2021-2022学年北京市高二年级下册学期期末数学试题【含答案】

2021-2022学年北京市第二中学高二下学期期末数学试题一、单选题1．已知椭圆与双曲线焦点相同，且椭圆上任意一点到两焦点距离和为10，则椭圆的短轴长为（

）A．3 B．6 C． D．【答案】B【分析】根据条件求出，,应用关系计算即可．【详解】因为椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为10，所以，即，因为椭圆与双曲线的焦点相同，，即，，则椭圆的短轴长为．故选：．2．等差数列的前项和为，已知，则（

）A．9 B．45 C．81 D．162【答案】C【分析】根据等差数列求和公式及等差中项性质即可求值．【详解】因为等差数列中，所以．故选：C．3．若数列的前项和，则等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据给定条件，利用数列的前项和求出该数列的通项，再利用裂项相消法求和作答.【详解】当时，，而满足上式，则，因此，所以.故选：A4．椭圆的焦距为4，则的值为（

）A．或 B．或 C． D．【答案】D【分析】先把椭圆化为标准形式，分焦点在，轴上两种情况进行分类讨论，能求出的值．【详解】由椭圆化为标准形式得：，且椭圆的焦距，当椭圆焦点在轴上时，，，则由，所以，此时方程为：不是椭圆，所以不满足题意，当椭圆焦点在轴上时，，，，解得，此时方程为：，满足题意综上所述，的值为．故选：D．5．已知公比为的等比数列前项和为，则“”是“为递增数列”的（

）条件A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要【答案】D【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合等比数列的性质即可得到结论.【详解】解：①在等比数列中，若时，，当时，，则，此时为递减数列，即充分性不成立；②若“为递增数列”，即时，，则有，而并不能推得，如，故必要性不成立，故“”是“为递增数列”的既不充分也不必要条件，故选：D.6．已知函数在处有极值10，则（

）A．0或－7 B．0 C．－7 D．1或－6【答案】C【分析】求出，由，可得．【详解】解：由，得，，即，解得或（经检验应舍去），，故选：C．7．双曲线的渐近线与抛物线相切，则该双曲线的离心率等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】将双曲线渐近线方程代入抛物线方程，由可求得，根据可求得结果.【详解】由双曲线方程可得其渐近线方程为：，将代入抛物线方程得：，，解得：，双曲线的离心率.故选：A.8．函数，正确的命题是A．值域为 B．在是增函数C．有两个不同的零点 D．过点的切线有两条【答案】B【分析】利用导数研究函数值域、单调性、零点与切线.【详解】因为，所以，因此当时在上是增函数，即在上是增函数；当时在上是减函数，因此；值域不为R;当时,当时只有一个零点，即只有一个零点；设切点为，则，所以过点的切线只有一条；综上选B.【点睛】本题考查利用导数研究函数值域、单调性、零点与切线，考查基本分析求解能力，属中档题.9．，是抛物线上的两个动点，为坐标原点，当时，的最小值为（

）A． B．4 C．8 D．64【答案】C【分析】联立直线，的方程和抛物线方程，求出点，的坐标，再求出，，根据基本不等式即可求出最小值．【详解】解：设直线的方程为，，，直线的方程为，由，解得，即，，则，由，解得，即，则，，当且仅当时取等号，的最小值为8．故选：C．10．设函数，，若曲线上存在一点，使得点关于原点的对称点在曲线上，则（

）A．有最小值 B．有最小值C．有最大值 D．有最大值【答案】A【分析】设，则点关于原点的对称点为，则，即有解，即可得出答案．【详解】设，则点关于原点的对称点为，所以，因为存在这样的点使得点关于原点的对称点在曲线上，所以有解，所以，所以，令，所以在处取得最小值，且，令，，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以在取得最大值，因为方程有解，所以，即，所以，所以的最小值为．故选：A．二、填空题11．已知二项式，则__．【答案】【分析】根据二项展开式，利用赋值法，即可解出．【详解】解：令得，①，令得，②①②得，．故答案为：．12．已知点是抛物线上的动点，点在轴上的射影是，点，则的最小值为_____．【答案】##4.5【分析】先根据抛物线方程求得焦点和准线方程，可把问题转化为到准线与到点距离之和最小，进而根据抛物线的定义可知抛物线中到准线的距离等于到焦点的距离，进而推断出、、三点共线时距离之和最小，利用两点间距离公式求得，则可求．【详解】解：依题意可知，抛物线即抛物线焦点为，准线方程为，只需直接考虑到准线与到点距离之和最小即可，（因为轴与准线间距离为定值不会影响讨论结果），如图所示：由于在抛物线中到准线的距离等于到焦点的距离，此时问题进一步转化为距离之和最小即可为曲线焦点），显然当、、三点共线时距离之和最小，为，由两点间距离公式得，那么到的距离与到轴距离之和的最小值为．故答案为：．13．等差数列中，且，，成等比数列，数列前20项的和____【答案】200或330【分析】根据等差数列中，且，，成等比数列，列出关于首项、公差的方程，解方程可得与的值，再利用等差数列的求和公式可得结果.【详解】设数列的公差为，则，，由成等比数列，得，即，整理得，解得或，当时，；当时，，于是，故答案为200或330.【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式、等差数列的前项和公式，属于中档题.等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个基本量一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解.14．现有甲、乙、丙、丁在内的6名同学在比赛后合影留念，若甲、乙二人必须相邻，且丙、丁二人不能相邻，则符合要求的排列方法共有__种．（用数字作答）【答案】144【分析】根据题意，分2步进行分析：①将甲乙看成一个整体，与甲、乙、丙、丁之外的两人全排列，②排好后，有4个空位，在其中任选2个，安排丙、丁，由分步计数原理计算可得答案．【详解】根据题意，分2步进行分析：①将甲乙看成一个整体，与甲、乙、丙、丁之外的两人全排列，有种情况，②排好后，有4个空位，在其中任选2个，安排丙、丁，有种情况，则有种排法，故答案为：144．15．设函数图像上不同两点，处的切线的斜率分别是，规定，（为线段的长度）称为曲线在点与点之间的“弯曲度”，给出以下命题，其中所有真命题的序号为__．①函数图像上两点与的横坐标分别为1和，则；②存在这样的函数，其图像上任意不同两点之间的“弯曲度”为常数；③，是抛物线上任意不同的两点，都有；④曲线是自然对数的底数）上存在不同的两点，，使．【答案】①②③【分析】由新定义，利用导数逐一求出函数，在点与点之间的“弯曲度”判断①、③；举例说明②正确；求出曲线上两点，的“弯曲度”，然后结合不等式的性质，即可判断④．【详解】对于①：因为，所以，所以，，所以，故①正确；对于②：例如，，即曲线上任意一点，都有，所以为常数，故②正确；对于③：，，所以，因为，，所以，故③正确；对于④：，，，因为，为不同的两点，所以，所以，故④错误．故答案为：①②③．三、解答题16．已知数列为等差数列，各项为正的等比数列的前项和为，且，，_____．现有条件：①；②；③．(1)求数列的通项公式；(2)条件①②③中有一个不符合题干要求，请直接指出（无需过程）；(3)从剩余的两个条件中任选一个作为条件（在答题纸中注明你选择的条件），求数列的前项和．【答案】(1)(2)③(3)答案见解析【分析】（1）直接利用等差数列的性质，建立关系式，进一步求出数列的通项公式；（2）直接利用已知条件求出结果；（3）先算得公比为2，再利用分组法的应用求出数列的和．【详解】解：（1）由于数列为等差数列，各项为正的等比数列的前项和为，且，，故，整理得，；故；（2）选项③不符合题干，由于，，整理得，所以，与数列为等比数列相矛盾，故③错误．（3）选①时，，①，当时，整理得，解得；所以，当时，，②，①②得：（常数），故数列是以2为首项，2为公比的等比数列；故；选条件②时，；设等比数列的公比为，所以，解得舍去）；所以；故，所以．17．根据国家高考改革方案，普通高中学业水平等级性考试科目包括政治、历史、地理、物理、化学、生物6门，考生可根据报考高校要求和自身特长，从6门等级性考试科目中自主选择3门科目参加考试，在一个学生选择的三个科目中，若有两个或三个是文史类（政治、历史、地理）科目，则称这个学生选择科目是“偏文”的，若有两个或三个是理工类（物理、化学、生物）科目，则称这个学生选择科目是“偏理”的．为了了解同学们的选课意向，从北京二中高一年级中随机选取了20名同学（记为，，2，，19，20其中是男生，是女生），每位同学都各自独立的填写了拟选课程意向表，所选课程统计记录如表：学生科目政治111111111历史1111111111地理1111111111物理1111111111111化学111111111生物111111111(1)从上述20名同学中随机选取3名同学，求恰有2名同学选择科目是“偏理”的概率；(2)从北京二中高一年级中任选两位同学，以频率估计概率，记为“偏文”女生的人数，求的分布列和数学期望；(3)记随机变量，样本中男生的期望为，方差为；女生的期望为，方差为，试比较与；与的大小（只需写出结论）．【答案】(1)(2)分布列见解析，(3)，【分析】（1）根据表格计算出20人中偏理的人数，再利用古典概型的概率公式求解即可．（2）由表格可知取一名学生，这个学生是偏文女生的概率为，的所有可能取值为0，1，2，结合二项分布的概率公式求出相应的概率，得到的分布列，进而求出即可．（3）由男生中偏理有7人，偏文有3人，女生中偏理有4人，偏文有6人，可知，．【详解】（1）由表格可知，男生中偏理有7人，偏文有3人，女生中偏理有4人，偏文有6人，则偏理共有11人，偏文共有9人，设恰有2名同学选择科目是“偏理”为事件，则（A）．（2）由表格可知，抽取的20人中，偏文女生有6人，所以抽取一名学生，这个学生是偏文女生的概率为，则，1，2，，，，所以的分布列为：012．（3）男生中偏理有7人，偏文有3人，女生中偏理有4人，偏文有6人，则，，故，．18．已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)若函数在上有两个零点，求实数a的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】(1)利用导数的几何意义求出切线的斜率，再由点斜式求切线方程；(2)利用导数判断函数的单调性，数形结合即可得到答案.【详解】（1）由题意得，，则，又，故所求切线方程为y＝－7．（2）函数的定义域为，由（1）知，，注意到，当时，，单调递增；当时，，单调递减，∴函数的单调递增区间为，单调递减区间为，∴在x＝1时取得极大值．而，，则，即．作出函数在上的大致图象，由题意只需y=a与y=f(x)有两个交点观察图象可知，实数a的取值范围为．【点睛】利用导数分析函数的单调性，结合单调性作函数的图象，利用函数图象研究方程的解是问题解决的关键.19．已知椭圆的右焦点为，且经过点.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设O为原点，直线与椭圆C交于两个不同点P，Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N，若|OM|·|ON|=2，求证：直线l经过定点.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析.【分析】(Ⅰ)由题意确定a,b的值即可确定椭圆方程；(Ⅱ)设出直线方程，联立直线方程与椭圆方程确定OM,ON的表达式，结合韦达定理确定t的值即可证明直线恒过定点.【详解】（Ⅰ）因为椭圆的右焦点为，所以；因为椭圆经过点,所以，所以，故椭圆的方程为.（Ⅱ）设联立得，，，.直线，令得，即；同理可得.因为,所以；，解之得，所以直线方程为，所以直线恒过定点.【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．20．已知函数．（1）若函数在上是减函数，求实数的取值范围；（2）令，是否存在实数，使得当时，函数的最小值是3？若存在，求出实数的值；若不存在，说明理由；（3）当时，证明.【答案】（1）（2）存在，（3）见解析【分析】（1）先求导可得,则可将问题转化为在上恒成立,即在上恒成立,设,求得,即可求解；（2）先对求导,再分别讨论,,时的情况,由最小值为3,进而求解；（3）令,结合（2）中知的最小值为3.再令并求导,再由导函数在大于等于0可判断出函数在上单调递增,从而可求得最大值也为3,即有成,，即成立,即可得证.【详解】（1）解:在上恒成立,即在上恒成立,所以在上恒成立,设,则在上单调递减,所以所以（2）解:存在,假设存在实数,使有最小值3,①当时,,则在上单调递减,所以,解得（舍去）；②当时,当,则；当,则,所以在上单调递减,在上单调递增,∴,解得,满足条件；③当时,,则在上单调递减,所以,解得（舍去）,综上,存在实数,使得当时有最小值3.（3）证明:令,由（2）知,,令,则,当时,,则在上单调递增,∴∴,即．【点睛】本题考查利用导函数由函数单调性求参问题,考查利用导函数求最值问题,考查构造函数处理不等式恒成立的证明问题.21．已知数列，，，满足且，2，，，数列，，，满足，2，，，其中，，2，，表示，，，中与不相等的项的个数．(1)数列，1，2，3，4，请直接写出数列；(2)证明：，2，，(3)若数列A相邻两项均不相等，且与A为同一个数列，证明：，2，，．【答案】(1)1，1，3，4，5(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）根据新定义计算即可；（2）分类证明，时，；时，