北邮线性代数期末练习试卷

一. 1x 1x x x1x 1AB均为n阶方阵

A(,2,3,4B,2,3,4,其中,2,3,4均为维列向量,且|A|4,|B|1,则|AB 设A,B均为n阶方阵,|A|2,|B|3|,则|A1B*A*B1 xcy三个平面yazcx过同一条直线的充要条件 zbx已知向量组1(1,1,2,4),2(0,3,1,2),3(3,0,7,a),4(1,2,2,0)线性相关,则a 向量(1,3,0)在基1(1,0,1),2(0,1,0),3(1,2,2)下的坐标 2设A 3,3阶方阵B0,若AB0,则t |B 设4阶矩阵A满足|3EA|0,AAT2E,|A|0,则A的伴随矩阵A的一个特征值 0 若3阶矩阵A与 0相似,则r(AE) 三元二次型f(x,x,x)(xx)2(xx)2(xx)2的正惯性指数p x x1x x1 x1 xxxx1二.计算nD5 0三.已知A1 3,求|A|,A1,(A*)1 四.设向量a2,10)T,2,1,5)T,1,14)T1a abc满足什么条件时可由1,2,3线性表出,且表达法唯一不能由1,2,3线性表出可由1,2,3线性表出,但表示法不唯一?并求出一般表达式.五.设有向量组

,试问:1(1,2,a3),2(2,1,a6),3(2,1,a4)试问:当a为何值时,向量组(Ⅰ)与(Ⅱ)等价?当a为何值时,向量组(Ⅰ)与(Ⅱ)不等价?六.求一个齐次线性方程组,使它的基础解系为(0,1,2,3)T,(3,2,1,0)T 七.设矩阵A 2与 相似,求x,y;并求一个正交矩阵P 1 y P1AP 2八.fxxx)4x23x23x22xx为标准形.九.A是n阶方阵,AE可逆,fA) 2证明(1)[Ef(A)][EA]2E (2)f[f(A)]1[(EA)(EA)]2 1x x x1x 1

.x

AB均为n阶方阵

A(,2,3,4B,2,3,4,其中,2,3,4均为维列向量,且|A|4,|B|1,则|AB 设A,B均为n阶方阵,|A|2,|B|3|,则|A1B*A*B1 xcy

(1)n16三个平面yazcx过同一条直线的充要条件 zbxa2b2c22abc

已知向量组1(1,1,2,4),2(0,3,1,2),3(3,0,7,a),4(1,2,2,0)线性相关,则a .14向量(1,3,0)在基1(1,0,1),2(0,1,0),3(1,2,2)下的坐标 (2,5, 2设A 3,3阶方阵B0,若AB0,则t |B t2,|B|设4A满足|3EA|0AAT2E,|A|0,AA .3 0 若3阶矩阵A与 0相似,则r(AE) 三元二次型f(x,x,x)(xx)2(xx)2(xx)2的正惯性指数p 负惯性指数q ,秩r p2,q0,r二.计算nD5xxx1xx1 xxxx1解利用加边法1xxxx0x1xxxx0xxxx0xx1xx0xxx1x0xxxx11行乘一1后,加到其它各行上去,

1x2x D5 1 0

1 1[1n(n1)x]

1 0三.已知A1 3,求|A|,A1,(A*)1 3 解

|A|122

31 0

A1 6 2(3)

AA*|A|E1E4AA*E,4 0(A*)14A 6 四.设向量a2,10)T,2,1,5)T,1,14)T1a

,试问:abc满足什么条件时可由1,2,3线性表出,且表达法唯一不能由1,2,3线性表出可由1,2,3线性表出,但表示法不唯一?并求出一般表达式解 可由

,

0

a4a当a4时,

1 b 2b1

c

c3b10时,AA,方程组(1)无解,不能由,,线性表出 a

a4c3b10时,AA23,方程组(1)有无穷多解,达法不唯一由(2)知,方程组(1)2x1x2x3

2bx1kx22kb1x32b1,k1(2kb1)2(2b五.1(1,2,a3),2(2,1,a6),3(2,1,a4)试问:当a为何值时,向量组(Ⅰ)与(Ⅱ)等价?当a为何值时,向量组(Ⅰ)与(Ⅱ)不等价?解作初等变换,有 2(,,|,,) a a a a4 1 1 a a1 a a

a1,|1,2,3|a10r(1,2,3)

,x11x22x33i(i12,3均有惟一解,123可由向量组(同样

|123|60r(123)3,故1,2,3可由向量组(Ⅱ)线性表出当a1时, 1(,,|,,) 1 2 r(1,2,3r(1,2,31,x11x22x331无解,不能由1,2,3线性表出,因此,向量组(Ⅰ)与(Ⅱ)不等价.六.求一个齐次线性方程组,使它的基础解系为(0,1,2,3)T,(3,2,1,0)T 解 2

B

, 1

BT

0BTy0,(1,2,1,0)T,(2,3,A

0,Ax0的一个基础解系为, 1 七.设矩阵A 2与 相似,求x,y;并求一个正交矩阵P 1 y P1AP解A与相似,所以|AE||E|A的特征值为54y,54y1x 5(4)y解得x4y 于 A , 1 对于125,解方程组A5E)x0. 1 2 得基础解系120)T

10,1)T,p(1,2,0)T [,p Tp22 1p1 单位化得对应于125的单位正交特征向

q1 5,5,0,q1 对于24,解方程组A4E)x0.

2

5

212得基础解系(2,1,2)T,从而对应于4的单位特征向量为q ,

, 255

333

P(q1,

1 2

P1AP. 八.用正交变换化二次型f(x,x,x)4x23x2 0 解f的矩阵A 1 4 A的特征多项式|AE

3

(2)(4)2A

312,234当2时,由A2E)x0解得对应于2p(0,11)T 234时,由A4E)x0A的属于特征值234

p(1,0,0)T,

p1p2p3已正交,故只需将它们单位化,12q p (0,1,1)T,q 12

p(1,0,0)T |p|

|p| q3

p3|p33

12 12 012121212Q(q,q,q) 12121212 则Q为正交矩阵,经正交XQY,f化为fxxx2y24y 九.A是n阶方阵,AE可逆,fAEA)(EA)1证