广东省梅州市古野中学2023年高三数学文下学期期末试题含解析

广东省梅州市古野中学2023年高三数学文下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】由三视图求面积、体积．【分析】判断三视图对应的几何体的形状，利用三视图的数据，求解几何体的体积即可．【解答】解：由三视图可知，几何体是组合体，左侧是三棱锥，底面是等腰三角形，腰长为，高为1，一个侧面与底面垂直，并且垂直底面三角形的斜边，右侧是半圆柱，底面半径为1，高为2，所求几何体的体积为：=．故选：A．2.已知

一元二次方程有一个正根和一个负根，则的一个充分不必要条件是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C略3.若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，圆柱、球的表面积分别记为S1、S2，则S1：S2=（）A．1：1B．2：1C．3：2D．4：1参考答案：C

考点：球的体积和表面积．专题：计算题．分析：根据圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，设为球的半径为1，结合圆柱的表面积的公式以及球的表面积即可得到答案．解答：解：由题意可得：圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，设球的半径为1，所以等边圆柱的表面积为：S1=6π，球的表面积为：S2=4π．所以圆柱的表面积与球的表面积之比为S1：S2=3：2．故选C．点评：本题考查几何体的表面积，考查计算能力，特殊值法，在解题中有是有独到功效，是基础题．4.已知是定义在上的奇函数，且是偶函数，给出下列四个结论：①是周期函数；

②是图象的一条对称轴；③是图象的一个对称中心；

④当时，

一定取最大值.1,3,5

其中正确的结论的代号是A.①③

B．①④

C．②③

D．②④参考答案：A5.

下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是

(

)

A.

B.

C.

D.

参考答案：B6.已知，，则（

）A．2

B．

C．

D．1参考答案：D7.下列结论中，正确的有（）①不存在实数k，使得方程xlnx﹣x2+k=0有两个不等实根；②已知△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且a2+b2=2c2，则角C的最大值为；③函数y=ln与y=lntan是同一函数；④在椭圆+=1（a＞b＞0），左右顶点分别为A，B，若P为椭圆上任意一点（不同于A，B），则直线PA与直线PB斜率之积为定值．A．①④ B．①③ C．①② D．②④参考答案：A【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①，函数f（x）=xlnx﹣x2在定义域内单调，不存在实数k，使得方程xlnx﹣x2+k=0有两个不等实根；②，a2+b2=2c2≥2ab，cosC=则角C的最大值为；③，函数y=ln与y=lntan的定义域不同，不是同一函数；④，设A（﹣a，0），B（a，0），P（m，n），则b2m2+a2n2=a2b2?a2n2=b2（a2﹣m2）?直线PA与直线PB斜率之积为（定值）．【解答】解：对于①，函数f（x）=xlnx﹣x2在定义域内单调，不存在实数k，使得方程xlnx﹣x2+k=0有两个不等实根，正确；对于②，∵a2+b2=2c2，∴a2+b2=2c2≥2ab，cosC=，则角C的最大值为，故错；对于③，函数y=ln与y=lntan的定义域不同，不是同一函数，故错；对于④，设A（﹣a，0），B（a，0），P（m，n），则b2m2+a2n2=a2b2?a2n2=b2（a2﹣m2）?直线PA与直线PB斜率之积为（定值），故正确．故选：A．8.设m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面。给出下列四个命题：①若m⊥，，则；

②若，则；③若，则；

④若，则。其中正确命题的序号是：（

）

A.①和②

B.②和③

C.③和④

D.①和④参考答案：答案:D9.定义在R上的函数f(x)在区间(－∞，2)上是增函数，且f(x＋2)的图像关于y

轴对称，则A．f(0)>f(3)

B．f(0)＝f(3)

C．f(－1)＝f(3)

D．f(－1)<f(3)参考答案：D函数f(x＋2)的图像关于y轴对称，说明这个函数是偶函数，即f(－x＋2)＝f(x＋2)，令x＝1，得f(1)＝f(3)，函数f(x)在(－∞，2)上是增函数，故得f(－1)<f(1)＝f(3)．10.定义在R上的函数的单调增区间为（－1，1），若方程恰有4个不同的实根，则实数的值为（

）A、B、C、1D、－1

参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在四个数的两旁各加一条竖线，引进符号：，定义。如果函数，则在处切线的倾斜角为

。参考答案：答案:

arctan212.在中，点满足，则

参考答案：3/1613.某校1000名学生参加了一次数学考试，这次考试考生的分数服从正态分布N（90，σ2），若分数在（70，110]内的概率为0.7，估计这次考试分数不超过70分的人数为人．参考答案：325【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】利用正态分布曲线的对称性结合已知求得P（X≤70），乘以1000得答案．【解答】解：由X服从正态分布N（90，σ2）（σ＞0），且P（70≤X≤110）=0.35，得P（X≤70）=（1﹣0.35）=．∴估计这次考试分数不超过70分的人数为1000×=325．故答案为：325．14.如图，菱形ABCD的边长为2，∠A=60°，M为DC的中点，若N为菱形内任意一点（含边界），则的最大值为

．参考答案：9考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：先以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立直角坐标系，求出其它各点的坐标，然后利用点的坐标表示出，把所求问题转化为在平面区域内求线性目标函数的最值问题求解即可．解答： 解：如图，以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系，由于菱形ABCD的边长为2，∠A=60°，M为DC的中点，故点A（0，0），则B（2，0），C（3，），D（1，），M（2，）．设N（x，y），N为菱形内（包括边界）一动点，对应的平面区域即为菱形ABCD及其内部区域．因为，=（x，y），则=2x+y，令z=2x+，则，由图象可得当目标函数z=2x+y过点C（3，）时，z=2x+y取得最大值，此时=9．故答案为9．点评：本题主要考查向量在几何中的应用，以及数形结合思想的应用和转化思想的应用，是对基础知识和基本思想的考查，属于中档题．15.已知函数则的值为

.参考答案：16.已知，，与的夹角为，与的夹角为锐角，求的取值范围_______________________参考答案：略17.已知x，y∈R+，x+y=1，则的最小值为__________．参考答案：3考点：基本不等式．专题：转化思想；不等式的解法及应用．分析：首先，将所给的条件代入，转化为基本不等式的结构形式，然后，利用基本不等式进行求解．解答：解：∵x，y∈R+，x+y=1，∴+=+=++1≥2+1=3，故答案为：3．点评：本题重点考查了基本不等式问题，考查等价转化思想的灵活运用，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（13分）盒内有大小相同的9个球，其中2个红色球，3个白色球，4个黑色球.规定取出1个红色球得1分，取出1个白色球得0分，取出1个黑色球得分.现从盒内任取3个球.（Ⅰ）求取出的3个球颜色互不相同的概率；（Ⅱ）求取出的3个球得分之和是正数的概率.参考答案：解析：（Ⅰ）记“取出1个红色球，1个白色球，1个黑色球”为事件，

.

…………..5分（Ⅱ）解：先求取出的3个球得分之和是1分的概率：记“取出1个红色球，2个白色球”为事件，“取出2个红色球，1个黑色球”为事件，则；

…..9分记“取出2个红色球，1个白色球”为事件，则取出的3个球得分之和是2分的概率：.

…..11分所以，取出的3个球得分之和是正数的概率.

…..13分19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，，，，E是PB的中点。（Ⅰ）求证：平面平面PBC；（Ⅱ）若二面角的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值。参考答案：解：（Ⅰ）平面ABCD，平面ABCD，，，，，又，平面PBC，平面EAC，平面平面PBC（Ⅱ）解法一：平面PBC，，，为二面角的平面角在中，E是PB的中点，，，

，取PC中点F，连结EF，则，，EF面PAC。，设点P到平面ACE的距离为h，则，解得，设直线PA与平面EAC所成角为，则解法二：以C为原点，建立空间直角坐标系如图所示，则C（0，0，0），A（1，1，0），B（1，－1，0）。设P（0，0，a）（a>0），则E（，，），，，，取m=（1，－1，0）则，m为面PAC的法向量设为面EAC的法向量，则，即，取，，，则，依题意，，则于是设直线PA与平面EAC所成角为，则，即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为

略20.在中，角所对的边分别为，（1）求角的大小；（2）求的最大值.参考答案：（1）（2）【考点】正弦定理，三角恒等变换

【点评】：正确使用正弦定理和三角恒等变换是解决问题的关键，解题时要注意三角形内角和的应用．本题考查学生逻辑推理能力和灵活运用知识的能力．21.（本小题满分13分）在△中，已知．（Ⅰ）求角；（Ⅱ）若，△的面积是，求．参考答案：（Ⅰ）解：由，得．

……3分所以原式化为．

…………4分

因为，所以，所以．

…………6分

因为，所以．

…………7分

（Ⅱ）解：由余弦定理，得．………9分

因为，，

所以．

…………11分因为，

所以.

………13分

略22.在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别a，b，c，f（x）=2sinxcos（x+A）+sin（B+C）（x∈R），函数f（x）的图象关于点(，0)对称．（I）求A；（II）若b=6，△ABC的面积为6，求的值．参考答案：【考点】平面向量数量积的运算．【分析】（Ⅰ）根据两角和的正余弦公式及二倍角的公式进行化简，便可得出f（x）=sin（2x+A），根据f（x）的图象关于点对称，即可得出