理论力学 12 动量矩定理

12动量矩定理动量定理建立了作用力与动量变化之间的关系，揭示了质点系机械运动规律的一个侧面，而不是全貌。例如，圆轮绕质心转动时，无论它怎样转动，圆轮的动量始终是零，动量定理不能说明这种运动的规律。动量矩定理则是从另一个侧面，揭示出质点系相对于某一固定点或质心的运动规律。本章将推导动量矩定理并阐明其应用。12.1转动惯量、平行轴定理

12.1.1

转动惯量质点系的运动，不仅与作用在质点系上的力有关，还与质点系各质点的质量其及分布情况有关。质心是描述质点系质量分布的一个特征量，转动惯量(Momentofinertia)则是描述质点系质量分布的另一个特征量。刚体对轴

z

的转动惯量，是刚体内各质点的质量

mi与它到该轴的垂直距离

rzi

的平方的乘积之和，记作

Jz。（12-1）若刚体的质量是连续分布，则式（12-1）可用积分表示为：（12-2）积分号下标

M

表示积分范围遍及整个刚体。可见，转动惯量恒为正值，它的大小不仅和整个刚体的质量大小有关，而且还和刚体各部分的质量相对于转轴的分布情况有关。它是由刚体的质量，质量分布以及转轴位置这三个因素共同决定的，与刚体的运动状态无关。转动惯量单位是千克·米2(

k

g

·

m2)。刚体对某轴

z

的转动惯量

J

z与其质量

M

的比值的平方根为一个当量长度，称为刚体对该轴的回转半径(Radiusofgyration)，即：（12-3）注意：回转半径是在计算物体转动惯量时，假想地把物体全部质量集中到距轴为回转半径的某一质点上，且其转动惯量与物体的转动惯量相等。

12.1.2简单形状均质刚体的转动惯量根据式（12-2），则

O

A杆对

z

轴、y

轴的转动惯量为：（1）均质细直杆：如图12-1所示均质细直杆，质量为m，长为l，建立坐标系如图。在直杆上取长为

d

x

的微段，作为质点看待，其质量：（2）均质矩形薄板：质量为

m

，边长分别为

b

和

h

的均质矩形薄板，O

为形心，如图12-2所示。取一平行

x轴之细条，其宽度为

d

y

。该细条对

x

轴的转动惯量为：均质矩形薄板对

x

轴的转动惯量为：同理均质矩形薄板对

y

轴的转动惯量为：圆盘对z轴的转动惯量为：圆盘质量：（3）均质等厚圆盘：质量为

m

，半径为

R

均质等厚薄圆盘，如图12-3所示。将圆盘分为很多同心细圆环

，其中某细圆环的半径为

r

，宽度为

d

r。令圆盘单位面积的质量为r，则细圆环对过圆心O

且垂直于圆盘平面的

z

轴的转动惯量为：

12.1.3平行轴定理定理：刚体对于任一轴的转动惯量，等于刚体对于通过质心并与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离平方的乘积，即：（12-4）证明：设有一刚体，质量为

M

，z

轴通过质心

C

，轴与z轴平行且相距为

d

，取

x

、y

轴如图12-4所示。刚体内任一点

Mi的质量

m

i，它到

z

轴和轴的距离分别为

ri和。由转动惯量的定义知，刚体对于轴的转动惯量可表示为：

由质心坐标公式：例12-1复摆由一均质细杆及一均质圆球刚连而成，如图12-5所示。均质细杆质量为

m1，均质圆球质量为

m

2，半径为

r

。试计算摆对于通过

O

点并垂直于杆的

z

轴的转动惯量。解：以

Jz1和

J

z2分别表示杆与球对于

z

轴转动惯量，则摆对于

z

轴的转动惯量为两者之和，即：均质细杆对于

z

轴转动惯量为：均质圆球对于

z

轴转动惯量为：例12-2计算均质正圆锥体对其底圆直径的转动惯量。已知圆锥体质量为

M

，底圆半径为

R

，高为

h

，如图12-6所示。解：把圆锥体分成许多厚度为

d

z

的薄圆片，该薄圆片的质量为r为圆锥体的密度，r为薄圆片的半径。圆锥体的质量为薄圆片对自身直径的转动惯量为由几何关系知：薄圆片对

y

轴转动惯量

d

Jy为：整个圆锥体对于

y

轴的转动惯量为：12.2质点和质点系的动量矩如同力矩一样，质点和质点系的动量也可以取矩，描述质点和质点系的转动特征。动量矩(Momentofmomentum)和动量一样，也是度量物体机械运动的一种物理量。

12.2.1质点的动量矩设质点某瞬时的动量

m

v

，对固定点

O

的矢径为

r

，如图12-7所示。质点的动量对固定点O的矩为一矢量，定义为质点对固定点O

的动量矩(Momentofmomentumofaparticle)

，记为：即：（12-5）图12-7定义：动量

m

v

对各直角坐标轴之矩为：（12-6）质点对

O

点的动量矩在通过

O

点的任意轴上的投影，等于质点对该轴的动量矩。即：（12-7）l

为任意轴上的单位矢量。

12.2.2质点系的动量矩质点系内各质点对固定点

O

的动量矩的矢量和，称为质点系对点

O

的动量矩(Momentofmomentumofsystemofparticles)

，用

L

O表示，则有：（12-8）质点系对各坐标轴动量矩的表达式为：（12-9）质点系对

O

点的动量矩在通过

O

点的任意轴上的投影，等于质点系对该轴的动量矩。即：l

为任意轴上的单位矢量。（12-10）

12.2.3定轴转动刚体的动量矩动量矩的单位是牛·米·秒(

N

·

m

·

s

)。设刚体绕固定轴

z

转动，某瞬时刚体的角速度w，如图12-8所示。对于刚体内任一质点

Mi，其质量为

mi，转动半径为

r

i，动量

mi

v

i。于是质点

Mi对轴的动量矩为：

刚体对

z

轴的动量矩为：（12-11）定轴转动刚体对其转轴的动量矩，等于刚体对其转轴的转动惯量与角速度之乘积。Lz正负号与w正负号相同。例12-3如图12-9所示一复摆以角速度w绕

O

轴转动。已知均质杆

OA

长为

l

，质量为

m

1，均质圆盘

C

2的半径为

r

，质量为

m

2，试求复摆对

O

轴的动量矩。解：

J

O的计算：复摆对

O

轴的动量矩：例12-4如图12-10所示系统中，物块

A

、B

的质量分别为m

1、m

2，均质圆轮(视为圆盘)的半径为r，质量为

m

。绳与轮间无相对滑动，不计绳的质量。图示瞬时已知

A

块的速度为

v

，试求系统对转轴

O

的动量矩。解：物块

A

、B

与轮组成一质点系，质点系对转轴O的动量矩等于系内各物体对转轴动量矩的代数和。运动学分析：

动量矩计算：系统对转轴

O

的动量矩：12.3动量矩定理

12.3.1质点的动量矩定理动量矩定义：对时间求导数得：（12-12）表明：质点对固定点

O

的动量矩对时间的一阶导数等于作用力对同一点的主矩。式

(12-12)

称为质点的动量矩定理(Theoremsofmomentofmomentumofapartied)。将式

(12-12)

投影到固定直角坐标轴上得：（12-13）即：质点对某一定轴的动量矩对时间的一阶导数等于作用力对于同一轴的矩。

12.3.2质点动量矩守恒定理如果质点所受力对某一定点

O

的矩恒为零，则由式(12-12)知，质点对该点的动量矩保持不变。（12-14）如果作用于质点的力对于某一固定轴

l的矩恒为零，则由式

(12-13)

知，质点对该轴的动量矩保持不变。（12-15）以上结论称为质点动量矩守恒定理（Theoremsofconservationofmomentofmomentumofaparticle）。

12.3.3质点系的动量矩定理对于质点系内各质点，对同一固定点应用动量矩定理，写出每个质点的动量矩方程，并把作用于质点的力分解成外力F

e和内力F

i，有：全部相加得：（12-16）直角坐标轴投影式：（12-17）结论：质点系对某定点（或某定轴）的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的全部外力对同一点(

或同一轴

)主矩的矢量和(

代数和

)，这就是质点系的动量矩定理(

Theoremsofmomentofmomentumofsystemofparticles

)。

12.3.4质点系动量矩守恒定理当外力对于某定点

(

或某定轴

)

的主矩

(

或力矩的代数和

)

等于零时，质点系对于该点

(

或该轴

)

的动量矩保持不变。这就是质点系动量矩守恒定理

(

Theoremsofconservationofmomentofmomentumofsystemofparticles

)。由质点系动量矩定理可知：质点系的内力不改变质点系的动量矩，只有作用于质点系的外力才能使质点系的动量矩发生变化。例12-5高炉运送矿石用的卷场机如图12-11所示，已知鼓轮的半径为

R

，质量为m

1，轮绕

O

轴转动。小车和矿石总质量为m

2，作用在鼓轮上的力偶矩为

M

，鼓轮对转轴的转动惯量为

J

O，轨道的倾角为q。设绳的质量和各处摩擦均忽略不计，求小车的加速度

a

。解：视小车为质点，取小车与鼓轮组成质点系。以顺时针为正，质点系对

O

轴的动量矩为：作用于质点系的外力除M

，G

1和

G

2外，尚有轴承

O

的反力

Fox和

Foy，轨道对车的约束力FN。其中G

1，

FOx，Foy对

O

轴力矩为零。将

G

2分解为

Gτ和

G

n，G

n与FN相抵消，且：则系统外力对

O

轴的矩为：由质点系对

O

轴的动量矩定理有：小车的加速度沿斜坡向上。例12-6在图

12-12(a)中，小球

A

，B

以细绳相连，质量均为

m

，其余构件质量不计，忽略摩擦。系统绕

z

轴自由转动，初始时系统的角速度为w0，当细绳拉断后，求各杆与铅垂线成q角时系统的角速度w。见图12-12（b）。解：此系统所受的重力和轴承的支反力对于转轴的矩都等于零，因此系统对于转轴的动量矩守恒。当q=0时，动量矩为：当θ≠

0时，动量矩为：因为

Lz1=

Lz2，最后得：12.4刚体绕定轴的转动微分方程设刚体在主动力

F1，F2，…，Fn作用下绕定轴

AB

转动

，轴承

A，B的反力为

FAx，FAy和FBx，FBy，FBz，如图12-13所示。由动量矩定理得：设任一瞬时刚体的角速度为w，由式(

12-11

)知，刚体对转轴

z

的动量矩刚体的定轴转动微分方程(

Differentialequations

ofrotationofrigidbodywithafixedaxis

)，即刚体对定轴的转动惯量与角加速度的乘积，等于作用于刚体的主动力对该轴的矩的代数和。（12-18）由上可知：（1）作用于刚体的主动力对转轴的矩使刚体的转动状态发生变化。（2）如果作用于刚体的主动力对转轴的矩的代数和等于零，则刚体作匀速转动；如果主动力对转轴的矩的代数和为恒量，则刚体作匀变速转动。（3）在一定的时间间隔内，当主动力对转轴的矩相同时，刚体的转动惯量越大，转动状态变化越小；转动惯量越小，转动状态变化越大。这就是说，刚体转动惯量的大小表现了刚体转动状态改变的难易程度。因此说，转动惯量是刚体转动时惯性的度量。刚体的转动微分方程与质点的运动微分方程形式相似，求解问题的方法与步骤也相似。应用刚体转动微分方程可以求解有关转动刚体的动力学两类问题。例12-7如图12-14所示，已知滑轮半径为

R

，转动惯量为

J

，带动滑轮的皮带拉力为

F1和

F2。求滑轮的角加速度

a

。解：由刚体绕定轴的转动微分方程有：例12-8在图12-15中物理摆的质量为

m

，C

为其质心，摆对悬挂点的转动惯量为

JO，求微小摆动的周期。解：设j角以逆时针方向为正。当小j角为正时，重力对点O之矩为负。由此得摆的转动微分方程为：此方程的通解为：j

0为角振幅，j为初相位，它们由运动初始条件确定。摆动周期为：12.5相对质心的动量矩定理、刚体平面运动微分方程

12.5.1相对质心的动量矩定理动量矩定理，强调矩心或矩轴是固定点或固定轴。实际上，若取质点系的质心为矩心，则动量矩定理的形式将保持不变。定理：质点系相对于质心的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的外力对质心的主矩，即：（12-19）质点系对质心的动量矩定理(Theoremsofmomentofmomentumwithrespecttoacenterofmass)

。证明略。

12.5.2刚体平面运动微分方程刚体的平面运动可以分解为随质心

C

的平动和绕质心轴

Cz相对转动。随质心C

的平动可由质心运动定理确定。绕质心轴Cz

相对转动由相对于质心的动量矩定理确定。

（12-20）将前一式投影到

x

，y

轴上，后一式投影到

Cz轴上：（12-21）（12-22）式中

JC为刚体过其质心

Cz轴的转动惯量。式

(

12-22

)

称为刚体平面运动微分方程(

Differentialequationofplanarmotionofrigidbody

)

。（12-21）或写成例12-9一均质圆柱体重量为

G

，半径为

r

。无初速地放在倾角为q的斜面上。试确定当圆柱体在斜面上作纯滚时的摩擦因数的范围，并求出作纯滚动时质心

C

的加速度。解：（1）取圆柱体为研究对象，并进行受力分析。受重力

G

，斜面的反力

FN和摩擦力

FS，如图12-1