等比数列教案Word版

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课时时长（分钟）教学目标教学重点教学难点

nnnn教学过程一、复习预习上节课我们学习了等差数列的基本概念及性质，接下来请同学们回忆一下：1、等差数列的定义；2、等差数列的通项公式；3、等差数列的性质；4、判断等差数列的方法；5、等差数列的前n项公。1/16

二、知识讲解1.等比数列的定义若数列

{}

对

anan

（常数

{}

叫做等比数列。

叫做公比，它可以是正数，也可以是负数，但不能为零。根据这个定义，立刻可以得到下面的四个结论：（1）

0,对

a

；a（2）或q

{a}

递增，

a或0

{a}

递减；（3）（4）

q

{a}{a}

为常数数列；为摆动数列。2.比数列的通项公式等比数列的通项公式:

(其中

是首项，

是公比。由于

aqn1

n

可以整理为

q

a，因此，等比数{}即{q

}

中的各项所表示的点

(,kqn)

离散的分布在第一象限或第四象限中

ak1q

并且这些点都在函数ykq

(

的图像上是由于这一点助于指数函数

yxq

的性质实施对等比数列的研究，已经成为一种趋势或方向足见函数与数列有机结合的重要性和可行性。3.比中项若

a,G,b

成等比数列，那么G叫与的等比中项，且Gab，Gab

。只有同号的两个数才有等比中项，等比中项有两个，它们互为相反数，这一点与等差中项不同。Gab

仅是成等比数列的必要条件，不是充分条件。如

G

。

为了计算方便连奇数个数成比数列可设为

x

同连续偶数个数成等比数列，可设为

x,,xq3

。4.比数列的判定方法（1）

a

aq(0,0,n

{}

是等比数列。（2）

acq(cq0,n{}

是等比数列。（3）

a

(

n{}

是等比数列。5.比数列的前n项的和的公式等比数列的前

项的和的公式是

a1

)

(其中

是首项，

q

是公比，

q

)。6.比数列的性质若

{}

是公比为

q

的等比数列，则有以下性质：（1）公比为q的等数列同乘以一个不为零的数，得数列仍是等比数列，公比仍为

q

。（2）

an

n

(n

)（3）公比为q的比数列，从中取出等距离的项组成一个新数列，仍是等比数列，其公比为qm，中，m为等距离的项数之差（4）

m

个等比数列，它们的各对应项之积组成一个新数列，仍是等比数列，其公比为原各数列公比之积。（5）在等比数列

{}

中，若有

，则有

amnp

k三、典型例题精析【例题1】等比数列{的前

项和为S，知＝6,6＋＝30求a

和S.【答案】＝3＝2＝3×2S＝3×(2－1)；当＝2＝3时a＝2×3，S＝3－1.

9)9)【解析】{

a}公比为q，由题设

＝30.

解得

a，q

或当＝3＝2时，＝3×2，＝3×(2－1)n当＝2＝3时，＝2×3，＝3－1.n【例题2】知数列}是公差不为零的等差数列，＝2，，(1)求数列}的通项公式；(2)求数列3的前n项．【答案】(1)＝2(∈N)；＝(9－1)8【解析】(1)设差数列a的公差为d(d≠0)因为，，等比数列，所(2＋3)＝(2)·(2＋7d)，解得＝2.所以＝2(∈N．(2)由(1)知3＝3，设数{3a}的n项为Snn

成等比数列．9则＝3＋3＋…＋3＝

1－91－9

9＝(9－1)．8【例题3】知数列}的前n

项和为S且a＋S＝.nn(1)设＝a－1，求证：c}等比数列；n(2)求数列}的通项公式．【答案】(1)略＝＋1＝1－n

(.【解析】(1)证：∵a＋＝，①∴＋S＝＋1.na－11②－①得a－a＋＝1∴2a＝＋1－1)＝－1，∴＝a211∵首项c＝－1，又＋＝1，∴＝，＝－.2211又＝－1，{c}是以－为首项，为公比的比数列．22(2)由(1)可知c＝()·()＝()，＝＋1＝1－().

aa四、课堂运用【基础】1、设数列}是等比数列，前n项和为S，若S＝3，则公比q为)11A．－B．－或12【答案】【解析】当＝1时，满足S＝3＝3aa1－当≠1时＝＝(1＋＋)＝3a，1－11解得＝－，综q＝－或q＝1.故22

D.

14S2、设数列}满足：＝a≠0)(∈N，且前项为S，则的值()nnA.

152

15B.4

．4

D【答案】a1－2S1－2【解析】题意知，数{}是为公的等比数列，故＝aa×2

15＝.故选A.23、公比为2的比数列a的各项都是正数，且＝16则log＝()A【答案】

B．6D．7【解析】a·

＝16，∴

＝16.又∵等比数{的项都是正数，∴＝4.又∵a＝aq＝4×2＝2，∴loga＝5.选4、已知各项不为的等数{a}，足2a－，列{}等比数列，且bna则bb＝________.【答案】【解析】题意可知，bb＝＝＝2(a＋)＝4a，∵≠0，＝4∴b＝16.

qaa2n(1)1114aaa1a－logqaa2n(1)1114aaa1a－logn5、等比数列{a}的前项为S，比不为1.若a＝1，则对任意的n∈N，有＋n

－2a＝0，则S＝________.【答案】【解析】题意知a＋－2a＝0设公比为q，则(

＋－2)＝0.

＋－2＝0解得a1－q＝或＝1(去，则S＝1－

1－－2＝3

＝11.1116{是公比为2的等比数列a＝6a＝_______；＋＋…＋＝_______.a【答案】；

11(13n

)【解析】}是公比为2的比数列，且－，－

＝6，即a＝2故＝

1＝2，∴＝

1()，＝()，n1即数列

11是首项为，公比为的比数列441(1)∴＋＋＋＝＝.14【巩固】1、已知函数f()＝logx，且所有项为正数的无数{}足loga－log＝2则数a列}()A．一定是等比数列．一定是等差数列C．既是等差数列又是等比数列．既不是等差数列又不是等比数列【答案】a【解析】log＝2得log＝2＝loga，＝a.又>0a≠1，以an数列{为等比数列．故选A.2、各项均为正数的等比数列{a的前项为，若＝2，S＝14则S等于()nnnA．80【答案】

B．30．26．16

【解析】选B设＝，＝，等比数列的性质知：n2(14－)＝(－2)，得＝6＝－4(去)，同理(－2)(－14)－6)，以＝＝30.故选B.1m3已知方程x－＋2)(－＋2)的四个根组成以为项的等比数列则＝(2A.

32

322B.或C.233

D．以上都不对【答案】【解析选B设

是方程－＋2)(

－＋2)＝0的四个根妨<<<，1则a·＝·＝2＝，故＝4，根据等比数列的性质，得到c＝1，＝2则＝＋2993m＝，＝＋＝3，或＋＝3＝＋＝，则＝或＝故选B.222n34、设数列}的前n项为S，其中a≠0a常数，且，，成差数列．nn(1)求a}通项公式；(2)设＝1S问：是否存在a，数{b为等比数列？若存在，求出a的；若nn不存在，请说明理由．【答案】(1)＝·3(∈N)）存在a＝－2，使数列b}等比数列．【解析】(1)依意，得2S－

.－，当≥2时，

两式相减，得a＝3(≥2)n又因为a＝2＋，≠0所以数{}是首项为a，公为3的等比数．nn因此，＝·3(∈N)．a1－3(2)因为S＝1－3

1111＝a·3ab＝1－S＝1a－22221要使{为等比数列，当且仅当1＋a，即a＝－2.2所以存在a＝，数列{b为等比数列．5、已知等差数{的前5项和为105，a＝2.(1)求数列}的通项公式；(2)对任意m∈N列中不大于7

的项的个数记为b.求数{的前m项和S.m

75×5275×52【答案】(1)＝7(∈N)）＝

－7.48【解析】(1)设列}的公差为，前n项和为T，n由＝105＝2a，＋d＝105，得＋9＝2＋4d，

解得＝7d＝7.因此＝＋(－1)＋7(－1)n(∈N．(2)对∈N，an，n≤7

.因此＝7

.所以数列{b是首项为7，比49的比数列，b1－7×1－497×7－17－7故＝＝＝＝.1－1－494848【拔高】1比qq>0)的等比数列{a}的前n项为S＝3＋2＝3＋2qn3【答案】2【解析】一

＝

＋＋＝3a

＋2＋a＋＝3a＋2，将a＝q，＝

代入得，3＋2＋q＋a＝3a＋2，化简得2

－，3解得＝＝－1不题意，舍去)．2法二：设等比数{}的首项为a，由S＋2，得a＋)＝3＋2.由＝3＋2，得a(1q)(1q)＝3aq②由②－①得a

3(1＋q)＝3q(－1)∵>0，∴＝.22、已知数列{a}的前项为，＝4－3(∈N)．nn(1)证明：数列{a}是等比数列；(2)若数列}满足b＝＋bn∈N)，且b＝2求数{b的通项公式．nnn【答案】(1)略＝3·(

43

)

－1.【解析】(1)证：依题意S＝4a－3(∈N，＝1时，＝4－3，解得a＝1.因为＝4，Sa－3(n≥2)所以当n≥2时，＝＝4－4a，n44整理得aa又a＝1，所以是首项为1，公比为的比数列．3

bb(2)因为a＝

()

，由＝＋n∈N)，得b－＝nnn

()可得＝＋(－＋(b－)…＋(－＝2＋

41)3413

()

－1(n≥2)，当＝1时也满足，所以数{b}通项公式为＝3·n

()

－1.3、已知等差数{的首项＝1，公差d，且第2项第5项第14项别等比数列}的第2项、第项、第项．(1)求数列}与{}的通项公式；c(2)设数列}对∈N均有＋＋＋＝成，求＋c＋＋….bb【答案】(1)＝2－1，＝3）3

.【解析】(1)∵

＝1＋d，

＝1＋4，

＝1d，∴(1＋4)＝(1)(1＋13d)．d，解得＝2.∴＝1＋(－1)·2＝2－1.又＝＝3，b＝＝9，数{的公比为，b＝3·3nn

＝3

.c(2)由＋＋＋＝当≥2时，＋＋…＋＝abnc两式相减得≥2时＝－＝2.∴c＝2＝2·3(≥2)bnc又当＝1时，＝，∴＝3.∴＝∴＋＋＋＝3课程小结1、等比数列的定义；2、等比数列的通项公式；3、等比数列的性质；4、判断等比数列的方法；

6＝3＋(－3＝31

5、等比数列的前n项公。

3aaa2123aaa212课后作业【基础】1、等比数列{a}中，＝4则·等()A．4B．8．16【答案】

D．32【解析】·＝

＝16.故选C2、已知等比数{的前三项依次为－1，a＋1，＋4则＝()A．4·

()

B．4·

()n

C．4·

()

D．4·

()【答案】【解析】

＋1)＝(a－1)(＋4)a＝5，＝4＝，故a＝4·2

()

.故选C3、已知等比数{满足a＋＝3＋，则a＝()A．64

B．81．128D．243【答案】【解析】＝＝2，故＋＝3＝1＝64.故选A14、在等比数{中，若a＝，＝4，则公比＝________a＋＋…a＝________.1【答案】2－2【解析】＝，4＝，得＝2a＋＋＋＝

(1

n

)

1＝2－.25、等比数列{a}的前项为，＋3＝0，则公比q＝________.【答案】【解析】S＋3S＝0a＋＋3(＝0∴(4q＋

)

4a4a∵≠0，∴＝－2.【巩固】51、已知}为等比数列是的前n项．若＝2，a与的差中项为，则S＝()A．35．33．31．29【答案】【解析】数{

a的公比为，则由等比数列的性质知·

·

，即

＝2.55由与2a的等差中项为知a＝2×，441511∴＝2×－＝.q＝＝，＝24481161－12∴＝＝a×＝2∴a＝16，∴＝＝31.811－212、等比数列{中，＝，a＝，则公比q；|a|＋||＋＋||2_______.【答案】2

1－2【解析】等比数列{

}公比为，则a＝，入数据解得＝－8所以q＝－2；等1比数列|a|}公比为|＝2则＝×2，以＋|a＋|a|＋＋|a|＝(1＋22＋2＋…＋2

11)＝(2－1)＝2－.223、设数列}的前n项为S，＝1，且数列{S}是以2为比的等比数列．n(1)求数列}的通项公式；(2)求＋a＋…＋a

.【答案】＝

2（2）

＋13【解析】(1)∵＝1且数{

S}是以2为比的等比数列，S＝2，

又当≥2时，＝－＝2n

(2－1)＝2

.∴(2)，，，a

是以2为项，以4为比的等数列，

22222∴＋＋＋＝

1－41－4

2＝

4－13

.2∴＋＋＋＝