福建省师大附中-学年高二下学期期中考试数学（理）试题

（满分：150分，时间：120分钟）说明：请将答案填写在答卷纸上，考试结束后只交答案卷.一、选择题：（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．i是虚数单位，复数等于 （） A．1-i B．1+i C．-1+i D．i2．用反证法证明某命题时，对结论：“自然数，，中恰有一个偶数”正确的反设为（）A．，，中至少有两个偶数B．，，中至少有两个偶数或都是奇数C．，，都是奇数D．，，都是偶数3．已知向量，且与互相垂直，则的值是（）A．B．C．D．4．5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有（）A．10种 B．20种 C．25种 D．32种5．观察(x2)＇=2x,(x4)＇=4x3,(cosx)＇=-sinx,由归纳推理可得:若定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=f(x),记g(x)为f(x)的导函数,则g(-x)等于（）A．f(x)B．-f(x)C．g(x)D．-g(x)6．若函数，则等于（）A. B. C. D.7．若空间四边形ABCD的边长和对角线长都为2，点E为边BC的中点，则（）A．2 B．4C．6D．88．如图，在三棱锥A—BCD中，DA，DB，DC两两垂直，且DB=DC=2，点E为BC的中点，若直线AE与底面BCD所成的角为45O，则三棱锥A—BCD的体积等于()A．B．C．D．29．设函数则 ()A．在区间内均有零点；B．在区间内无零点，在区间内有零点．C．在区间内有零点，在区间内无零点；D．在区间内均无零点；第11题图10．如图，甲站在水库底面上的点处，乙站在水第11题图坝斜面上的点处，已知库底与水坝所成的二面角为，测得从到库底与水坝的交线的距离分别为米、米，又已知米，则甲乙两人相距（）米.A.50B.C.60D.7011．某中学一天的功课表有6节课,其中上午4节,下午2节,要排语文、数学、英语、信息技术、体育、地理6节课，要求上午第一节课不排体育，数学必须排在上午，则不同排法共有()．A.600种B.480种C.408种D.384种12.如图所示，是定义在区间（）上的奇函数，令，并有关于函数的四个论断：①若，对于内的任意实数（），恒成立；②函数是奇函数的充要条件是；③若，，则方程必有3个实数根；④，的导函数有两个零点；其中所有正确结论的序号是()．A.①②B.①②③C.①④D.②③④二、填空题：（每小题4分，共28分）13.等于.14.设复数，，则的最大值为.15．若向量，，则以OA、OB为相邻两边的平行四边形的面积为.16．用1，2，3，4，5组成五位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，这样的五位数的个数是（用数字作答).17．设曲线在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为,令，则的值为.18.现有一个关于平面图形的命题,如图所示,同一个平面内有两个边长都是的正方形,其中一个的某顶点在另一个的中心,则这两个正方形重叠部分的面积恒为.类比到空间,有两个棱长均为的正方体,其中一个的某顶点在另一个的中心,则这两个正方体重叠部分的体积恒为.19.观察下表1＝13＋5＝87＋9＋11＝2713＋15＋17＋19＝64……据此你可猜想出的第n行是_____________三、解答题：（本大题共5题，共62分）20．（本小题满分10分）当时，，．（Ⅰ）求，，，；（Ⅱ）猜想与的大小关系，并用数学归纳法证明．21．（本小题满分12分）如图，平面，四边形是正方形，，点、、分别为线段、和的中点.（Ⅰ）求异面直线与所成角的余弦值；（Ⅱ）在线段上是否存在一点，使得点到平面的距离恰为？若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由.22．(本小题满分12分)如图所示，等腰△ABC的底边AB=,高CD=3，点E是线段BD上异于点B、D的动点.点F在BC边上，且EF⊥AB.现沿EF将△BEF折起到△PEF的位置，使PE⊥AE.记BE＝x，V(x)表示四棱锥P-ACFE的体积.（Ⅰ）求V(x)的表达式；（Ⅱ）当x为何值时，V(x)取得最大值？23．(本小题满分14分)设函数.（Ⅰ）当时，求函数的单调区间和极大值点；（Ⅱ）已知，若函数的图象总在直线的下方，求的取值范围；（Ⅲ）记为函数的导函数．若，试问：在区间上是否存在（）个正数…，使得成立？请证明你的结论.24．(本小题满分14分)设函数.（Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）当时，若函数在上是增函数，求的取值范围；（Ⅲ）若，不等式对任意恒成立，求整数的最大值．参考答案一、选择题：ABDDDAACBDCA二、填空题：13.14.215.16.1217.18.19.[n(n－1)＋1]＋[n(n－1)＋3]＋…＋[n(n－1)＋(2n－1)]＝20.（12分）(1)，；（2）猜想：（）证明：(1)当时，；xyz21.（本题满分12分）解：（1）以点为坐标原点，射线AB、AD、AP分别为的正半轴建立空间直角坐标系（如右图所示），则点、、、，则，.设异面直线与所成角为xyz,所以异面直线与所成角的余弦值为.（2）假设在线段上存在一点满足条件，设点，平面的法向量为，则有得到，取，所以，则，又，解得，所以点即，则.所以在线段上存在一点满足条件，且长度为.23．(本小题满分14分)解：（Ⅰ）当时，，令得到，列表如下：＋０－极大值所以的的单调增区间为，单调减区间为极大值点（Ⅱ），，.令，则.当时，；当时，.故为函数的唯一极大值点，所以的最大值为=.由题意有，解得.所以的取值范围为.（Ⅲ）当时，.记，其中.∵当时，，∴在上为增函数，即在，所以，对任意的，总有.所以，又因为，所以.故在区间上不存在使得成立的（）个正数….24．(本小题满分1