广东省揭阳市白塔中学高三数学理上学期期末试题含解析

广东省揭阳市白塔中学高三数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.复数（为虚数单位）的虚部为（）A．

B．

C．

D．参考答案：A2.已知△ABC的外接圆半径为1，圆心为O，且3，则△ABC的面积为（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】向量的线性运算性质及几何意义．【分析】由可得到①，②，③，这三个式子的两边分别平方即可求出cos∠AOB，cos∠BOC，cos∠AOC，从而可以得出sin∠AOB，sin∠BOC，sin∠AOC，这样根据三角形的面积公式即可分别求出△AOB，△BOC，△AOC的面积，从而得到△ABC的面积．【解答】解：如图，；∴由得：①，②，③；①两边平方得：；∴；∴；∴OA⊥OB；同理②③两边分别平方得：，；∴；∴S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△AOC==．故选：C．【点评】考查数量积的运算及其计算公式，三角形内角的范围，以及sin2α+cos2α=1，三角形的面积公式：．3.已知O为坐标原点，点A（4，2），则的最大值是（

）

A．

B．

C．

D．10参考答案：答案：C4.如右图，在△ABC中，已知点D在边BC上，,,则BD的长为

A.

B.

C.

D.参考答案：A5.在圆的一条直径上，任取一点作与该直径垂直的弦，则其弦长超过该圆的内接等边三角形的边长概率为（）A. B. C. D.参考答案：C如图所示，△BCD是圆内接等边三角形，过直径BE上任一点作垂直于直径的弦，设大圆的半径为2，则等边三角形BCD的内切圆的半径为1，显然当弦为CD时就是△BCD的边长，要使弦长大于CD的长，就必须使圆心O到弦的距离小于|OF|，记事件A={弦长超过圆内接等边三角形的边长}={弦中点在内切圆内}，由几何概型概率公式得，即弦长超过圆内接等边三角形边长的概率是．故选C6.将函数的图像向右平移m个长度单位后得到函数，若与的零点重合，则m的一个可能的值为A．

B．

C．

D．参考答案：B7.下课后教室里最后还剩下2位男同学和2位女同学，四位同学先后离开，则第二位走的是男同学的概率是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A8.已知是虚数单位，则等于（

） A． B． C． D．参考答案：A9.椭圆的中心在原点，F1，F2分别为左、右焦点，A，B分别是椭圆的上顶点和右顶点，P是椭圆上一点，且PF1⊥x轴，PF2∥AB，则此椭圆的离心率等于（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】由已知可得P（﹣c，），又A（0，b），B（a，0），F2（c，0），由PF2∥AB，得﹣，化为b=2c，即可求解．【解答】解：如图所示，把x=﹣c代入椭圆方程，可得P（﹣c，），又A（0，b），B（a，0），F2（c，0），∴kAB=﹣，=﹣，∵PF2∥AB，∴﹣，化为：b=2c．∴4c2=b2=a2﹣c2，即a2=5c2，∴e=．故选：D10.按如图所示的算法框图运算，若输出k＝2，则输入x的取值范围是

()．

A．19≤x<200

B．x<19

C．19<x<200

D．x≥200参考答案：A由框图可知，输出k＝2，需满足解得19≤x<200，故选A.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.函数f（x）=x2﹣2x+5的定义域是x∈（﹣1，2]，值域是．参考答案：[4，8）考点：函数的值域．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由题意，配方法化简f（x）=x2﹣2x+5=（x﹣1）2+4；从而求值域．解答：解：f（x）=x2﹣2x+5=（x﹣1）2+4；∵x∈（﹣1，2]，∴（x﹣1）2+4∈[4，8）；故答案为：[4，8）．点评：本题考查了函数的值域的求法，属于基础题．12.设函数=

。参考答案：答案：513.若曲线存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________．参考答案：14.，则f(2010)=

.参考答案：201015.已知p：x＞1或x＜﹣3，q：x＞a，若q是p的充分不必要条件，则a的取值范围是

参考答案：338【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】转化思想；简易逻辑．【分析】把充分性问题，转化为集合的关系求解．【解答】解：∵条件p：x＞1或x＜﹣3，条件q：x＞a，且q是p的充分而不必要条件∴集合q是集合p的真子集，q?P即a∈+f（2011）+f（2012）=335×1+f（1）+f（2）=338．【点评】本题考查函数的周期，由题意，求得f（1）+f（2）+f（3）+…+f（6）=是关键，考查转化与运算能力，属于中档题．16.已知数列的前项和为，且，则数列的通项公式为

.参考答案：略17.已知函数，设集合，从集合P和Q中随机地各取一个分数分别作为a和b，则函数在区间（）上为增函数的概率为

。参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（2017?南宁一模）设实数x，y满足x+=1．（1）若|7﹣y|＜2x+3，求x的取值范围；（2）若x＞0，y＞0，求证：≥xy．参考答案：【考点】不等式的证明；绝对值不等式的解法．【分析】（1）根据题意，由x+=1，则y=4﹣4x，则|7﹣y|＜2x+3，可得|4x+3|＜2x+3，解可得x的范围，即可得答案；（2）根据题意，由基本不等式可得1=x+≥2=，即≤1，用作差法分析可得﹣xy=（1﹣），结合的范围，可得﹣xy≥0，即可得证明．【解答】解：（1）根据题意，若x+=1，则4x+y=4，即y=4﹣4x，则由|7﹣y|＜2x+3，可得|4x+3|＜2x+3，即﹣（2x+3）＜4x+3＜2x+3，解可得﹣1＜x＜0；（2）证明：x＞0，y＞0，1=x+≥2=，即≤1，﹣xy=（1﹣），又由0＜≤1，则﹣xy=（1﹣）≥0，即≥xy．【点评】本题考查基本不等式、绝对值不等式的应用，关键是利用x+=1分析变量x、y之间的关系．19.(14分)设函数，（Ⅰ）判断函数的单调性；（Ⅱ）若关于的方程在区间[3，5]内恰有两个相异的实根，求实数的取值范围。参考答案：解析：（1）对求导得，的定义域为，所以的单调增区间为，的单调减区间为

………………6分（2）由方程化简得到，令则，所以满足在单调增，在单调减，…8分，，所以的取值范围为

……………14分20.已知向量=（sinx，cosx），=（cosx，cosx），=（2，1），且cosx≠0．（Ⅰ）若∥，求?的值；（Ⅱ）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，且，求函数f（A）的值域．参考答案：【考点】平面向量的综合题．【专题】三角函数的图像与性质；平面向量及应用．【分析】（1）若，得，求出tanx=2，?=sinxcosx+cos2x，转化为关于tanx的式子求解．（2）（Ⅱ）△ABC中，，2sinAcosB=﹣（cosBsinC+sinBcosC）=﹣sin（B+C）=﹣sinA求出B，又．代入f（A）的式子求解，转化为三角变换．【解答】解：（Ⅰ）若，得sinx=2cosx，因为cosx≠0，所以tanx=2，所以，（Ⅱ）∵△ABC中，2sinAcosB+cosBsinC=﹣sinBcosC∴2sinAcosB=﹣（cosBsinC+sinBcosC）=﹣sin（B+C）=﹣sinA又sinA＞0得：，因为0＜B＜π，所以．则．又．所以因为，所以，所以，所以，即函数f（A）的值域为．【点评】本题综合考查了向量和三角函数的结合的题目，难度属于中等，计算化简容易出错，做题要仔细．21.在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，）.在以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标中，曲线：.（1）当时，求与的交点的极坐标；（2）直线与曲线交于，两点，且两点对应的参数，互为相反数，求的值.参考答案：解法一：（Ⅰ）由，可得，所以，即，\当时，直线的参数方程（为参数），化为直角坐标方程为，联立解得交点为或，化为极坐标为，（2）由已知直线恒过定点，又，由参数方程的几何意义知是线段的中点，曲线是以为圆心，半径的圆，且，由垂径定理知：．解法二：（1）依题意可知，直线的极坐标方程为，当时，联立解得交点，当时，经检验满足两方程，当时，无交点；综上，曲线与直线的点极坐标为，．（2）把直线的参数方程代入曲线，得，可知，，所以．22.（14分）已知，数列的前n项和（1）求数列的通项公式；（2）若，