考研数学公式大全

高等数学公式篇

•平方关系：

sinA2(a)+cosA2(a)=1

tanA2(a)+1=secA2(a)

cotA2(a)+1=cscA2(a)

•积的关系：

sina=tana*cosa

cosa=cota*sina

tana=sina*seca

cota=cosa*csca

seca=tana*csca

csca=seca*cota

・倒数关系：

tanacota=1

sinacsca=1

cosaseca=1

直角三角形ABC中,

角A的正弦值就等于角A的对边比斜边,

余弦等于角A的邻边比斜边

正切等于对边比邻边，

・三角函数恒等变形公式

•两角和与差的三角函数：

cos(a+p)=cosacosp-sinasinp

cos(a-p)=cosacosp+sinasinp

sin(a±p)=sinacosp±cosasinp

tan(a+p)=(tana+tan3)/(1-tanatanp)

tan(a-P)=(tana-tanp)/(1+tanatan3)

•三角和的三角函数:

sin(a+p+Y)=sinacospcosY+cosasinpcosY+cosacospsinY-sinasinpsinY

cos(a+p+Y)=cosacosPcosY-cosasinpsinY-sinacosPsinY-sinasinp-cosY

tan(a+p+Y)=(tana+tanp+tanY-tana-tanptanY)/(1-tanatan|3-tanptanY-tanYtana)

・辅助角公式：

Asina+Bcosa=(AA2+BA2)A(1/2)sin(a+t),其中

sint=B/(AA2+BA2)A(1/2)

cost=A/(AA2+BA2)A(1/2)

tant=B/A

Asina+Bcosa=(AA2+BA2)A(1/2)cos(a-t),tant=A/B

•倍角公式：

sin(2a)=2sinacosa=2/(tana+cota)

cos(2a)=cosA2(a)-sinA2(a)=2cosA2(a)-1=1-2sinA2(a)

tan(2a)=2tana/[1-tanA2(a)]

•三倍角公式：

sin(3a)=3sina-4sinA3(a)

cos(3a)=4cosA3(a)-3cosa

•半角公式：

sin(a/2)=±\'((1-cosa)/2)

cos(a/2)=±V((1+cosa)/2)

tan(a/2)=±\'((1-cosa)/(1+cosa))=sina/(1+cosa)=(1-cosa)/sina

・降移公式

sinA2(a)=(1-cos(2a))/2=versin(2a)/2

cosA2(a)=(1+cos(2a))/2=covers(2a)/2

tanA2(a)=(1-cos(2a))/(1+cos(2a))

•万能公式:

sina=2tan(a/2)/[1+tanA2(a/2)]

cosa=[1-tanA2(a/2)]/[1+tanA2(a/2)]

tana=2tan(a/2)/[1-tanA2(a/2)]

•积化和差公式：

sinacosp=(1/2)[sin(a+p)+sin(a-p)]

cosasinp=(1/2)[sin(a+p)-sin(a-p)]

cosacosp=(1/2)[cos(a+p)+cos(a-p)]

sinasinp=-(1/2)[cx)s(a+P)-cos(a-P)]

•和差化积公式：

sina+sinp=2sin[(a+p)/2]cos[(a-p)/2]

sina-sinp=2cos[(a+p)/2]sin[(a-3)/2]

cosa+cosp=2cos[(a+p)/2]cos[(a-p)/2]

cosa-cosP=-2sin[(a+p)/2]sin[(a-P)/2]

,推导公式

tana+cota=2/sin2a

tana-cota=-2cot2a

1+cos2a=2cosA2a

1-cos2a=2sinA2a

1+sina=(sina/2+cosa/2)A2

•其他:

sina+sin(a+2n/n)+sin(a+2TT*2/n)+sin(a+2n*3/n)+......+sin[a+2n*(n-1)/n]=0

cosa+cos(a+2n/n)+cos(a+2n*2/n)+cos(a+2n*3/n)+.......+cos[a+2TT*(n-1)/n]=0以及

sinA2(a)+sinA2(a-2rr/3)+sinA2(a+2TT/3)=3/2

tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=O

三角函数的角度换算

[编辑本段]

公式一：

设a为任意角，终边相同的角的同•角函数的值相等：

sin(2kn+a)=sina

cos(2kn+a)=cosa

tan(2kTr4-a)=tana

cot(2kn+a)=cota

公式二

设a为任意角，n+a的三角函数值与a的三角函数值之间的关系：

sin(n+a)=—sina

cos(n+a)=-cosa

tan(n+a)=tana

cot(n+a)=cota

公式三：

任意角a'j-a的二角函数值之间的关系：

sin(-a)=—sina

cos(—a)=cosa

tan(—a)=—tana

cot(—a)=—cota

公式四：

利用公式二和公式三可以得到n-a与a的三角函数值之间的关系：

sin(n—a)=sina

cos(n-a)=-cosa

tan(n—a)=­tana

cot(n—a)=­cota

公式五：

利用公式•和公式三可以得到2n-a与a的三角函数值之间的关系:

sin(2TT-a)=­sina

cos(2n—a)=cosa

tan(2n—a)=~tana

cot(2n—a)=­cota

公式六：

Tf/2±a及3n/2±a与a的三角函数值之间的关系:

sin(n/2+a)-cosa

cos(n/2+a)=­sina

tan(n/2+a)=~cota

cot(n/24-a)=—tana

sin(TT/2—a)=cosa

cos(n/2—a)=sina

tan(n/2—a)-cota

cot(n/2—a)=tana

sin(3n/24-a)=—cosa

cos(3ir/2+a)=sina

tan(3n/2-4-a)=—cota

cot(3n/2+a)=—tana

sin(3TT/2—a)=—cosa

cos(3n/2—a)=—sina

tan(3u/2—a)=cota

cot(3n/2—a)=tana

(以上k£Z)

部分高等内容

[编辑本段]

•高等代数中三角函数的指数表示(由泰勒级数易得)：

sinx=[eA(ix)-eA(-ix)]/(2i)cosx=[eA(ix)+eA(-ix)]/2tanx=[eA(ix)-eA(-ix)]/[ieA(ix)+ieA(-ix)]

泰勒展开有无穷级数，eAz=exp(z)=1+z/1!4-zA2/2!+zA3/3!4-zA4/4!+...4-zAn/n!+…

此时•:角函数定义域已推广至整个复数集。

・3角函数作为微分方程的解：

对于微分方程组y=・y”;y=y"”，有通解Q,可证明

Q=Asinx+Bcosx,因此也可以从此出发定义Jfj函数。

补充：由相应的指数表示我们可以定义•种类似的函数一双曲函数，其拥有很多与•二角函数的类似的性质，.者相映成趣。

特殊:•角函数值

aO'30'45'60'90,

sina01/2<212弋3/21

cosa143/2<2121/20

tana0\'3/3143None

cotaNone\31\f3/30

导数公式:

1

z2(arcsinx)'

(rgx)=secxr7

(ctgx\=-esc2x

i

(arccosx)z=-

(secxY=secxtgxVl-x2

(escx)'=一escx•ctgx

xx(arctgx)=-~~r

(aY=alna14-x

(iog〃xy=——

(arcctgx)=------7

xlna1+x

基本积分表：

^tgxdx=-ln|cos+C,dx=jsec2xdx=tgx+C

cos2X

|ctgxdx=ln|sinx|+C

'dx=jcsc2xdx=-ctgx+C

jsecxJx=ln|secx4-/gx|+Csin2x

|secxrgAz/x=secx+C

jcscx6^:=ln|cscx-crgx|4-C

jcscx-ctgxdx=-escx+C

dx

a1+x

aa\axdx=-^—+C

dxx-aJIna

22

x-ax+a卜。\shxdx=chx+C

dxa+x

In+c

2chxdx=shx+C

a一1Laa-x

.x-=ln(x+Vx2±a2)+C

=arcsin—+C

x2a

n兀

22

I=jsin"xdx-jcos"xdx=

n口ln-2

oon

_2_________

~ln(x+dx2+a2)+C

2

2

a--Inx+V?-a2+C

2

2

222a.工人

^a-xdx=-x+—arcsin—4-C

2a

三角函数的有理式积分：

.2u1-w2x.2du

sinx=------rCOSX=--------7ax---------7

1+11+u21+w2

一些初等函数:两个重要极限:

一sin/1

双曲正弦：$床=匕匚lim-----=1

2J。X

双曲余弦:chx=*+*lim(l+-)t=e=2.718281828459045..

2.18%

双曲正切:比％=迎=^^

chxe+e

arshx=ln(.¥+7.r2+1)

archx-±ln(x+-1)

T1.1+x

arthx=—In-----

21-x

三角函数公式：

­诱导公式：

数

sincostgctg

角A\

-a-sinacosa-tga-ctga

90°-acosasinactgatga

900+acosa-sina-ctga-tga

1800-asina・cosa-tga-ctga

180。+。-sina-cosatgactga

270%-cosa-sinactgatga

27O0+a-cosasina-ctga-tga

36O0-a-sinacosa-tga-ctga

36O0+asinacosatgactga

•和差角公式：•和差化积公式：

a+

sin(a±/?)=sinacosp±cosasinj3sina+sin/?=2sinCos—~~—

cos(<z±^)=cosacos+sinasin/3

sina-sinp=2cossin———

22

1+tgatgfi

n,a+Ba-B

coscr+cos/?二2cos------cos......-

22

ctgp±ctga

cosa-cos/?=2sinsin—~—

22

•倍角公式:

sin2a=2sinacosa

cos2a=2cos2a-\=l-2sin2nr=cos2a-sin2asin3a=3sina—4sin3a

-ctg~a-\cos3a=4cos3a-3cosa

ctg2a=--------

2ctga3tga-tg3a

tg3a=

2tga1一3/g2a

tg?a=

iTg2a

•半角公式:

.a,1-COS6T

sm—=±J----------

2\2

a.1l-cosal-cosasinaa,1+cosa_l+cosa_sina

tg—=±J----------=-----------=-----------”士

2Vl+cosasina1+cosal-cosasinal-cosa

•正弦定理：/一=—匕=—L=2R•余弦定理：c2=a2+h2-2ahcosC

sinAsin8sinC

71

•反三角函数性质：arcsinx=----arccosxarctgx=--arcctgx

高阶导数公式——莱布尼兹(Leibniz)公式:

攵=0

=，，叫+〃心叫小叫〃加-1>.山一人+1)/1)产+-..+/")

2!k\

中值定理与导数应用:

拉格朗日中值定理：/(/?)-/(«)=

/何一/伍)_/'©)

柯西中值定理:

F⑸一F⑷-F'G)

当F(x)=x时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。

曲率:

弧微分公式：ds=yj\+y，2dx,其中y'=fga

平均曲率米=四公。:从M点到M'点，切线斜率的倾角变化量；As：MAT弧长。

ks

M点的曲率：/r=lim—=—31

A—。Asds

直线：K=0;

半径为a的圆：K=-.

a

定积分的近似计算:

矩形法:jy（幻r如工（为+%+…+

«〃

梯形法：j/（x）R匕、：（＞，0+北）+乃+…+

in2

抛物线法:］7（x）=-h--n［（比+y.）+2（乃+为+…+Xi）+4（X+以+…+乂1）］

J3/7

定积分应用相关公式:

功：W=Fs

水压力：F=p.A

引力：尸二女吗J女为引力系数

r

_1b

函数的平均值：y=----|"/（x）dx

b-aJ

均方根:

空间解析几何和向量代数:

空间2点的距离：d=|叫％|=J*?-占）2+（乃-NJ+（句/A

----------►----------#•!---------#•

向量在轴上的投影:Prj“AB=A*cos%9是AB与"轴的夹角。

Prjit（万i+«2）=Prja］+Prja2

ah二同WcosB=a也+。也+a2，是•个数量，

。也也

两向量之间的夹角:cose二

Jaj+a、生2.4bj+bj+b：

iJk

c=5xh=axavq_,k]=同[碾山夕例：线速度：v=wxr.

久久，a

4?Ui

向量的混合积%应］二@父杨］二么么b.二归乂〃|.同cosaayg锐角时,

Clj

代表平行六面体的体积。

平面的方程：

1、点法式:A(x-x0)+B(y-yo)+C(z-zo)=0,其中后={4优。},^。^。/。,%。)

2、一般方程：Ar+8y+Cz+O=0

3、截距世方程:“+y+2=1

ahc

d=Axo+Byo+Czo+

平面外任意一点到该平面的距离:。

'VA2+52+C2

x=xQ+mt

空间直线的方程:匕包=匕比=七包=/，其中8={"?,",〃}；参数方程：》=%+处

mnp

Z=Zo+/

二次曲面：

222

1、椭球面:一r+r+=1

a2h2c2

22

2、抛物面:L+2-=z,(p,q同号)

2p2q

3、双曲面：

222

单叶双曲面:答+2-今=1

a2b2c2

222

双叶双曲面V-七v+0z=1(马鞍面)

abc

多元函数微分法及应用

全微分：dz--dx-\---dydu--dx-\---dy-\---dz

dxdydxdydz

全微分的近似计算：Az=dz=/；(x,y)Av+fy(x,)))△)；

多元复合函数的求导法：

加

改

虫

电

Z=/W),v。)]皆=+一

打

加

dt加37

改

次

加

生

r

S

-一

---加

Z=f[u(x,y),v(x,y)]加

aY8Xax

当〃=u(x9y),v=u(犬,y)时，

,du.du,.dv.3v,

du=—dx-\dydv=——dx+—dy

dxdydxdy

隐函数的求导公式:

/y_aFa工dy

隐函数/(兀y)=0,虫=_乙涓一瓦(一胃+豆(一胃Z

dxFy

3z_F次_Fy

隐函数F(x,y,z)=O,x

dxF,dyF：

dFdF

隐函数方程组:J=^F,G)=du加_K,尸v

dG

G(x,y,w,v)=03(u,v)HGG„Gv

du3v

__13(F,G)3v=_1a(F,G)

dxJ3(x,v)dxJa(M,x)

a“=_ia(/,G)加=_i3(F,G)

»J3(y,v)dyJ3(w,y)

微分法在几何上的应用:

X=(pQ)

空间曲线y=〃(f)在点M(x°,yo，z。)处的切线方程:宗=与夬=与至

八八夕&)〃&)

Z=(O(t)

在点M处的法平面方程：dQo)aTo)+U(t。)(y-%)+)(Z—Zo)=o

F(x,y,z)=O，则切向量了={fvF、.

若空间曲线方程为:

G(x,y,z)=O5G「G；G：GG,

曲面尸(x,y,z)=0上一点A/(x0，%,Zo)，则：

、

1过此点的法向量：n={Fx(x0,y0,z。),々(演,孔,z0),F:(x0，%,z。)}

2、过此点的切平面方程：工(x0,y0,z0)(尤-x0)+Fy(x0,y0,z0)(y-y())+产式％,孔,)(z-)=0

3、过此点的法线方程:

工(x。，〉。，2)Fy(x0,y0,z0)F：(x0,y0,Z0)

方向导数与梯度:

函数z=/(x,y)在一点P(x,y)沿任一方向/的方向导数为：%=%cose+%sin9

oloxdy

其中泌x轴到方向/的转角。

函数z=/(x,y)在••点p(x,y)的梯度：gradf(x,y)=^-T+

oxdy

它与方向导数的关系是:%=grad/(x,y)Z,其中，=cos°i+sin°・J,为/方向上的

ol

单位向量。

萼是gradf(x,y)在/上的投影。

dl

多元函数的极值及其求法：

物工(/，凡)=fv(/,打)=0，令：九CWo)=A，/£/，%)=8,f»CWo)=C

A<0,(x(),孔)为极大值

AC—炉时/

A>0,(尤0,光)为极小值

则:AC-炉＜0时.,无极值

AC—B?=0时，不确定

重积分及其应用：

y)dxdy=J1/(rcos0,rsinO)rdrdO

D

2

dz也'

曲面Z=/（居y）的面积A叩+dxdy

da

\\xp^y）d（yM,\\yp^

平而薄片的重心：汽=2二号---------,y----=-----------

Mjjp（x,y）d（y

DD

平而薄片的转动惯量:对于九轴/工=JJ/pHyHs对于y轴4=Jjd/（qy）d。

DD

平面薄片（位于阳），平面）对z轴上质点〃（0,0,。）,（。＞0）的引力：F=",£},其中:

=:JJ夕（x,y）xd。F=_%J]0(x，),)M'

FF*JJPH",：

D（x2+y2+a2）2D(x2+y2+a2)2D(x2+y2+a2)2

柱面坐标和球面坐标：

x-rcos®

柱面坐标:y=rsin/UJf(x,y，Z)dxdydz=JJjF(r,e,z)rdrd田7

1=2

其中：F(r,6,z)=/(rcosS/sinaz)

x-rsin夕cos6

y=rsin/sin8,dv=rd(p'rSAWtp-dOdr=r~SA\\(pdrd(pd3

z-rcoscp

2不度

JJj/(x,y,zI)dxdydz=夕⑻/'sin幽=^d8^d(p^F(r,(p,^)r2sin^t/r

000

重心：元$肝M尸肝加匕飞=春师加其中M=x=JJJ/My

lYliri1¥l

QQQQ

222

转动惯量：Ix=J]**)/+z)pdv,Iy=JJj(x+Z)M,,

LIQ

曲线积分:

第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）：

匆Cu）在L上连续，L的参数方程为⑺3工区协则:

[y”Q）

x-t

J/Q,y)ds=J/S。)，4(/)]J"(f)+，(f)df3<B)特殊情况:

Lay=o(f)

第二类曲线积分(对坐标的曲线积分)：

设L的参数方程为「=则:

[y=沙(。

P

》(.%y)dx+Q(x,=J｛尸[/(0"(『)]"⑺+QS”),歹《)]/«)｝山

La

两类曲线积分之间的关系:1Pdx+Q/y=J(Pcosa+Qcos月)ds,其中a和6分别为

LL

ZJ二积分起止点处切向量的方向角。

格林公式:JJ(：0-，)dxdy=jPdx+Qdy格林公式:JJ(-1)dxdy=jPt/n-Qdy

o*力LJ小i

当P二-y,Q=x,即:，。一？二2时，得到。的面积：A=\\dxdy=LxJv-ydx

oxdyF2,“

,平面上曲线积分与路径无关的条件：”

1、G是一个单连通区域；

2、P(x.y),Q«y)在G内具有一阶连续偏导数，且乎=丫。注意奇点，如(0,0),应

oxdy

减去对此奇点的积分，注意方向相反！

・二元函数的全微分求积：

在时，2公+。公才是二元函数〃(兀y)的全微分，其中：

dxdy

u(x,y)=Jp(x,y)dx4-Q(.x,y)dy,通常设%=%=0。

("0)

曲面积分:

对面积的曲面积分:口f(x,_y,z)ds二fff[x,y,z(x,y)]^1+(x,y)+z^.(x,y)dxdy

E%V

对坐标的曲面积分:J，7。,y,z)dydz+Q(x,y,i)dzdx+R(x,y,z)dxdy,其中：

£

y,z)dxdy=±y,z(x,y)]dxdy,取曲面的上侧时取正号;

z%.

[Jp(x,)\z)dydz-±JJP[My,w),}\z]dydz^取曲面的前侧时取正号;

NOy:

口。(其y,z)dzdx=±/J。]*,y(z,x),z]dzdxf取曲面的右侧口寸取正号。

两类曲面积分之间的关系:JJPdydz+Qdzdx+Rdxdy=jj(Pcosa+Qcos0+Rcosy)ds

高斯公式:

成+M+普)dv=甘Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=耳(尸cosa+QcosJ3+Rcosy)ds

o力次zz

高斯公式的物理意义——通量与散度：

散度：div。=挛+挈+半,即：单位体积内所产生的流体质量，若div。＜0,则为消失…

oxdydz

通量：JJ晨五杰==jj(Pcos6Z+0cos0+Rcosy)ds,

z

因此，高斯公式又可写成:JjjdivZdn=抒40

Qz

斯托克斯公式-—曲线积分与曲面积分的关系：

ff37?3(2xJj/»

z-------)dzdx+(--)Jxt/v=(^Pdx+Qdy+Rdz

dx-------dx力r

dydzdzdxdxdycosacos4:os/

上式左端又可写成:]jdda=113a

dxdzdz

pQRpR

dRdQdP_az?a。_dP

空间曲线积分与路径无关的条件:

dyHz'dzHxdx

ijk

aad

旋度：rotA=

dxdydz

PQR

向量场N沿有向闭曲线「的环流量：，Pdx+Qdy+Rdz=0,tds

rr

常数项级数：

等比数列:l+q+^+…+/I=上立

i-q

等差数列：l+2+3d---1-72=("+1)"

2

调和级数：1+'---1■,是发散的

23n

级数审敛法:

1、正项级数的审敛法—根植审敛法(柯西判别法)：

0<1时，级数收敛

设：2=lim亚7，则<p>川寸,级数发散

〃一>8

0=1时，不确定

2、比值审敛法:

0<1时，级数收敛

设：2=1而311,贝30〉1时，级数发散

“T8TJ

"〔2=1时，不确定

3、定义法：

s“=%+%+…+〃“；limS"存在,则收敛；否则发散。

+MU

交错级数%-“23~4+…(或-/+»2-W3+•••,«„>0)的审敛法----莱布尼兹定理：

u>

如果交错级数满足濡n“10,那么级数收敛且其和$《对,其余项乙的绝对值匕|《“,山。

绝对收敛与条件收敛：

(1)«1+%+…+〃“+…，其中〃”为任意实数；

⑵同+叼+同+…+,/+,,•

如果(2)收敛，则⑴肯定收敛，旦称为绝对收敛级数;

如果(2)发散，而⑴收敛，则称⑴为条件收敛级数。

调和级数:z：发散，而Z野收敛;

级数:收敛;

n

P级数:z.PW1时发散

P>1时收敛

寨级数:

23„/w<1时，收敛于」一

l+x+厂+x'+…+x+…(X

\|x|21时，发散

对于级数(3)劭+叩+。2/+…+a"x"+…，如果它不是仅在原点收敛，也不是在全

/凶</?时收敛

数轴上都收敛，则必存在凡使(|x|>R时发散，其中R称为收敛半径。

\k|=H时不定

/"0时，R=—

/P

求收敛半径的方法：设lim-=p,其中。向是(3)的系数，则夕=0时，R=+8

〃T8a\

“\p—+8时,R=。

函数展开成暮级数：

函数展开成泰勒级数：〃X)=/(Xo)(X-Xo)+“^(X-Xo)2+...+e^(X-Xo)"+一

2!n\

余项：Rn=£2@。一%)"+|J(x)可以展开成泰勒级数的充要条件是：lim&=0

5+1)!〃T8

%=0时即为麦克劳林公式：/(3)=/(0)+广(0)》+工侬/+-+/3豆/'+一

2!n\

一些函数展开成募级数：

(1+广"+蛔22+-.+的外包二工+-.(-1<X<1)

2!〃！

v-352”-1

sinx—x-----------1-----------…+(-1)〃1------------------F•,•(­°°<x<+°°)

3!5!(2〃-1)!

欧拉公式:

cosx=

=cosx+zsinx或v

sinx=

三角级数:

/(O=4+EA"sin("a+仁)="+

£(%cosnx+hnsinnx)

rt=l2M=1

其中,a0=aA0,an=Ansm(pn,bn=Ancos(pn,ax=x„

正交性:1,5由/<：05和出2苍852%・一达〃%,85〃%・一任意两个不同项的乘积在[-匹%]

上的积分=0。

傅立叶级数:

即

/(x)=+Z(%cosnx+bnsin〃x>周期=21

2H=1