kTOC\o"1-5"\h\z其中a是节点x,x,…,x上的k+1阶差商，这一点要比使用单项式基1,X,…,xnk+1 01 k+1得多.什么是函数的n阶均差？它有何重要性质？答：称ftx,x]=fGjfG0)为函数f(x)关于点x,x的一阶均差，0k x-x 0kf\x,x]-f\x,x]」= —J0，1为f(x)的二阶均差.一般地，称x一x」 1ftx，…,x,x]-ftx,x，…,x] (),,f|x,x，…x」=0 n-2_n0~1 n-^为f板)的n阶均差.01n x一x均差具有如下基本性质:n阶均差可以表示为函数值f烦)fGJ…,f«)的线性组合，即fLx...x]—歹r、r f\j 、01n ^^^^x^^一xJ—0j0j j-1j j+1 jn该性质说明均差与节点的排列次序无关，即均差具有对称性.J ]f|x,x，…,x]-f|x,x,…,x]TOC\o"1-5"\h\zfLx,x，…x-I— 1_2 n 0_1 n-^.01n x-x⑶若f(x)在a,b]上存在n阶导数且节点x,x,…,xg⑶若f(x)在a,b]上存在n阶导数导数的关系为fL,x,.x]—f顷)，&gCz,b].01n n!写出n+1个点的拉格朗日插值多项式与牛顿均差插值多项式，它们有何异同?答：给定区间侦b]上n+1个点a<x<x<…<x<b上的函数值y,—f(xi)(i—0,1,…,n)，则这n+1个节点上的拉格朗日插值多项式为L(x)-^y"(x),k—0其中i其中i(x)—rfx-xj—0VkXjyjNk这n+1个节点上的牛顿插值多项式为P(x)=a+a(x-x) FaG-x).••G-x),n 0 1 0 n 0 n-1其中a=flx,x，…,x],k=0,1,…,n为fG)在点x,x,…，x上的k阶均差.k 0 1k 0 1k由插值多项式的唯一性，、（x）与P（x）是相同的多项式，其差别只是使用的基底不同，牛顿插值多项式具有承袭性，当增加节点时只需增加一项，前面的工作依然有效，因而牛顿插值比较方便，而拉格朗日插值没有这个优点.插值多项式的确定相当于求解线性方程组Ax=y，其中系数矩阵A与使用的基函数有关.y包含的是要满足的函数值（y0,七,…,yn>.用下列基底作多项式插值时，试描述矩阵A中非零元素的分布.（1）单项式基底；（2）拉格朗日基底；（3）牛顿基底.答：（1）若使用单项式基底，则设P（x）=a+ax+…+axn，其中a,a,…,a为待TOC\o"1-5"\h\zn 0 1 n 0 1 n定系数，利用插值条件，有f.a+ax+ +axn=y0 10 n0 0a+ax+ +axn=y<0 11 n1 1，a+ax+ +axn=y0 1n nnn因此，求解Ax=y的系数矩阵A为1 x ..•xn0 01 x•xnA= 1 11x•-xnnn为范德蒙德矩阵.(2)若使用拉格朗日基底，则设L(x)=al(x)+al(x)+…+al(x)，其中lG)为n 00 11 nn k拉格朗日插值基函数，利用插值条件，有al(x)+al(x) +al(x)=y00/0、11/0、 nn/0、0alG)+alG) +alG)=y001111 nn1 1 [al(x)+al(x)+•+al(x)=y00n11n nnnn由拉格朗日插值基函数性质，求解Ax=y的系数矩阵A为

为单位矩阵.(3)若使用牛顿基底为单位矩阵.(3)若使用牛顿基底则设P(x)=a+a(x一x) +a(x一x)…(x一x)，由插n 0 1 0 n 0 n-1值条件a+a(x-x) +a(x-x)...(x-x)=yTOC\o"1-5"\h\z0 1/0 0、 n/0 0、 /0 n-1\ 0a+aG-x) +aG-x)—G-x)=y0 1 1 0 n1 0 1 n-1 1a+a(x-x) +a(x-x)...(x-x)=y0 1n0 nn0 nn-1nan-x)=yV0 110 1(x-x) +a(x-x)..•(¥-x )=ynn0 n n-1 n故求解Ax=y的系数矩阵A为x-x (x-x)x-x)...(x-x)x-x)...(x-x)n0n0n1 n0n1 n n-1-为下三角矩阵.用上题给出的三种不同基底构造插值多项式的方法确定基函数系数，试按工作量由低到高给出排序.答：若用上述三种构造插值多项式的方法确定基函数系数，则工作量由低到高分别为拉格朗日基底，牛顿基底，单项式基底.给出插值多项式的余项表达式，如何用它估计截断误差？答：设f(n)(x)在a,b\上连续，f如)。在(a,b)内存在，节点a<x<x<•••<x<b，LG)是满足条件L(x)=y,j=0,1，…,n的插值多项式，则0 1 n n njj对任何xga,混，插值余项R(x)=fGf 气+1⑴，这里&G(a,^)且与x有关，w(x)=(x-x)(x-x)…(x-x).n+1 0 1 n若有max|f(n+i)G)=M+1，则LG)逼近fG)的截断误差a<x<b^nGk扁"n+1Q-埃尔米特插值与一般函数插值区别是什么？什么是泰勒多项式？它是什么条件下的插值多项式？答：一般函数插值要求插值多项式与被插函数在插值节点上函数值相等，而埃尔米特插值除此之外还要求在节点上的一阶导数值甚至高阶导数值也相等称pn(x)=fGo)+f，G°)X-xo)+...+十G-为fG)在点xo的泰勒插值多项式，泰勒插值是一个埃尔米特插值，插值条件为Pu)G)=f(k)G)k=0,1,•••,n，n0 0泰勒插值实际上是牛顿插值的极限形式，是只在一点xo处给出n+1个插值条件得到的n次埃尔米特插值多项式.为什么高次多项式插值不能令人满意？分段低次插值与单个高次多项式插值相比有何优点？答：对于任意的插值结点，当n-8时，LG)不一定收敛于fG)，如对龙格函数做n高次插值时就会出现振荡现象，因而插值多项式的次数升高后，插值效果并不一定能令人满意.分段低次插值是将插值区间分成若干个小区间，在每个小区间上进行低次插值，这样在整个插值区间，插值多项式为分段低次多项式，可以避免单个高次插值的振荡现象三次样条插值与三次分段埃尔米特插值有何区别？哪一个更优越？请说明理由.答：三次样条插值要求插值函数s(x)gC2a,b］，且在每个小区间Lj.,x++1］上是三次多项式，插值条件为s，)=七,j=0,1,,n.三次分段埃尔米特插值多项式ihG)是插值区间a,。］上的分段三次多项式，且满足ihg)gc1a,b］，插值条件为I(x)=f(x)，I'(x)=f,(x),(k=0,1，…,n).hk khk k分段三次埃尔米特插值多项式不仅要使用被插函数在节点处的函数值，而且还需要节点处的导数值，且插值多项式在插值区间是一次连续可微的.三次样条函数只需给出节点处的函数值，但插值多项式的光滑性较高，在插值区间上二次连续可微，所以相比之下，三次样条插值更优越一些.确定n+1个节点的三次样条插值函数需要多少个参数？为确定这些参数，需加上什么条件？答：由于三次样条函数sG)在每个小区间上是三次多项式，所以在每个小区间X,七书］上要确定4个待定参数，n+1个节点共有n个小区间，故应确定4n个参数，而根据插值条件，只有4n-2个条件，因此还需要加上2个条件，通常可在区间la,混的端点a=x0，b=x&上各加一个边界条件，常用的边界条件有3种：已知两端的一阶导数值，即Sf(x)=ff，Sf(x)=ff.0 0 nn已知两端的二阶导数值，即Sff(x)=f，S"(x)=f,00 nn特殊情况为自然边界条件S”(x)=0，S"(x)=0.0n当fG)是以x.-x0为周期的周期函数时，要求SG)也是周期函数，这时边界条件就满足S(x+0)=S(x-0)，S'00+0)=S,(x—0)，S"G0+0)=S"(x-0)这时S(x)称为周期样条函数.判断下列命题是否正确？对给定的数据作插值，插值函数个数可以任意多.如果给定点集的多项式插值是唯一的，则其多项式表达式也是唯一的.#=0,1,…,n)是关于节点x〔(i=0,1,…,n)的拉格朗日插值基函数，则对任何次数不大于n的多项式P(x)都有况l(x)P(x)=P(x)i ii=0当f(x)为连续函数，节点x,(i=0,1,…,n)为等距节点，构造拉格朗日插值多项式LG)，则n越大L(x)越接