江西省吉安市左安中学2023年高三数学理上学期期末试题含解析

江西省吉安市左安中学2023年高三数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知平面平面,=c，直线直线不垂直，且交于同一点，则“”是“”的

A.既不充分也不必要条件

B.充分不必要条件C.必要不充分条件

D.充要条件参考答案：D略2.已知，则“”是“”的A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件参考答案：A3.设a、b是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题错误的是（

）A．若a⊥α，b∥α，则a⊥b

B．若a⊥α，b∥a，bβ，则α⊥βC．若a⊥α，b⊥β，α∥β，则a∥b

D．若a∥α，a∥β，则α∥β参考答案：D略4.对于任意两个实数a,b定义运算“”如下：则函数的最大值为

(

)A、25B、16C、9

D、4参考答案：C略5.tan255°=A.－2－ B.－2+ C.2－ D.2+参考答案：D【分析】本题首先应用诱导公式，将问题转化成锐角三角函数的计算，进一步应用两角和的正切公式计算求解．题目较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．【详解】详解：=【点睛】三角函数的诱导公式、两角和与差的三角函数、特殊角的三角函数值、运算求解能力．6.已知数列{an}，则是数列{an}是递增数列的（

）条件A．充分不必要

B．必要不充分

C．充要

D．既不充分也不必要参考答案：B7.已知，则是（

）A.偶函数，且在(0,10)是增函数 B.奇函数，且在(0,10)是增函数C.偶函数，且在(0,10)是减函数 D.奇函数，且在(0,10)是减函数参考答案：C【分析】先判断函数的定义域关于原点对称，再由奇偶性的定义判断奇偶性，根据复合函数的单调判断其单调性，从而可得结论.【详解】由，得，故函数的定义域为，关于原点对称，又，故函数为偶函数，而，因为函数在上单调递减，在上单调递增，故函数在上单调递减，故选C.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性，属于中档题.判断函数的奇偶性首先要看函数的定义域是否关于原点对称，如果不对称，既不是奇函数又不是偶函数，如果对称常见方法有：（1）直接法，(正为偶函数，负为减函数)；（2）和差法，（和为零奇函数，差为零偶函数）；（3）作商法，（为偶函数，为奇函数）.8.已知F是双曲线（a＞0，b＞0）的左焦点，E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围为

A．（1，＋∞）

B．（1，2）

C．（1，1＋）

D．（2，1＋）参考答案：B9.某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是（）A.

B.4

C.2

D.参考答案：B略10.已知函数f(x+1)是奇函数，f(x－1)是偶函数，且f(0)＝2，则f(4)＝（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设若向量满足，则的最大值是

.参考答案：12.近年来，孩子的身体素质越来越受到人们的关注，教育部也推出了“阳光课间一小时”活动．在全社会关注和推进下，孩子们在阳光课间中强健体魄，逐渐健康成长．然而也有部分家长对该活动的实际效果提出了质疑．对此，某新闻媒体进行了网上调查，所有参与调查的家长中，持“支持”“保留”和“不支持”态度的人数如下表所示：

支持保留不支持30岁以下80045020030岁以上（含30岁）100150300在“不支持”态度的家长中，用分层抽样的方法抽取5个人看成一个总体，从这5个人中任意选取2人，则至少有1人在30岁以下的概率为．参考答案：略13.若实数x，y满足－1＜x＋y＜4，且2＜x－y＜3，则p＝2x－3y的取值范围是________．参考答案：略14.已知集合,，若=，R，则的最小值为

.参考答案：略15.已知向量,，，若，则=

.参考答案：2

16.边长为2的等边△ABC的三个顶点A，B，C都在以O为球心的球面上，若球O的表面积为，则三棱锥O-ABC的体积为

．参考答案：设球半径为，则，解得．设所在平面截球所得的小圆的半径为，则．故球心到所在平面的距离为，即为三棱锥的高，所以．答案：

17.在平面四边形ABCD中，点E，F分别是边AD，BC的中点，且，EF=1，．若，则的值为

． 参考答案：【考点】平面向量数量积的运算． 【分析】画出图形，结合图形，先求出的值，再利用=15，即可求出的值． 【解答】解：如图所示， 设AB∩DC=O，∵=++=+，=++=+， 两式相加得=； ∵AB=，EF=1，CD=， 平方得1=； ∴=﹣； 又∵=15， 即（﹣）（﹣）=15； ∴﹣﹣+=15， ∴+=15++， ∴=（﹣）（﹣）=﹣﹣+ =（15++）﹣﹣ =15+（﹣）+（﹣） =15++ =15+（﹣） =15+ =15﹣ =15﹣（﹣） =． 故答案为：． 【点评】本题考查了两个向量的加减运算的应用问题，也考查了平面向量的几何意义以及平面向量的数量积的应用问题，是综合性题目． 三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（12分）甲有一个箱子，里面放有x个红球,y个白球(x,y≥0,且x+y=4)；乙有一个箱子，里面放有2个红球，1个白球，1个黄球.现在甲从自己的箱子里任取2个球，乙从自己的箱子里在取1个球，若取出的3个球颜色全不相同，则甲获胜.

（1）试问甲如何安排箱子里两种颜色的个数，才能使自己获胜的概率最大？

（2）在（1）的条件下，求取出的3个球中红球个数ξ的数学期望.参考答案：解析：（1）…………2分．；∵x,y∈N且x+y=4∴，当且仅当x=y=2时“=”成立所以当红球与白球各2个时甲获胜的概率最大…………6分．（2）…………7分．…………10分所以…………12分19.（12分）如图，三棱锥P﹣ABC中，底面ABC是边长为2的正三角形，PA⊥PC，PB=2．（1）求证：平面PAC⊥平面ABC；（2）若，求三棱锥P﹣ABC的体积．

参考答案：（1）取AC的中点O，连接BO，PO.因为ABC是边长为2的正三角形，所以BO⊥AC，BO=.因为PA⊥PC，所以PO=.因为PB=2，所以OP2+OB2=PB2，所以PO⊥OB.因为AC，OP为相交直线，所以BO⊥平面PAC.又OB?平面ABC，所以平面PAB⊥平面ABC．.................................................6分（2）因为PA=PC，PA⊥PC，AC=2，所以.由（1）知BO⊥平面PAC.所以.

.................................................12分20.在平面直角坐标系xOy中，椭圆的上顶点为A，左、右焦点分别为F1，F2，直线AF2的斜率为，点P，Q在椭圆E上，其中P是椭圆上一动点，Q点坐标为.(1)求椭圆E的标准方程；(2)作直线l与x轴垂直，交椭圆于H，K两点（H，K两点均不与P点重合)，直线PH，PK与x轴分别交于点M，N.求的最小值及取得最小值时点P的坐标.参考答案：（1）（2）的最小值为，此时点P的坐标为或【分析】（1）根据直线的斜率求得，将点坐标代入托运方程，解出的值，进而求得的值以及椭圆方程.（2）设出三个点的坐标，由直线的方程求得点坐标以及,由直线的方程求得点坐标以及.利用基本不等式求得的最小值.根据基本不等式等号成立的条件以及绝对值的性质，求出点的坐标.【详解】(1)由直线的斜率为可知直线的倾斜角为.在中，,于是,椭圆将代入得所以，椭圆E的标准方程(2)设点.于是，直线,令,所以

直线，令，所以

又.代入上式并化简即，

当(即)时取得最小值，（Ⅰ）时，化简得根据题意：，若亦与题意不符，所以，此时或（Ⅱ）时，化简得将代入并化简得：根据题意：，若，而所以不成立，即不成立综上，或，点P的坐标为或【点睛】本小题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线斜率的概念，考查直线和椭圆的位置关系，考查直线方程以及利用基本不等式求最小值的方法，运算量较大，属于难题.21.（12分）已知向量.是否存在实数若存在，则求出x的值；若不存在，则证明之.参考答案：解析：

22.已知数列是公差为2的等差数列，其前项和为，且成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）求的前项和参考答案：（Ⅰ）因为、、成等比数列，所以，

┄┄┄2分