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文档简介
广东省湛江市麻章区第一中学2021年高三数学文联考试卷含解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1.已知向量,且,则的最大值为(
)A.2
B.4
C.
D.参考答案:D试题分析:设向量对应点分别为,向量对应点,由知点在以为圆心,半径为的圆上.∴∵又∵,∴,∴,∴,∴,∴,∴,故选D.考点:1、平面向量数量积公式;2、数量的模及向量的几何意义.2.
已知函数在上是减函数,且对任意的总有则实数的取值范围为(
)A.
B.
C.
D.参考答案:B3.四面体A﹣BCD中,AB=CD=10,AC=BD=2,AD=BC=2,则四面体A﹣BCD外接球的表面积为()A.50π B.100π C.200π D.300π参考答案:C【考点】LE:棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积.【分析】由题意可采用割补法,考虑到四面体ABCD的四个面为全等的三角形,所以可在其每个面补上一个以10,2,2为三边的三角形作为底面,且以分别为x,y,z,长、两两垂直的侧棱的三棱锥,从而可得到一个长、宽、高分别为x,y,z的长方体,由此能求出球的半径,进而求出球的表面积.【解答】解:由题意可采用割补法,考虑到四面体ABCD的四个面为全等的三角形,所以可在其每个面补上一个以10,2,2为三边的三角形作为底面,且以分别为x,y,z,长、两两垂直的侧棱的三棱锥,从而可得到一个长、宽、高分别为x,y,z的长方体,并且x2+y2=100,x2+z2=136,y2+z2=164,设球半径为R,则有(2R)2=x2+y2+z2=200,∴4R2=200,∴球的表面积为S=4πR2=200π.故选C.4.比较甲、乙两名学生的数学学科素养的各项能力指标值(满分为5分,分值高者为优),绘制了如图1所示的六维能力雷达图,例如图中甲的数学抽象指标值为4,乙的数学抽象指标值为5,则下面叙述正确的是(
)A.乙的逻辑推理能力优于甲的逻辑推理能力B.甲的数学建模能力指标值优于乙的直观想象能力指标值C.乙的六维能力指标值整体水平优于甲的六维能力指标值整体水平D.甲的数学运算能力指标值优于甲的直观想象能力指标值参考答案:C对于选项A,甲的逻辑推理能力指标值为4,优于乙的逻辑推理能力指标值为3,所以该命题是假命题;对于选项B,甲的数学建模能力指标值为3,乙的直观想象能力指标值为5,所以乙的直观想象能力指标值优于甲的数学建模能力指标值,所以该命题是假命题;对于选项C,甲的六维能力指标值的平均值为,乙的六维能力指标值的平均值为,因为,所以选项C正确;对于选项D,甲的数学运算能力指标值为4,甲的直观想象能力指标值为5,所以甲的数学运算能力指标值不优于甲的直观想象能力指标值,故该命题是假命题.故选C.5.如果{an}不是等差数列,但若,使得,那么称{an}为“局部等差”数列.已知数列{xn}的项数为4,记事件A:集合,事件B:{xn}为“局部等差”数列,则条件概率(
)A. B. C. D.参考答案:C由题意知,事件共有=120个基本事件,事件“局部等差”数列共有以下24个基本事件,(1)其中含1,2,3的局部等差的分别为1,2,3,5和5,1,2,3和4,1,2,3共3个,含3,2,1的局部等差数列的同理也有3个,共6个.含3,4,5的和含5,4,3的与上述(1)相同,也有6个.含2,3,4的有5,2,3,4和2,3,4,1共2个,含4,3,2的同理也有2个.含1,3,5的有1,3,5,2和2,1,3,5和4,1,3,5和1,3,5,4共4个,含5,3,1的也有上述4个,共24个,=.故选C.
6.设直线l:y=2x+2,若l与椭圆x2+=1的交点为A、B,点P为椭圆上的动点,则使△PAB的面积为﹣1的点P的个数为(
) A.0 B.1 C.2 D.3参考答案:D考点:直线与圆锥曲线的关系.专题:圆锥曲线的定义、性质与方程.分析:由直线l的方程与椭圆x2+=1的方程组成方程组,求出弦长AB,计算AB边上的高h,设出P的坐标,由点P到直线y=2x+2的距离d=h,结合椭圆的方程,求出点P的个数来.解答: 解:由直线l的方程与椭圆x2+=1的方程组成方程组,解得或,则A(0,2),B(﹣1,0),∴AB==,∵△PAB的面积为﹣1,∴AB边上的高为h==.设P的坐标为(a,b),代入椭圆方程得:a2+=1,P到直线y=2x+2的距离d==,即2a﹣b=2﹣4或2a﹣b=﹣2;联立得:①或②,①中的b消去得:2a2﹣2(﹣2)a+5﹣4=0,∵△=4(﹣2)2﹣4×2×(5﹣4)>0,∴a有两个不相等的根,∴满足题意的P的坐标有2个;由②消去b得:2a2+2a+1=0,∵△=(2)2﹣4×2×1=0,∴a有两个相等的根,满足题意的P的坐标有1个.综上,使△PAB面积为﹣1的点P的个数为3.故选:D.点评:本题考查了直线与椭圆方程的综合应用问题,考查了直线方程与椭圆方程组成方程组的求弦长的问题,是综合性题目.7.定义在(—,0)(0,+)上的函数,如果对于任意给定的等比数列{},{)仍是等比数列,则称为“保等比数列函数”.现有定义在(—,0)(0,+)上的如下函数:①=:②;③;④.则其中是“保等比数列函数”的的序号为(
)
A.①②
B.③④
C.①③
D.②④参考答案:C略8.已知等比数列的公比,且成等差数列,则的前8项和为(
)
A.127 B.255 C.511
D.1023参考答案:B略9.某程序框图如图所示,其中,若输出的,则判断框内应填入的条件为A.n<2020?
B.n≤2020?
C.n>2020?
D.n≥2020?参考答案:A10.《孙子算经》是中国古代重要的数学著作,书中有一问题:“今有方物一束,外周一匝有三十二枚,问积几何?”该著作中提出了一种解决此问题的方法:“重置二位,左位减八,余加右位,至尽虚减一,即得.”通过对该题的研究发现,若一束方物外周一匝的枚数是8的整数倍时,均可采用此方法求解,如图是解决这类问题的程序框图,若输入,则输出的结果为(
)A.23
B.47
C.24
D.48参考答案:A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若,则=
参考答案:略12.把5件不同产品摆成一排,若产品A与产品B相邻,且产品A与产品C不相邻,则不同的摆法有_______种.参考答案:3613.将名教师,名学生分成个小组,安排到甲、乙两地参加活动,每个小组由名教师和名学生组成,不同的安排方案共有__________种.参考答案:【知识点】排列、组合J2【答案解析】12
第一步,为甲地选一名老师,有=2种选法;第二步,为甲地选两个学生,有=6种选法;第三步,为乙地选1名教师和2名学生,有1种选法,故不同的安排方案共有2×6×1=12种,故选A.【思路点拨】将任务分三步完成,在每步中利用排列和组合的方法计数,最后利用分步计数原理,将各步结果相乘即可得结果14.曲线在点(0,1)处的切线方程是________________.参考答案:.15.已知双曲线C:的左、右顶点分别为A,B,点P在曲线C上,若中,,则双曲线C的渐近线方程为______.参考答案:【分析】利用已知条件求出P的坐标(x,y)满足的条件,然后求解a,b的关系即可,【详解】如图,过B作BM⊥x轴,∵∠PBA=∠PAB,则∠PAB=∠PBM,∴∠PAB+∠PBx.即kPA?kPB=1.设P(x,y),又A(﹣a,0),B(a,0).,∴x2﹣y2=a2,∴a=b,则双曲线C的渐近线方程为y=±x,故答案为:y=±x【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用,考查转化思想以及计算能力.属于中档题.16.理:已知实数、满足,则的取值范围是
.参考答案:17.下面有五个命题:①函数y=sin4x-cos4x的最小正周期是.②终边在y轴上的角的集合是③在同一坐标系中,函数的图象和函数的图象有三个公共点.④把函数⑤函数其中真命题的序号是
(写出所有真命题的编号)参考答案:①④略三、解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18.21.(本小题满分14分)设函数常数且a∈(0,1).(1)
当a=时,求f(f());(2)
若x0满足f(f(x0))=x0,但f(x0)≠x0,则称x0为f(x)的二阶有且仅有两个二阶周期点,并求二阶周期点x1,x2;(3)
对于(2)中x1,x2,设A(x1,f(f(x1))),B(x2,f(f(x2))),C(a2,0),记△ABC的面积为s(a),求s(a)在区间[,]上的最大值和最小值。参考答案:(1)当时,(当时,由解得x=0,由于f(0)=0,故x=0不是f(x)的二阶周期点;当时由解得因故是f(x)的二阶周期点;当时,由解得因故不是f(x)的二阶周期点;当时,解得因故是f(x)的二阶周期点。因此,函数有且仅有两个二阶周期点,,。(3)由(2)得
则因为a在[,]内,故,则故
19.(本题满分12分)在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且.(1)求角C;(2)若,,求△ABC的面积.参考答案:(1)在中,由正弦定理得:,整理得,由余弦定理得,又因为,所以.(2)由得,所以由正弦定理:,解得所以的面积
20.(本小题满分12分)
已知点,点在轴上,点在轴的正半轴上,点在直线上,且满足.(Ⅰ)当点在轴上移动时,求点的轨迹的方程;(Ⅱ)设、为轨迹上两点,且>1,>0,,求实数,使,且.参考答案:解析:(Ⅰ)设点,由得.
…………2分 由,得,即.
……………4分 又点在轴的正半轴上,∴.故点的轨迹的方程是.…………6分(Ⅱ)由题意可知为抛物线:的焦点,且、为过焦点的直线与抛物线的两个交点,所以直线的斜率不为.……7分
当直线斜率不存在时,得,不合题意;……8分
当直线斜率存在且不为时,设,代入得
,
则,解得.…………10分
代入原方程得,由于,所以,由,
得,∴.……………………12分21.[选修4-5:不等式选讲]已知函数f(x)=|x﹣a|﹣|x+3|,a∈R.(Ⅰ)当a=﹣1时,解不等式f(x)≤1;(Ⅱ)若当x∈[0,3]时,f(x)≤4,求a的取值范围.参考答案:【考点】绝对值不等式的解法.【分析】(Ⅰ)当a=﹣1时,不等式为|x+1|﹣|x+3|≤1,对x的取值范围分类讨论,去掉上式中的绝对值符号,解相应的不等式,最后取其并集即可;(Ⅱ)依题意知,|x﹣a|≤x+7,由此得a≥﹣7且a≤2x+7,当x∈[0,3]时,易求2x+7的最小值,从而可得a的取值范围.【解答】解:(Ⅰ)当a=﹣1时,不等式为|x+1|﹣|x+3|≤1.当x≤﹣3时,不等式化为﹣(x+1)+(x+3)≤1,不等式不成立;当﹣3<x<﹣1时,不等式化为﹣(x+1)﹣(x+3)≤1,解得﹣≤x<﹣1;当x≥﹣1时,不等式化为(x+1)﹣(x+3)≤1,不等式必成立.综上,不等式的解集为[﹣,+∞).…(Ⅱ)当x∈[0,3]时,f(x)≤4即|x﹣a|≤x+7,由此得a≥﹣7且a≤2x+7.当x∈[0,3]时,2x+7的最小值为7,所以a的取值范围是[﹣7,7].…22.(本小题满分13分)汽车租赁公司为了调查A,B两种车型的出租情况,现随机抽取了这两种车型各100辆汽车,分别统计了每辆车某个星期内的出租天数,统计数据如下表:A型车出租天数1234567车辆数51030351532B型车出租天数1234567车辆数1420201615105
(I)从出租天数为3天的汽车(仅限A,B两种车型)中随机抽取一辆,估计这辆汽车恰好是A型车的概率;(Ⅱ)根据这个星期的统计数据,估计该公司一辆A型车,一辆B型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率;(Ⅲ)如果两种车型每辆车每天出租获得的利润相同,该公司需要从A,B两种车型中购买一辆,请你根据所学的统计知识,给出建议应该购买哪一种车型,并说明你的理由.参考答案:解:(I)这辆汽车是
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