广东省深圳市2021-2022学年高二下学期数学期末考试试卷

广东省深圳市2021-2022学年高二下学期数学期末考试试卷

阅卷人

--------------------------------A单选题(共8题；共16分)

得分

1.(2分)已知集合/=(XeN\x>1},B=(x\0<x<4],则ZClB=()

A.{x|1<x<4}B.{x|x>0}

C.{2,3}D.[1,2,3)

【答案】C

【解析】【解答】由题意，ACIB={%eN|1<x<4}={2,3)

故答案为：C

【分析】根据交集的定义可得答案.

2.（2分）若（l+i）z=2,则2=（）

A.1+iB.1—iC.-1+iD.-1—i

【答案】B

【解析】【解答】由题意得：Z=每=（备福=1-1.

故答案为：B.

【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简可得答案.

3.（2分）已知cosa=称，0<a<^,则sin（zr+a）的值为（）

A.B.-|C.|D.1

【答案】A

【解析】【解答】解：因为cosa=焉，0<a<^,所以sina="1.—cos2a=卷,

所以sin（7r+a）=—sina=—^；

故答案为：A

【分析】由已知条件结合同角三角函数的基本关系式以及诱导公式，整理化简即可得出答案。

4.（2分）如图，△ABC中，力。为BC边上的中线，M为40的中点，若丽=4瓦5+〃尻，则实数对

(1,〃)=()

A.6，1）B.8,1）C.（1）1）D.（1,1）

【答案】A

【解析】【解答】因为M为AD的中点，且AD为BC边上的中线，故两=；瓦5+；前=；而+/比,

故（九〃）=6，》

故答案为：A

【分析】直接利用中线向量的线性运算的应用求出答案.

5.（2分）已知直线血，几与平面a,/?,y,则能使a_L0的充分条件是（）

A.a1y,0_LyB.mln,aA/?=m,nu°

C.m〃a,m//pD.m//a,7nls

【答案】D

【解析】【解答】对于A,,・•垂直于同一平面的两个平面平行或相交，，a_Ly,A不

符合题意；

对于B,若m_L九，an/?=m,nu0,则只需m,建在平面/?内互相垂直即可，无法得到a_L0,B

不符合题意；

对于C,•・・平行于同一条直线的两个平面平行或相交，.・.m〃a,m//pa1/?,C不符合题意；

对于D,•.・m〃a,・••存在直线Zua,满足又m10,・•・/10,

•・Tua,・•.a工B,D符合题意.

故答案为：D.

【分析】根据空间中直线与平面的位置关系以及面面垂直的判定定理，逐项进行判断即可得答案.

6.（2分）国家三孩政策落地后，有一对夫妻生育了三个小孩，他们五人坐成一排，若爸妈坐两边，

三个小孩坐在爸妈中间，则所有不同排法的种数为（）

A.6B.12C.24D.48

【答案】B

【解析】【解答】将爸妈安排在两边，有度种排法；将三个小孩放在中间，有用种排法；

则所有不同的排法种数为：度房=2X6=12种.

故答案为：B.

【分析】首先安排爸妈，再将孩子放在中间，根据分步乘法计数原理可求得答案.

7.（2分）如图，鼻,尸2分别为椭圆g+1的左'右焦点，P为椭圆上的点，PT为AFiPF2的外角

4□

平分线，F2T1PT,贝|J|O7|=（）

【答案】B

【解析】【解答】如图所示:

延长尸27交F1P的延长线于点M,

因为PT为NF1PF2的外角平分线，F2T1PT,

所以易得△PTF2三APTM,所以IPF2I=|PM|,ITF2I=|7W|,

结合椭圆的定义得|M0|=|P&|+\PM\=|Pa|4-\PF2\=4,

又T为F2M的中点，。为FIF2的中点，

所以在AF1F2M中,\OT\=^\MFi\=2,

故答案为：B.

【分析】延长尸27交FiP的延长线于点M,由已知可得APTF2三ZiPTM得IPF2I=|PM|,|丁「2|=

\TM\,由椭圆定义结合三角形中位线定理可得|OT|.

Inx,%>0

8.(2分)设函数/(x)=1，若方程f(x)=x+b有3个不同的实根，贝昉的取值范围为

工+一，

x%<0

()

A.(—co,-1)B.(—1,0)C.(0，1)D.(1,+oo)

【答案】A

Inx-x,x>0

【解析】【解答】令g(%)=/(%)-％=I1；

xx<0

方程/(%)=x+b有3个不同的实根等价于g(%)与y=b有3个不同的交点；

当X>0时,g'(x)=]-1=

则当久e(0,1)时，g'(_x)>0；当％e(1,+8)时，g'Q)<0；

••・g(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减，g(x)max=9(1)=-1；

则可得g(x)图象如下图所示，

由图象可知：当时，g(x)与y=b有3个不同的交点;

综上所述：实数b的取值范围为(—8,-1).

故答案为：A.

【分析】令g(x)=/(%)-x,将问题转化为g(x)与y=^有3个不同的交点，结合导数可求得g(x)单

调性，由此可得g(x)的图象，采用数形结合的方式可求得实数b的取值范围.

阅卷入

—二、多选题(共4题；共8分)

得分

9.(2分)已知样本数据2%+1,2%2+1，…，2xn+1的平均数是2,方差为16,则样本数据打,

%2>…，的()

A.平均数是0.5B.平均数是1C.方差是4D.方差是5

【答案】A,C

【解析】【解答】由题意知：E(2X+1)=2,D(2X+1)=16,

•••E(2X+1)=2E(X)+1=2,*E(X)=O5,即打，孙…，力的平均数为

•••D(2X+1)=4C(X)=16,•••D(X)=4,即勺，右，…，功的方差为4

故答案为：AC.

【分析】利用平均数、方差的运算性质求解出答案.

10.(2分)已知直线［：%-y+1=0，圆C：x2+y2=1,则()

A.直线I与圆C相交

B.圆C上的点到直线1距离的最大值为金

C.直线［关于圆心C对称的直线的方程为“-丁一1=0

D.圆C关于直线2对称的圆的方程为(％+I)2+(y-1猿=1

【答案】A,C,D

【解析】【解答】由圆C方程知：圆心C(0,0),半径r=l；

・••圆心到直线，距离

对于A,Cd=4=¥<1,•・•直线，与圆C相交，A符合题意;

对于B,•.•圆心C到直线2距离弓二孝，二圆C上的点到直线，距离的最大值为d+r=¥+l，B不符合

题意;

对于C,设直线2关于圆心C对称的直线方程为：x-y+m=O(m^l),

••裳=多解得5舍)或m=•直线,关

则圆心C到直线，和到其对称直线的距离相等,

于圆心C对称的直线的方程为x-y-l=O,C符合题意;

(一1

D,C(a,b),a，(a=-1

对于设圆心关于直线，对称的点为则.~解得:Ib=l'

9-升1=。

•••所求圆的圆心为(一1,1),半径为1,

•••圆C关于直线/对称的圆的方程为(％+1)2+(y-1)2=1,D符合题意.

故答案为：ACD.

【分析】由圆的方程可确定圆心和半径，利用圆心到直线距离d<r得直线与圆相交可判断A；由圆

上点到直线距离最大值为d+r,可判断B；由直线关于点的对称直线的求法可判断C；利用点关于

直线对称点的求法，可求得对称圆的圆心，由此可得圆的方程可判断D.

11.(2分)已知数列｛an｝中，％=2,an+1+-^-=1,nE,N+,贝！]()

a4

A.。2022=1

B.Q]+a2+。3+…+。2022=1011

C.2a3…a2022=-1

D.+Q2a3+。304+…+。2022。2023=-1011

【答案】B,D

【解析】【解答】由题意得：。2=1-白=:，。3=1-2=-1，。4=1-2=2,。5=1-4=

UiLUoUoCIA.

1

2，...，

・・・数列｛an｝是以3为周期的周期数列；

对于A,0-2022=0674x3=。3=2,A不符合题意；

对于B,%+做+。3+…+。2022=674(%+。2+Q3)=674乂,=1011,B符合题意；

对于C,…02022=2a3)674=1,C不符合题意;

对于D,由递推关系式知：anan+1=an-1,

・•・a±a24-a2a3+a3a4+…+02022a2023=(Q1-1)4-(a2—1)+…+(^202211)=+。2+03+…

+。2022-2022=1011-2022=-1011,D符合题意.

故答案为：BD.

【分析】根据递推关系式可推导出数列是以3为周期的周期数列，由&2022=&674乂3=。3,可

判断A;由%+-+(12022=674®i++。3),可判断B;由即a2a3…02022=

(即a2a3)674,可判断C；根据递推关系式得到a/n+1=an-1可判断D.

12.(2分)声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，每一个音都是由纯音合成的，纯音的数

学函数为y=4sina)x,其中A影响音的响度和音长，3影响音的频率，平时我们听到的音乐都是有许

多音构成的复合音，假设我们听到的声音函数是f(x)=sinx+|^sin2x+^sin3xH----F^sinnx+….令

n[

Z卜[及sinkX贝ij下歹!J说法正确的有()

A./式%)是奇函数

B./“(X)是周期函数

C.y=；2(x)的最大值为|

D.%⑴在［-和*上单调递增

【答案】A,B,D

\~^n1\~^n1_

【解析】【解答】对于A,vAi(-x)=/7；sin(-/cx)=-/7；sin/c%=—左(%),・•・左。)是奇函

数，A符合题意；

对于B,/n(x+2TT)=V^sin(fcx4-2zr)=V/sink%=④⑺，・•・2n■是/*n(%)的一个周期,B

符合题意；

对于C,•.1七(％)=Sinx+；sin2x,二=cosx+cos2x=2cos2x+cosx-1=(2cosx-

l)(cosx+1)；

当xe［0,兀］时，cosx+1>0,则当xe［0,1)Ht,/2(x)>0；当为eg,兀］时，/2(x)<0；

••・/2。)在［0,令上单调递增，在《，布上单调递减，

又八（°）=/2（兀）=°，/2殴）=孚+空=竽；

则当XC[O,兀]时，0Sf2（x）W莘；

巴。）为奇函数，[当xe[-兀，0]时，-竽w为Q）wo；

又八色）周期为碗，.•.一竽Wf2（x）W苧，即%。）最大值为苧，C不符合题意;

-1-1

cosx

对于D,vf3（%）=sinx+2sin2x+@sin3x,；•/%（%）=+cos2x+cos3x；

当XC[-3勺时,2xe刍，3%€[_*,第,

二cosx€仔，1]>cos2xG[0,1]>cos3xC[-苧，1],二广3（”）2。，

•••夫（%）在[一和*上单调递增，D符合题意.

故答案为：ABD.

【分析】由奇偶性定义可判断A；由九（X+2兀）=打（%）可判断B；利用导数可求得f2（x）在[0,兀]

上的值域，结合奇偶性和周期性可确定f2（x）最大值，可判断C；求导后可证得f；。:）20，由此可判

断D.

阅卷人

三、填空题供4题；共5分）

得分

13.（1分）若/。）=1+3（%€幻是奇函数，则实数a=.

【答案】-2

【解析】【解答】••"（%）定义域为R,且/（%）为奇函数，•••/（（））=1+>0,解得：a=—2；

*~yQXiQXi[QX

当"一2时'/（久）=1一行=言'•.•/（—%）=?^1=d=一/（%）'

为R上的奇函数，满足题意；

综上所述：a=-2.

故答案为：・2.

【分析】由已知结合奇函数的性质可知f（0）=0,代入即可求解，检验后即求得a的值.

14.（1分）已知双曲线的渐近线方程是y=±苧X,且双曲线经过点M（4,3），则双曲线的标准方程

为.

【答案】琴—二=1

43

【解析】【解答】双曲线的渐近线方程为y=±*X，可设双曲线的方程为CtHO），代

J—243

入M（4,3），可得t=¥T=i，则双曲线的方程为U=1.

故答案为：■=1

4D

【分析】由双曲线的渐近线方程设双曲线的方程为q_1=t〈too）,把已知点代入双曲线的方

程可得t值，则可求出双曲线的标准方程.

15.（1分）如图，已知一个圆锥的底面半径为1dm,高为3dm,它的内部有一个正三棱柱，且该正

三棱柱的下底面在圆锥的底面上，则这个正三棱柱的体积的最大值为dm3.

【解析】【解答】过三棱柱的上底面的平面平行于圆锥的底面，则该平面截圆锥所得的截面为一个小

圆；

要使正三棱柱体积最大，则正三棱柱的上底面三角形内接于该小圆；

设小圆的半径为r（0<r<1）,正三棱柱的高为山

.••浮=9,解得：ft=3-3r；又正三棱柱的底面三角形面积s=[xV5rx百rx，=^M，

3224

八正二棱柱的体积V=S/i=#^产（3—3r）=（丁2—,则（7=2^丁（2—3丁）；

二当r6（0,,）时，V>0；当丁€（,，1）时，V<0;

•'•当「=凯寸，，max=X1一摄）=

故答案为：g

【分析】设小圆的半径为r(OVrVl),正三棱柱的高为九，通过已知求得正三棱柱高为九=3-

3r,

V=Sh=^r2(3-3r)=^(r2-r3),利用导数可求正三棱柱的体积的最大值.

16.(2分)任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进

行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1-4-2-1.这就是数学史上著名的“冰雹猜

想”(又称"角谷猜想''等).例如：取正整数n=5,根据上述运算法则得出5-16-8-4-2T

1,共需5个步骤变成1,称为5步“雹程”.一般地，对于正整数n,根据上述运算法则，第一次变成1

时，所需步数称为九的“雹程”，记为B(n).则8(17)=；若B(n)=8,则n的所有可能取值的

集合为.

【答案】12；(6,40,42,256)

【解析】【解答】解：当n=17时，根据运算法则可得：

17T52T26Tl3T40T20T10T5T1618T4T2T1,共需要12个步骤，故3(17)=

12.

若8(几)=8,根据运算规则需要8步才第一次变成1,所有可能的情形有：

1―2-4—8-16—32-64—128—256；

1―2—4—8i16j32<-64<—21142；

1-2-4-8-16-5-10-20-40；

112—4—8116<—510<—36.

故满足B(n)=8的正整数n的所有可能取值的集合为｛6,4(),42,256｝.

故答案为：12；｛6,40,42,256｝.

【分析】当n=17时，根据运算法则即可求出B(17)的值；当B(n)=8时，根据运算法则，逆向

寻找结果可得n的所有可能取值的集合.

阅卷人

四、解答题(共6题；共56分)

得分

17.(10分)已知等比数列｛的｝的首项4=2,公比q=8.在｛d｝中每相邻两项之间都插入2个数,使

它们和原数列的数一起构成一个新的等比数列｛5｝.

(1)(5分)求数列｛当｝的通项公式;

111

（2）（5分）设Cn=log2bn,neN+,证明：7c^c+—+-+—c—<1.

'l2C2c3nCn+1

【答案】（1）解：由题意知：bi=ai=2,b4=a2=ai<7-16,

n

则等比数列｛bn｝的公比/=行=8,解得：q'=2,.-.bn=2.

1111

（2）解：由（1）得：d=1〃2%=10g22"=n,.•.褊匚=而而=另一行y,

1,1,,11,11,,1111

----1-----1-…H-------=1d—不+不一与+…H------TT=1----TT，

c1c2c2c3c九cn+i223nn+ln+l

又;7^7>°，1——TT<1，即+----VL

n+ln+1C1C202c3CnCn+l

【解析】【分析】（1）利用等比数列的通项公式进行求解出数列｛%｝的通项公式；

n1111

（2）由（1）得：cn=log2hn=log22=n,==利用裂项相消法进行数

111

列求和’再比较可证得证+荻+..•+画不<1.

18.(10分)记△A8C中，角4,B,C的对边分别为a,b,c,已知QCOSB+bcos力=

（1）（5分）求4

(2)(5分)若Q=2,b=2V3,求△ABC的面积.

【答案】(1)解：由正弦定理可得sin/cosB+sinBcos/=V^sinCtaml,故sin(4+B)=

V3sinCtanAy因为4+B+C=7,故sin(i4+B)=V3sinCtanA=sinC,故tern/=字，又A6

(0,71)，故4=g7T

(2)解：根据余弦定理可得22=(2遥)2+c2-2x2怎x字故(c—2)(c—4)=0,故c=2,

c=4.Jjc—2时，S“BC=bcsinA=5x2>/3x2x5=V3;当c=4时，^ABC=7^bcsixiA=5x

2A/3x4x|=2V3.故4ABC的面积为遮或2遍

【解析】【分析】(1)根据正弦定理，结合三角形内角和求解可得4的值；

(2)根据余弦定理可得c=2或c=4,再根据面积公式可求出△ABC的面积.

19.(10分)如图(1),在直角梯形ABCD中，AB//CD,AB1BC,且BC=CD=$48=2,取AB

的中点。，连结0D,并将△4。。沿着0。翻折，翻折后AC=2B，点M,N分别是线段AD,的中

点，如图(2).

A

图(1)

（1）（5分）求证：AC1OM；

（2）（5分）求平面。MN与平面OBCD夹角的余弦值.

【答案】（1）证明：连接OC,

1

VAB//CD,AB1BC,BC=CD=^AB=2,。为力B中点，

.•・四边形ODCB为正方形，OC=2近，

•••翻折后，AC=2V3，AOA2+OC2=22+(2A/2)2=(2V3)2=AC2,■■OA1OC-,

5LOA1OD,OCCOD=0,OC,0。u平面。CD,•••。41平面OC。，

•••CDu平面。CD,OALCD,

又CD1.OD,OACtOD=0,OA,ODu平面0/W,二CO_L平面。4。，

vOMu平面OA。，CO1OM；

•••OA=OD,M为4。中点，:OMLAD,

又CDCMD=D,CD,ADu平面4CD,•••OM_L平面4CD,

•••4Cu平面4CD,AC1OM.

（2）解：以。为坐标原点，OD,OF,函正方向为％,y,z轴，可建立如图所示空间直角坐标系,

则0(0,0,0).M(l,0,1),N(0,1,1),OM=(1,0,1).ON=(0,1,1);

•••2轴_1_平面。BCD,.♦.平面OBCD的一个法向量访=(0,0,1);

设平面0MN的法向量五=(%,y,z),

则｛黑令x=L解得：y=l,z=-l,n=(1.1,-1);

..-—、।|7n-n|1后

.'.|cos<m,n>|=I^m=7==T，

即平面OMN与平面OBCD夹角的余弦值为学

【解析】【分析】(1)结合已知条件及线面垂直的判定定理证明OM_L平面ACD,再由线面垂直的性

质即可证得AC1OMx

(2)以。为坐标原点，OD,OB,雨正方向为％,y,z轴，可建立空间直角坐标系，求出平面OMN

与平面OBCD的法向量，利用空间向量的夹角公式即可求得平面0MN与平面OBCD夹角的余弦值.

20.(6分)为庆祝共青团成立一百周年，某校高二年级组织了一项知识竞答活动，有4B,C三个

问题.规则如下：只有答对当前问题才有资格回答下一个问题，否则停止答题：小明是否答对

A,B,C三个问题相互独立，答对三个问题的概率及答对时获得相应的荣誉积分如下表：

问题ABC

答对的概率0.6().50.2

获得的荣誉积分10002000300()

(1)(5分)若小明随机选择一道题，求小明答对的概率；

(2)(1分)若小明按照4B,C的顺序答题所获得的总积分为X,按照(在下列条件

①②③中任选一个)的顺序答题所获得的总积分为丫，请分别求X,y的分布列，并比较它们数学

期望的大小.

(De,B,A-,②B,A,C：③A,C,B

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【答案】(1)解：记事件E：小明随机选择一道题并答对；事件Dy小明选择问题4事件。2：小明

=DIUD2UA，

选择问题B；事件。3：小明选择问题C;则。且。1，D2,D3两两互斥；

事件4B,C分别为：小明答对问题4,B,C;

由题意知：P(Di)=P(D2)=P(03)=J,P(A|DD=0.6,P(8|Z)2)=0.5,P(C|D3)=0.2；

•••P(E)=P(Di)P(g)+P(D2)P(B|D2)+P(D3)P(C|D3)=1X0.6+1X0.54-1X0.2=

(2)解：由题意知：X所有可能的取值为0,1000,3000,6000，

P(X=0)=P(A)=0.4；P(X=1000)=P(AB)=0.6X0.5=0.3；P(X=3000)=P(ABC)=

0.6x0,5x0,8=0.24；P(X=6000)=P(ABC)=0.6x0,5x0,2=0.06；

••・X的分布列为：

X0100030006000

p0.40.30.240.06

则数学期望E(X)=0X0.4+1000X0.3+3000X0.24+6000X0.06=1380；

若选条件①，丫所有可能的取值为0,3000,5000,6000，

AP(Y=0)=P(C)=0.8；P(Y=3000)=P(C月)=0.2X0.5=0.1；P(Y=5000)=P(CB4)=

0.2x0,5x0,4=0.04；P(Y=6000)=P(CBZ)=0.2x0.5x0,6=0.06；

.1■丫的分布列为：

Y0300050006000

P0.80.10.040.06

则数学期望E(y)=0x0.8+3000X0.14-5000X0.04+6000X0.06=860,

AE(X)>E(y)；

若选条件②，y所有可能的取值为0,2000,3000,6000,

•••P(Y=0)=P(B)=0.5；P(Y=2000)=P(BA)=0.5x0.4=0.2；P(Y=3000)=P(BAC)=

0.5x0.6x0.8=0.24；P(P=6000)=P(BAC)=0.5x0.6x0.2=0.06；

丫的分布列为：

Y0200030006000

p0.50.20.240.06

则数学期望E(y)=0x0.5+2000X0.24-3000x0.24+6000X0.06=1480；

AE(Y)>E(X)；

若选条件③，y所有可能的取值为0,1000,4000,6000,

P(Y=0)=P(A)=0.4；P(Y=1000)=P(AQ=0.6x0.8=0.48；

P(y=4000)=P^ACB)=0.6x0,2x0.5=0.06；P(Y=6000)=P(ACB)=0.6x0,2x0.5=

0.06；

•••丫的分布列为：

Y0100()40006000

P0.40.480.060.06

则数学期望E(y)=0x0.4+1000x0.48+4000x0.06+6000x0.06=1080；

AE(X)>E(Y).

【解析】【分析】(1)由题意，小明随机选择一道题目答对的可能性有三种，再利用全概率公式进行

求解即可得小明答对的概率；

(2)先求得X的分布列及期望，再求得①②③这3种情况的分布列与期望，再进行比较即可得它们

数学期望的大小.

2L(10分)已知抛物线C：y2=2p久(p>0)上的点M与焦点F的距离为|,且点M的纵坐标为2即.

(1)(5分)求抛物线C的方程和点”的坐标；

(2)(5分)若直线［与抛物线C相交于4,B两点，且证明直线/过定点.

,p_5

【答案】(1)解：设MQo,2洞，贝I」产°+2=2,解得:

'2px0=4P

••・抛物线C：y2=2x；M(2,2).

(2)解：由题意知：直线2斜率不为零，可设&x=my4-n,y])，丫2)，

2

由fy—2：得：2_2my-2n=0,AA=4m+8n>0,即租2+2九>0；

(x=my+nzz

•••yi+y2=2m,y1y2二-2九；

2

・.〃,yi-_yi-2_2_y2-2_y2-2_2

・"MA—X1-2—王4—y1+2,叱—^2~~千，

~2~

1=-1;

又MAMB,kMA-kMB=31+2)32+2)=y1y2+2(y1+y2)+4=—2n+4m+4

则n=2m+4(此时那+2n=m2+4m+8=(m+2)2+4>0成立)，

直线&x=my+2m+4=m(y4-2)+4-

当y=-2时，x=4,.•.直线］恒过定点(4,-2).

【解析】【分析】(1)由点M的纵坐标求出横坐标，结合抛物线的定义可求出p的值，从而得到抛物

线C的方程和点M的坐标；

(2)由题意可知，直线［的斜率不为0,设其方程为x=ty+m,设4(乙，％),B(x2,y2),联立直

线I与抛物线方程，由韦达定理可得y1+y2=2m,%兀=一2葭又MALMB,得kMA-kMB=

f=T即,再代入直线的方程，即可得到直线过定点坐标.

一十4m十4n=2m+42I

22.(10分)设函数f(x)=(x+a)ex,已知直线y=2x+1是曲线y=/(%)的一条切线.

(1)(5分)求a的值，并讨论函数/(%)的单调性；

(2)(5分)若/(%i)=f(上)，其中证明：x1-x2>4.

【答案】(1)解：设直线y=2%+1与曲线y=/(%)相切于点(%。,/(x0))>

•♦•/'(%)=(%+Q+l)e”,・,.f'(%o)=(%。+Q+l)ex°=2；

x

又/(&)=(%o+a)e*°=2x0+1,A2-e0=2xQ+1,即e*。+2x0-1=0；

设g(x)=靖+2%-1,则g'(x)=e%+2>0,.・.g(x)在R上单调递增，

又。(。)=0，0(%)有唯一零点%=0，=0，a+1=2,解得：a=1；

・•・/(x)=(%+l)ex,/(%)=(x+2)e”，

则当工€(—8,—2)时，f(x)<0；当工€(—2,+8)时，/(%)>0；

・•・/(%)在(一8,-2)上单调递减，在(一2,+8)上单调递增.

(2)解：由⑴知：/(%)min=/(-2)=-e-2V0；

当工<—1时,/(%)<0：当%>—1时,/(%)>0,・・.<—2V上<一1；

4

要证》1f2>4,只需证打〈号<一2；

•."(%)在(-8,—2)上单调递减，.•・只需证/。1)>/分

又/%)=/。2)，则只需证/。2)>/(为对任意％2e(-2,—D恒成立；

人2

设g)=f(x)—/©)(—2<x<-1),

4

x(x)ex3x

"(x)=(x+2)e+8(爹2)e*=-^(xe4+8)；

设p(x)=x3ex~^+8(-2<%<-1),则p'(x)=xex~x.[(%+1)+彳<o,

p(x)在(一2,一1)上单调递减，•••p(x)<p(-2)=-8+8=0,

4

又当一2<%<-1时，(x+2)好<0,...»(%)>(),

x3

•••h(x)在(一2,-1)上单调递增，二/1(%)>八(-2)=/(-2)-/(-2)=0,

即/(x)>胫)在无€(-2,—1)时恒成立，又久2€(-2,—1),

原不等式得证.

【解析】【分析】(1)设直线y=2x+l与曲线y=f(x)相切于点(X。，/(q))，利用导数几何意义和

切线方程可构造方程组得到ex。+2与—1=0,设g(x)=ex+2x-1,利用导数确定g(x)有唯

一的零点x=0,进而得出a的值；代入f(x)后，根据f(x)的正负可得单调区间；

(2)根据f(x)的单调性和f(x)的正负可确定X1<-2<X2<-1,将所证不等式转化为/(%2)>

/(上)对任意%26(-2,-D恒成立，设/i(x)=/(%)—/4)(一2<%<-1),用导数可求得h(x)的

单调递增，得至Uh(x)>h(-2)=0,由此可证得%i•%2>4.

试题分析部分

1、试卷总体分布分析

总分：85分

客观题（占比）25.0(29.4%)

分值分布

主观题（占比）60.0(70.6%)

客观题（占比）13(59.1%)

题量分布

主观题（占比）9(40.9%)

2、试卷题量分布分析

大题题型题目量（占比）分值（占比）

填空题4(18.2%)5.0(5.9%)

解答题6(27.3%)56.0(65.9%)

多选题4(18.2%)8.0(9.4%)

单选题8(36.4%)16.0(18.8%)

3、试卷难度结构分析

序号难易度占比

1普通(63.6%)

2容易(31.8%)

3困难(4.5%)

4、试卷知识点分析

序号知识点（认知水平）分值（占比）对应题号

1直线与平面垂直的性质10.0(11.8%)19

2函数的周期性2.0(2.4%)12

3利用导数求闭区间上函数的最值2.0(2.4%)8

4直线与圆的位置关系2.0(2.4%)10

5