广东省梅州市沐彬中学2023年高三数学理期末试卷含解析

广东省梅州市沐彬中学2023年高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.《九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”.现有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形.若该阳马的顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C2.下列命题中,为真命题的是(

)A.,使得

B.

C.

D.若命题,使得,则参考答案：D3.已知集合，则A∩B=（

）A. B.C. D.参考答案：C【分析】求解出集合，根据交集定义求得结果.【详解】

本题正确选项：【点睛】本题考查集合运算中的交集运算，属于基础题.4.4名学生从3个体育项目中每人选择1个项目参加，而每个项目都有学生参加的概率为（） A． B． C． D． 参考答案：C5.与向量的夹角相等，且模为1的向量是(

) A． B． C． D．参考答案：B考点：平面向量数量积坐标表示的应用．分析：要求的向量与一对模相等的向量夹角相等，所以根据夹角相等列出等式，而已知的向量模是相等的，所以只要向量的数量积相等即可．再根据模长为1，列出方程，解出坐标．解答： 解：设与向量的夹角相等，且模为1的向量为（x，y），则解得或，故选B．点评：本题表面上是对向量数量积的考查，根据两个向量的坐标，用数量积列出式子，但是这步工作做完以后，题目的重心转移到解方程的问题，解关于x和y的一元二次方程．6.已知集合

若存在，使得，则的最大值是

(

)

A、

B、

C、

D、参考答案：C7.,,,,设,则下列判断中正确的是(

)A.

B.

C.

D.参考答案：B试题分析：a、b、c、d∈R＋，

8.执行如图所示的程序框图，则输出的A的值为（）A．7 B．31 C．29 D．15参考答案：D【考点】程序框图．【专题】算法和程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的A，i的值，当i=5时满足条件i≥5，退出循环，输出A的值为15．【解答】解：模拟执行程序框图，可得A=0，i=1A=1，i=2不满足条件i≥5，A=3，i=3，不满足条件i≥5，A=7，i=4，不满足条件i≥5，A=15，i=5，满足条件i≥5，退出循环，输出A的值为15．故选：D．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确写出每次循环得到的A，i的值是解题的关键，属于基础题．9.已知函数则(

)A．

B．

C．

D．参考答案：A略10.已知集合M={},集合N={x|lg(3-x)>0},则=(

)(A).{x|2<x<3}

(B).{x|1<x<3}

(C).{x|1<x<2}

(D)参考答案：B因为，，所以，故选.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在平面上“等边三角形内任意一点到三边的距离之和为定值”，类比猜想为：

；参考答案：正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值

解：由平面中关于点到线的距离的性质，根据平面上关于线的性质类比为空间中关于面的性质，我们可以推断在空间几何中有：正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值12.已知△ABC和点M，满足++=，若存在实数m，使得成立，则点M是△ABC的，实数m=．参考答案：重心,3.【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】解题时应注意到++=，则M为△ABC的重心．【解答】解：由++=知，点M为△ABC的重心，设点D为底边BC的中点，则==×（+）=（+），所以有+=3，故m=3，故答案为：重心，3．13.某脑科研究机构对高中学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，得到下表数据X681012y2356由散点图可以看出x与y具有线性关系，若回归直线方程为，则= 参考答案：14.若圆的半径为1，圆心在第一象限，且与直线和轴相切，则该圆的标准方程是_______________.参考答案：15.数列的首项为，且，记为数列前项和，则

。参考答案：16.关于函数有下列命题：①函数的周期为；

②直线是的一条对称轴；③点是的图象的一个对称中心；④将的图象向左平移个单位，可得到的图象.其中真命题的序号是______.（把你认为真命题的序号都写上）参考答案：17.方程组的增广矩阵是__________________.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设函数f（x）=|2x+1|+|2x﹣2|．（Ⅰ）求函数f（x）的最小值；（Ⅱ）若f（x）＜ax+1有解，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】函数的最值及其几何意义；绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）利用绝对值不等式的几何意义求解即可．（Ⅱ）去掉绝对值符号，利用数形结合，以及直线系方程，转化求解即可．【解答】（本小题满分10分）解：（Ⅰ）由不等式的性质可得：|2x+1|+|2x﹣2|≥|2x+1﹣2x+2|=3，所以当且仅当时，函数f（x）的最小值为3．…（Ⅱ）…（7分）又函数y=ax+1恒过定点（0，1），结合函数图象可得：a＜﹣4或a＞2．…（10分）【点评】本题考查函数的最值的求法，数形结合的应用，直线系方程的应用，绝对值不等式的几何意义，考查计算能力．19.（14分）已知函数（）（1）求的单调区间;（2）时，判断方程:根的个数并说明理由;（3）有两个极值点且证明:.参考答案：【知识点】导数的应用；推理与证明.

B12

M2【答案解析】（1）当时，有单调增区间为当时的单调增区间为，单调递减区间为当时的单调增区间为，单调递减区间为

（2）有且只有一个根.理由略；（3）略解析：（1）函数的定义域为，

---1分令当，即时，函数在单调递增-----2分当，即时方程由两解

---3分当时，有，此时：；时，时，

---4分当时有

---5分综上所述：当时，有单调增区间为当时的单调增区间为，单调递减区间为当时的单调增区间为，单调递减区间为

----6分

（2）由已知方程：，得令，则

-------7分当x变化时，变化如下表：xa2+0-0+单调递增极大值单调递减极小值单调递增由a的取值范围是，所以

------8分由上表知在上单调递增，在上单调递减所以时，有所以在上无零点

-----9分，又在单调递增，在区间有唯一零点所以原方程有且只有一个根.

--------10分（3）由题意知有两个不同的根，有两解可知，由于，由（1）知

--11分得：

-----12分其中

---13分函数在上递增；

----14分【思路点拨】（1）先求函数的定义域，再求导函数，通过讨论的取值条件，得导函数为零的根的大小关系，从而得导函数大于零或小于零的范围，亦是的单调区间;；（2）由，得，令，则判断方程的根个数，利用导数求函数的极值点，通过确定极值点在轴的上方还是下方，以及单调性、函数值符号等，来确定方程:根的个数.（2）由（1）知时有两个极值点,且是即的两个根，可知，由于，所以，由得，其中，函数在上递增；

.20.已知数列为等差数列，数列为等比数列，若，且.（1）求数列，的通项公式；（2）是否存在，使得，若存在，求出所有满足条件的；若不存在，请说明理由.参考答案：略21.（本小题共14分）已知函数．（Ⅰ）当时，试求在处的切线方程；（Ⅱ）当时，试求的单调区间；（Ⅲ）若在内有极值，试求的取值范围．参考答案：（1）；（2）单调增区间为，单调减区间为；（3）考点：导数的综合运用（1）当时，，，．方程为．

（2），

．

当时，对于，恒成立，所以

T；

T0.

所以单调增区间为，单调减区间为．

（3）若在内有极值，则在内有解．

令TT.设

，

所以，当时，恒成立，所以单调递减.

又因为，又当时，，即在上的值域为，

所以

当时，有解.

设，则，

所以在单调递减.

因为，，

所以在有唯一解.

所以有：

所以当时，在内有极值且唯一.

当时，当时，恒成立，单调递增，不成立．

综上，的取值范围为．22.（本小题满分12分）已知向量，记函数.求：（I）函数的