2019年数学高考真题卷-浙江卷文数（含答案解析）

2019年普通高等学校招生全国统一考试・浙江卷

数学

本试题卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.

参考公式：

若事件A,8互斥，则

柱体的体积公式

产(4+8)=P(A)+P(8)

V=Sh

若事件A,B相互独立，则

其中S表示柱体的底面积，〃表示柱体的高

P(AB)=尸(A)P(B)

锥体的体积公式

若事件A在一次试验中发生的概率是p,则n次独立

V=-Sh

3

重复试验中事件A恰好发生k次的概率

其中S表示锥体的底面积，〃表示锥体的高

p“(z)=cM*(i-

球的表面积公式

p)"«出=0,12…㈤

5=4jt/?2

台体的体积公式

球的体积公式

丫=泅+医豆+豆)力

V=-7t/?3

3

其中Si,S2分别表示台体的上、下底面积也表示台体

其中R表示球的半径

的高

选择题部分(共40分)

一、选择题:本大题共10小题,每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知全集。={-1,0,1,2,3},集合4={0,1,2},8={-1,0,1},则((：［4)门8=

A.{-1}B.{0J}

C.{-1,2,3}D.{-l,0,l,3}

2.渐近线方程为x±y=0的双曲线的离心率是

A.—B.lC.V2D.2

2

x-3y4-4>0,

3.若实数%y满足约束条件3%-y-4<0,则z=3x+2y的最大值是

%+y>0,

A.-lB.lC.10D.12

4.祖随是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幕势既同，则积不容异”称为祖眶原理，利

用

该原理可以得到柱体的体积公式V样体=助,其中S是柱体的底面积也是柱体的高.若某柱体

的三视

图如图所示（单位:cm）,则该柱体的体积（单位:cn?）是

的视图

A.158

B.162

C.182

D.324（第4题图）

5.设。>0力>0,则“《+后4”是“侬4”的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

6.在同一直角坐标系中，函数产2,y=log”（x+，a>0,且存1）的图象可能是

B

7.设0<"1.随机变量X的分布列是

X0a\

111

“333

则当a在（0,1）内增大时，

A.D（X）增大B.D（X）减小

C.£>（X）先增大后减小D.D（X）先减小后增大

8.设三棱锥MA8C的底面是正三角形,侧棱长均相等/是棱以上的点（不含端点）.记直线PB与直线4c所成

的角为a,直线PB与平面ABC所成的角为人二面角P-AC-B的平面角为力则

A.6v%a<yBfva/vy

C.p<a,y<aD.a<^,y</i

x,x<0,

13_A（i）2>o若函数y=./W-办m恰有3个零点，则

{Xa+x+axx

B.aV-1力>0

C.a>-1/<0D.a>-\力>0

10.设a,b£R,数列｛斯｝满足0=〃,〃〃+i=a>Z?,〃£N*4iJ

A.当人=：时,aio>lOB.当6=洒必0>10

C.当。=-2时,0o>lOD.当6=-4时必0>10

非选择题部分（共110分）

二、填空题:本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.

1L复数z=*（i为虚数单位），则|z|=.

12.已知圆C的圆心坐标是（0M）,半径长是二若直线2%->3=0与圆C相切于点4（2-1）,则

tn=,r=.

13.在二项式（或+x）9的展开式中，常数项是，系数为有理数的项的个数是.

14.在△A8C中,NABC=90。/B=4,BC=3,点。在线段AC上.若NBQC=45。,贝IJ

BD=,cosZ.ABD=.

Y2y,2

15.已知椭圆产■=1的左焦点为凡点P在椭圆上且在x轴的上方.若线段PF的中点在以原点O为圆心,|0月

为半径的圆上，则直线PF的斜率是.

16.已知46R,函数於）=/-工若存在rGR,使得附+2）次怵|,则实数a的最大值是.

17.已知正方形A8C£>的边长为1.当每个九（i=l,2,3,4,5,6）取遍±1时，出前+石而+於而+入苏?+为正+〃而I的最

小值是，最大值是.

三、解答题:本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

18.（本题满分14分）设函数y（x）=sinx/£R.

（I）已知。引0,2兀），函数兀叶。）是偶函数，求。的值；

（II）求函数y=Wx+^）］2+［f（x+^）］2的值域.

19.(本题满分15分)如图，已知三棱柱ABC-48C1,平面AiACGJ_平面

ABC,NABC=9(F,NBAC=3()o,A|A=AiC=AC,E,F分别是ACABi的中点.

(I)证明:EFJ_8C;

（H）求直线EF与平面4BC所成角的余弦值.

（第19题图）

20.（本题满分15分）设等差数列｛斯｝的前〃项和为S”,。3=4,四=53.数列｛儿｝满足:对每个

neN*,S“+仇$+|+狐S“+2+5成等比数列.

（1）求数列｛〃“｝,｛%”｝的通项公式;

(Il)i己c„=6N*,证明:ci+。2+…+cn<2y/n,n6N*.

21.（本题满分15分）如图,已知点尸（1,0）为抛物线丁=2*伪＞0）的焦点.过点下的直线交抛物线于A,B两点，点C

在抛物线上，使得AA8C的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点。，且0在点F的右侧.记△AFG,ACQG的

面积分别为

（I）求,的值及抛物线的准线方程；

（n）求金的最小值及此时点G的坐标.

(第21题图)

22.(本题满分15分)已知实数〃用,设函数f(x)=ainx+Vl+x,x>0.

(1)当〃=如，求函数段)的单调区间；

(II)对任意£,+8)均有©若，求a的取值范围.

注:e=2.71828…为自然对数的底数.

1234567891011121314151617

ACCBADDBCA日一2遍呼呼当任|

1.A【考查目标】本题主要考查集合的交、补运算，考查考生对基础知识的掌握情况.

【解析】由题意可得C〃={-1,3},则(CuA)CB={-l}.故选A.

2.C【考查目标】本题主要考查双曲线的离心率，考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是数学运算.

【解析】因为双曲线的渐近线方程为x与=0,所以无论双曲线的焦点在x轴上还是在y轴上,都满足所

以。=夜4所以双曲线的离心率e=£=VI故选C.

a

［易错警示】焦点在x轴上的双曲线悬1=1(“>0力>0)的渐近线方程为产±5;焦点在y轴上的双曲线券

2

■=1伍>0力>0)的渐近线方程为尸4X.

3.C【考查目标】本题主要考查简单的线性规划知识，考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是直观

想象、数学运算.

［解析】作出可行域如图中阴影部分所示，数形结合可知,当直线z=3x+2)•过点(2,2)时,z取得最大

值,2吨=6+4=10.故选C.

4.B【考查目标】本题主要考查空间几何体的三视图及体积，考查考生的空间想象能力及运算求解能力，

考查的核心素养是直观想象、数学运算.

【解析】由三视图可知，该几何体是一个直五棱柱，所以其体积V=|x(4x3+2x3+6x6)x6=162.故选B.

【思维拓展】本题计算柱体的底面积时,因为是五边形，所以可以将五边形分为三个不同的三角形,通过计

算三角形的面积求得五边形的面积.

5.A【考查目标】本题主要考查充分条件、必要条件，考查考生分析问题的能力，考查的核心素养是逻辑

推理.

【解析】通解因为〃>0力>0,所以“+拒由〃+后4可得2VH后4,解得“*4,所以充分性成立;当〃区4

时，取“=8/三，满足小4,但a+b>4,所以必要性不成立,所以“+后4”是“说4”的充分不必要条件.故选A.

优解在同一坐标系内作出函数以4//二的图象，如图，则不等式〃+后4与〃妇4表示的平面区域分别是直

线“+6=4及其左下方(第一象限中的部分)与曲线6=士及其左下方(第一象限中的部分),易知当〃+后4成立

a

时M后4成立，而当ab<4成立时,。+后4不一定成立.故选A.

6.D【考查目标】本题主要考查函数图象的识别，考查的核心素养是直观想象.

【解析】通解若1,则函数y4是增函数,y=l。&(*)是减函数且其图象过点(翔,结合选项可知，选

的图象.故选D.

优解分别取“W和。=2,在同一坐标系内画出相应函数的图象(图略)，通过对比可知选D.

7.D【考查目标】本题主要考查随机变量的分布列及期望、方差，考查考生的运算求解能力，考查的核心

素养是数据分析、数学运算.

【解析】由题意可得,E(X)』a+l),所以皂誓+富+智=丝笠4332+为所以当〃在(0#内

增大时Q(X)先减小后增大.故选D.

【方法总结】先求期望，将方差表示为关于。的二次函数，再利用二次函数在给定区间的单调性，判断方差

取值的增减性.

8.B【考查目标】本题主要考查空间中直线与直线、直线与平面所成的角及二面角的大小，考查考生的

空间想象能力及分析问题、解决问题的能力，考查的核心素养是直观想象、逻辑推理.

【解析】由题意，不妨设该三棱锥的侧棱长与底面边长相等,因为点尸是棱E4上的点(不含端点)，所以直线

PB与平面ABC所成的角4小于直线V8与平面ABC所成的角,而直线Y8与平面ABC所成的角小于二面角

P-AC-B的平面角y,所以夕勺;因为ACu平面ABC,所以直线PB与直线AC所成的角a大于直线PB与平面

A8C所成的角夕，即a>A故选B.

9.C【考查目标】本题主要考查函数的零点，考查数形结合思想及函数与方程思想,考查考生的运算求解

能力，考查的核心素养是直观想象、逻辑推理.

【解析】由题意可得，当x>0时&)-加。=炉二(a+l)/也令y(x)-ar-b=O,则

32326

为对任意的xGRAx)-arf=0有3个不同的实数根，所以要使满足条件，则当这0时为=决3-33+1)］必须有2

个零点，所以曹父>0,解得.所以“0.故选C.

10.A【考查目标】本题主要考查数列的综合应用，考查考生分析问题与解决问题的能力、运算求解能力,

考查化归与转化思想，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算.

【解析】当时，因为a〃+i=W+/所以。2*又4〃+1=成+扣%",故

a9>a2X(V2)7>ix(V2)7=4V2,aio>ag>32>10.3时,如微产,故ai=a=［时,aio=［，所以«IO>1O不成立.同

理b=-2和b=-4时，均存在小于10的数沏，只需4］=。=乂),则0o二冗o〈lO,故«IO>1O不成立,所以选A.

11.日【考查目标】本题主要考查复数的运算及复数的模,考查考生的化归与转化能力、运算求解能力，

考查的核心素养是数学运算.

【解析】通解Z=M=］噌，所以|Z|=J("2+(一)坐

优解团=&=忌=七=当

12.-2V5【考查目标】本题主要考查圆的标准方程及直线与圆的位置关系,考查考生的推理论证能力、

运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算.

【解析】解法一设过点A(-2,-l)且与直线2x-y+3=0垂直的直线方程为/:x+2y+r=0,所以-2-2+r=0,所以

f=4,所以/:x+2y+4=0.令x=0,得，〃=-2,则r=yj(-2-0')2+(-1+2)2=V5.

解法二因为直线2x-y+3=0与以点(0,㈤为圆心的圆相切，且切点为4-2,-1),所以4三x2=-l,所以〃?=-

0-(-2)

2,r=V(-2-0)2+(-1+2)2=V5.

13.16夜5【考查目标】本题主要考查二项式定理的应用，考查考生的运算求解能力及分析问题、解决

问题的能力，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算.

【解析】该二项展开式的第k+\项为。+产己(或)9-1式当％=()时，第1项为常数项,所以常数项为

(夜)9=16夜;当k=l,3,5,7,9时,展开式的项的系数为有理数，所以系数为有理数的项的个数为5.

14.早%【考查目标】本题主要考查正弦定理、两角和的正弦公式及诱导公式，考查考生的化归与

转化能力、运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算.

【解析】在RSABC中，易得AC=5,sinC嗯=/在48c。中,由正弦定理得

BD=—^^：y.sinZBCD=-^^=^~.sinZDBC=sin［n-

~2

(NBC£>+N2OC)］=sin(N8C£>+N8OC)=sinN8CZ)cosN2OC+cosNB8sinN2£)cWx¥+|x¥=*^

4如/。/吟所以c"AM=sinNOBC号.

15.<15【考查目标】本题主要考查圆的标准方程、椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系,考查考

生的逻辑推理能力、运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算.

【解析】通解依题意，设点尸(八〃)(〃>0),由题意知F(20),所以线段FP的中点M(竽,会在圆1+产=4上，

所以(昔12+锣=4,又点尸(〃7,〃)在椭圆>"］上，所以今_+^_=］，所以4瓶2-36"?-63=0,所以,〃=-|或成好(舍

优解如图，取P尸的中点M连接0M,由题意知|0M=|0Q=2,设椭圆的右焦点为Q,连接「尸1,在4PFFi

中,0M为中位线，所以|PFi|=4,由椭圆的定义知|PQ+|PQ|=6,所以|PF|=2.因为M为PF的中点，所以|MQ=1.在等

.---V2

腰三角形OMF中，过。作于点"，所以|。川=，所以kpF=tanNHFO=V~=JI^.

16.1【考查目标】本题主要考查函数的最值、绝对值不等式的解法，考查考生的逻辑推理能力、化归与

转化能力、运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算.

［解析】加+2）加=3什2）3-（什2）］-（"力=2。（3尸+6什4）2因为存在七R,使得代+2）的）|号所以-

乏2a（3尸+6什4）-24有解.因为3尸+6/+43,所以有解，所以〃工荻捻而】所以〃

3(3t2+6t+4)-----3(3t2+6t+4)

的最大值为*

17.02V5【考查目标】本题主要考查平面向量的线性运算、平面向量的模，考查考生分析问题、解决

问题的能力及运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、直观想象和数学运算.

【解析】以点A为坐标原点力B所在直线为x轴,AO所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图，则

4。，。）旗1,0）,C（1』）,。（0,1）,所以A1AB+A2BC+A3CD+I4DA+心4。+/心口。=（九加+0-右上山+4+久\所以当

E可:个中=?时可取4|=后=1,25=26=1/2=-1&=1,此时|21荏+22而+233+/1万?+江桁+76的取得最

小值0；取九=123=-1，5=26=1力=1九=1则I九荏+入2近而+小方+义5m+〃前I取得最大值用■中=2遍.

18.【考查目标】本题主要考查三角函数的性质、三角恒等变换，考查考生的逻辑推理能力及运算求解能

力，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算.

【解题思路】（I）利用函数式X+6）是偶函数，化简得到cos，=0,然后结合6的取值范围，求得。的值;（H）利

用二倍角公式及辅助角公式，将函数化简，然后得函数的值域.

解:（I）因为7（x+6）=sin（x+6）是偶函数，所以，对任意实数x都有

sin（x+0）=sin（-x4-0）,

BPsinxcos8+cosxsin0=-sinxcos6+cosxsin6、

故2sinxcos夕=0,所以cos8=0.

又。引0,2兀）,因此eq或学

（11）严贺呜）］2+血+河

=sin2(x+—)+sin2(x+-)

=1—^cos(2x+-).

因此，函数的值域是口岸1+?

【名师指导】三角函数问题，重点在于根据三角恒等变换，将函数化为“一角一函数”的形式，然后利用整体

代换以及三角函数的有界性求解，要注意利用诱导公式、两角和与差的三角公式、二倍角公式以及辅助角公

式等,以此达到化简函数解析式的目的.

19.【考查目标】本题主要考查空间直线与直线垂直的证明及直线与平面所成的角,考查考生的空间想象

能力、推理论证能力、运算求解能力，考查的核心素养是直观想象、逻辑推理、数学运算.

【解题思路】解法一（I）通过添加辅助线，利用等腰三角形三线合一，得到线线垂直，然后根据面面垂直

的性质，得到直线与平面垂直，从而得到线线垂直，最后利用线面垂直的判定与性质证明结果;（n）利用垂直，找

到直线在平面上的射影，结合定义，确定直线与平面所成角，结合余弦定理,求得直线与平面所成角的余弦值.

第19题图

解法二（I）建立空间直角坐标系，利用直线的方向向量垂直证明线线垂直;（II）计算得到直线的方向向量与

平面的法向量，利用向量求得直线与平面所成角的正弦值，然后求得余弦值.

解:解法一（1）如图，连接4E,因为4A=4C,E是AC的中点，所以AiELAC.

又平面AiACC」平面ABCAEu平面AiACCi,平面AiACCQ平面ABC=AC,所以AE_L平面ABC,则

AiEIBC.

又因为A।AB,ZABC=90。，故8C_LAiF.

所以BC_L平面4EF.

因此EFJ_BC.

（II）取BC的中点G,连接EG,GF,则EGEAi是平行四边形.

由于AiEL平面ABC,故4ELEG,所以平行四边形EGFA\为矩形.

连接4G交E尸于。，由（/）得8CJ•平面EGF4,则平面4BCJ_平面EGE41,所以£尸在平面4BC上的射影

在直线4G上.

则ZEOG是直线EF与平面A18C所成的角（或其补角）.

不妨设AC=4,则在RtAA\EG中AE=2b,EG=VI

由于。为AiG的中点，故比＞=06=竽=孚，

EO2+OG2-EG23

所以cosZEOG=-

2EOOG5*

因此，直线EF与平面MBC所成角的余弦值是|.

解法二（I）连接4E,因为A/=4C,E是AC的中点，

所以AiELAC.

又平面4ACG_L平面ABC/iEu平面AiACG,

平面AiACGCl平面ABC=AC,所以,AiE_L平面ABC.

如图，以点E为原点，分别以射线ECE4为y,z轴的正半轴，建立空间直角坐

标系E-xyz.

不妨设AC=4,则Ai(0,0,2V3),B(V3,l,0),Bi(V3,3,2V3),F(y,1,2V3),C(0,2,0).

因此前=(奈|,2%),或=(-b,1,0).

由丽•就=0得EF_L8C.第19题图

(II)设直线EF与平面A山C所成角为0.

由(I河得配=(-71,1,0),#=(0,2,2/5).

设平面4BC的法向量为〃=(x,y,z).

由"n=0,得卜个+y=0,

(>l1C-n=0,\y-\[3z—0.

取〃=(1,V5,D,故

Fn

sin^=|cos<EF,n>|=-2f

例一|n|5

因此，直线E厂与平面ABC所成角的余弦值为之

20.【考查目标】本题主要考查等差数列、等比数列、数学归纳法等，考查考生的逻辑推理能力及运算求

解能力，考查的核心素养是数学运算、逻辑推理.

【解题思路】（I）利用43=4,44=S3,建立首项与公差之间的方程，进而求得数列｛〃“｝的通项公式及其前"项

和,然后利用等比中项建立方程，求得数列仍“｝的通项公式;（II）利用数学归纳法，结合放缩法证明不等式.

解:（I）设数列｛斯｝的公差为d,由题意得

+2d=4,0+3d=3〃i+3d,

解得a\=0,4/=2.

从而&=2〃・2,九WN*.

所以S.二〃2-〃,〃WN*.

由+而S?+2+〃〃成等比数列得

⑸+]+仇）2=（S〃+b〃）（S〃+2+儿）.

解得仇q（sMi$s“+2）.

2

所以Z?w=n+/7,n^N*.

2n-2

(II)c=需产N*.

n嬴2n(n+l)

我们用数学归纳法证明.

⑴当72=1时,C]=0<2,不等式成立；

⑵假设〃=时不等式成立，即

+。2+…+以<2V^,

那么,当片女+1时,

C\+。2+…+Q4-Q+j<2Vfc+J晨扁<2aJ^<2%+而丘=2例+2（亚百向=2再兀

即当〃=/+1时不等式也成立.

根据（1）和⑵,不等式。+。2+...+。"<2近对任意〃eN*成立.

【归纳总结】数列的考查以等差数列与等比数列的综合为主，根据条件，可以利用基本量法计算得到相关

数列的首项及公差（公比），求得数列的通项公式或前〃项和;也可以利用数列的相关性质，求解通项公式或前W

项和;放缩法是证明数列不等式的一种重要方法，要注意根据所给条件的特征及结论要求，合理放缩，证明不等

式成立.证明数列不等式成立，采用数学归纳法也是一种不错的选择,希望大家能够掌握并应用.

21.【考查目标】本题主要考查抛物线的标准方程及直线与抛物线的位置关系，考查考生的逻辑推理能力

及运算求解能力，考查的核心素养是数学运算.

【解题思路】（I）根据点F是抛物线的焦点，求得p的值及抛物线的准线方程;（H）取点A的纵坐标,求出其

横坐标，表示出直线AB的方程，代入抛物线方程,利用根与系数的关系求得点8的坐标，然后根据重心的位置，

求得点C的坐标，再求得直线AC的方程，得到点Q的坐标，进而求出Si,S的比值的表达式，结合基本不等式求

得面积比值的最小值以及此时点G的坐标.

解:(I)由题意得齐1,即0=2.

所以,抛物线的准线方程为x=-1.

(II)设A(XAM),B(x&yB),C(xc,yc),重心G(XGJG).令％=2f,伏)厕心=尸.由于直线AB过点F,故直线AB的方程为

》=弟+1，代入广飘,得

22(t2-l).

y-土y-4=0n,

故2/)%=-4,即泗=・*所以仇云・3).

又由于XG=|(X4+X8+XC),”；=米为+切+)()及重心G在X轴上，故

2

2t--+yc=0,

得C((%)2,2(%)),G(生善工0).

所以，直线AC的方程为＞2=2心＞产),得。(产-