高中数学人教A版2第二章推理与证明单元测试 市一等奖

选修1-2第二章2.一、选择题1．命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的结论的否定是eq\x(导学号92601065)()A．有两个内角是直角 B．有三个内角是直角C．至少有两个内角是直角 D．没有一个内角是直角[答案]C[解析]“最多只有一个”的含义是“有且仅有一个或者没有”，因此它的反面应是“至少有两个”．2．如果两个数之和为正数，则这两个数eq\x(导学号92601066)()A．一个是正数，一个是负数 B．都是正数C．不可能有负数 D．至少有一个是正数[答案]D[解析]两个数的和为正数，可以是一正一负，也可以是一正一为0，还可以是两正，但不可能是两负．3．否定“自然数a、b、c中恰有一个偶数”的正确反设为eq\x(导学号92601067)()A．自然数a、b、c都是奇数B．自然数a、b、c都是偶数C．自然数a、b、c中至少有两个偶数D．自然数a、b、c中或都是奇数或至少有两个偶数[答案]D[解析]恰有一个偶数的否定有两种情况，其一是无偶数(全为奇数)，其二是至少有两个偶数．4．若a、b、c∈R，且ab＋bc＋ca＝1，则下列不等式成立的是eq\x(导学号92601068)()A．a2＋b2＋c2≥2 B．(a＋b＋c)2≥3C．eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c)≥2eq\r(3) D．abc(a＋b＋c)≤eq\f(1,3)[答案]B[解析]∵a、b、c∈R，∴a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，a2＋c2≥2ac∴a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac＝1又(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2＝a2＋b2＋c2＋2≥3.5．用反证法证明命题：三角形三个内角至少有一个不大于60°时，应假设eq\x(导学号92601069)()A．三个内角都不大于60° B．三个内角都大于60°C．三个内角至多有一个大于60° D．三个内角至多有两个大于60°[答案]B[解析]三个内角至少有一个不大于60°，即有一个、两个或三个不大于60°，其反设为都大于60°，故B正确．6．若a>b>0，则下列不等式中总成立的是eq\x(导学号92601070)()A．a＋eq\f(1,b)>b＋eq\f(1,a) B．eq\f(b,a)>eq\f(b＋1,a＋1)C．a＋eq\f(1,a)>b＋eq\f(1,b) D．eq\f(2a＋b,a＋2b)>eq\f(a,b)[答案]A[解析]可通过举反例说明B、C、D均是错误的，或直接论证A选项正确．二、填空题7．设实数a、b、c满足a＋b＋c＝1，则a、b、c中至少有一个数不小于________.eq\x(导学号92601071)[答案]eq\f(1,3)[解析]假设a、b、c都小于eq\f(1,3)，则a＋b＋c<1，故a、b、c中至少有一个数不小于eq\f(1,3).8．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两名是对的，则获奖的歌手是\x(导学号92601072)[答案]丙[解析]若甲获奖，则甲、乙、丙、丁说的都是错的，同理可推知乙、丙、丁获奖的情况，最后可知获奖的歌手是丙．9．和两条异面直线AB、CD都相交的两条直线AC、BD的位置关系是\x(导学号92601073)[答案]异面[解析]假设AC与BD共面于平面α，则A、C、B、D都在平面α内，∴AB⊂α，CD⊂α，这与AB、CD异面相矛盾，故AC与BD异面．三、解答题10．已知三个正数a，b，c成等比数列，但不成等差数列，求证：eq\r(a)，eq\r(b)，eq\r(c)不成等差数列.eq\x(导学号92601074)[解析]假设eq\r(a)，eq\r(b)，eq\r(c)成等差数列，则eq\r(a)＋eq\r(c)＝2eq\r(b)，即a＋c＋2eq\r(ac)＝4b.而b2＝ac，即b＝eq\r(ac)，则有a＋c＋2eq\r(ac)＝4eq\r(ac).即(eq\r(a)－eq\r(c))2＝0.所以eq\r(a)＝eq\r(c)，从而a＝b＝c，与a，b，c不成等差数列矛盾，故eq\r(a)，eq\r(b)，eq\r(c)不成等差数列．一、选择题1．下列命题不适合用反证法证明的是eq\x(导学号92601075)()A．同一平面内，分别与两条相交直线垂直的两条直线必相交B．两个不相等的角不是对顶角C．平行四边形的对角线互相平分D．已知x、y∈R，且x＋y>2，求证：x、y中至少有一个大于1[答案]C[解析]A中命题条件较少，不易正面证明；B中命题是否定性命题，其反设是显而易见的定理；D中命题是至少性命题，其结论包含两种情况，而反设只有一种情况，适合用反证法证明．2．设a、b、c∈R＋，P＝a＋b－c，Q＝b＋c－a，R＝c＋a－b，则“PQR>0”是P、Q、R同时大于零的eq\x(导学号92601076)()A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件[答案]C[解析]若P>0，Q>0，R>0，则必有PQR>0；反之，若PQR>0，也必有P>0，Q>0，R>0.因为当PQR>0时，若P、Q、R不同时大于零，则P、Q、R中必有两个负数，一个正数，不妨设P<0，Q<0，R>0，即a＋b<c，b＋c<a，两式相加得b<0，这与已知b∈R＋矛盾，因此必有P>0，Q>0，R>0.3．用反证法证明命题“设a、b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是eq\x(导学号92601077)()A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根[答案]A[解析]至少有一个实根的否定为：没有实根．4．下面的四个不等式：eq\x(导学号92601078)①a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca；②a(1－a)≤eq\f(1,4)；③eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2；④(a2＋b2)·(c2＋d2)≥(ac＋bd)2.其中恒成立的有()A．1个 B．2个C．3个 D．4个[答案]C[解析]∵a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac，a(1－a)－eq\f(1,4)＝－a2＋a－eq\f(1,4)＝－(a－eq\f(1,2)2)≤0，(a2＋b2)·(c2＋d2)＝a2c2＋a2d2＋b2c2＋b2≥a2c2＋2abcd＋b2d2＝(ac＋bd)只有当eq\f(b,a)＞0时，才有eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2成立，∴应选C．二、填空题5．在空间中有下列命题：①空间四点中有三点共线，则这四点必共面；②空间四点，其中任何三点不共线，则这四点不共面；③垂直于同一直线的两直线平行；④两组对边分别相等的四边形是平行四边形．其中真命题是\x(导学号92601079)[答案]①[解析]四点中若有三点共线，则这条直线与另外一点必在同一平面内，故①真；四点中任何三点不共线，这四点也可以共面，如正方形的四个顶点，故②假；正方体交于同一顶点的三条棱所在直线中，一条与另两条都垂直，故③假；空间四边形ABCD中，可以有AB＝CD，AD＝BC，例如将平行四边形ABCD沿对角线BD折起构成空间四边形，这时它的两组对边仍保持相等，故④假．6．若二次函数f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1在区间[－1,1]内至少存在一点c，使f(c)>0，则实数p的取值范围为\x(导学号92601080)[答案]p∈(－3，eq\f(3,2))[解析]解法一：(补集法)令eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f－1≤0,f1≤0))，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2p2＋p＋1≤0,－2p2－3p＋9≤0))，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(p≤－\f(1,2)或p≥1,p≤－3或p≥\f(3,2)))，∴p≤－3或p≥eq\f(3,2)，∴实数p的取值范围是－3<p<eq\f(3,2).解法二：(直接法)依题意，有f(－1)>0或f(1)>0，即2p2－p－1<0或2p2＋3p－9<0，∴－eq\f(1,2)<p<1或－3<p<eq\f(3,2)，∴－3<p<eq\f(3,2).三、解答题7．已知函数f(x)＝ax＋eq\f(x－2,x＋1)(a>1).eq\x(导学号92601081)用反证法证明方程f(x)＝0没有负数根．[解析]假设x0为方程f(x)＝0的负根，则有ax0＋eq\f(x0－2,x0＋1)＝0，即ax0＝eq\f(2－x0,x0＋1)＝eq\f(3－1＋x0,x0＋1)＝－1＋eq\f(3,x0＋1)，显然x0≠－1.1°当0>x0>－1时，1>x0＋1>0，eq\f(3,1＋x0)>3，－1＋eq\f(3,1＋x0)>2.而eq\f(1,a)<ax0<1，这是不可能的，即不存在0>x0>－1的解．2°当x0<－1时，x0＋1<0，eq\f(3,1＋x0)<0，－1＋eq\f(3,1＋x0)<－1.而ax0>0，矛盾，即不存在x0<－1的解．综上所述方程f(x)＝0没有负数根．8．用反证法证明：已知a、b均为有理数，且eq\r(a)和eq\r(b)都是无理数，求证：eq\r(a)＋eq\r(b)是无理数.eq\x(导学号92601082)[解析]解法一：假设eq\r(a)＋eq\r(b)为有理数，令eq\r(a)＋eq\r(b)＝t，则eq\r(b)＝t－eq\r(a)，两边平方，得b＝t2－2teq\r(a)＋a，∴eq\r(a)＝eq\f(t2＋a－b,2t).∵a、b、t均为有理数，∴eq\f(t2＋a－b,2t)也是有理数．即eq\r(a)为有理数，这与已知eq\r(a)为无理数矛盾．故假设不成立．∴eq\r(a)＋eq\r(b)一定是无理数．解法二：假设eq\r(a)＋eq\r(b)为有理数，则(eq\r(a)＋eq\r(b))(eq\r(a)－eq\r(b))＝a－b.由a>0，b>0，得eq\r(a)＋eq\r(b)>0