《杨辉三角的性质与应用》示范公开课教学设计【高中数学人教A版】

《数学探究杨辉三角的性质与应用》教学设计一、知识结构框图二、教学目标1．结合对杨辉三角性质的探究和应用杨辉三角解决问题，经历发现数学关联、提出数学问题、得到数学结论、推理论证、综合应用的过程，掌握数学探究活动的方法，提升数学学科核心素养．2．在对杨辉三角性质的探究和应用过程中，经历从类比模仿到自主创新、从局部实施到整体构想的过程，初步掌握数学课题研究的基本方法，培养遵守学术规范、坚守诚信底线的科学研究素养．三、重点、难点重点：杨辉三角性质的发现和证明，利用杨辉三角解决古算题和其他领域的问题．难点：杨辉三角性质的应用．四、探究过程【情境引入】杨辉三角的历史探源图1名为开方作法本源图，现在杨辉算书的传本中都没有这个图，只在明朝《永乐大典》（1407）抄录的《详解九章算法》中还保存着这份宝贵遗产，可惜《永乐大典》被掠至英国，现藏在剑桥大学图书馆内．《详解九章算法》由杨辉所著，他在书中提到“出释锁算书，贾宪用此术”．这说明，在我国至迟贾宪时期就已经发明了这个数字三角形．关于贾宪的生平，所知甚少．根据一些记载，只能推定贾宪著书的年代是在1023年至1050年这段时期．贾宪用这个数字三角形来进行开方，所以称为“开方作法本源”．而在宋元时期，数学家将开方或解数字方程称为“释锁”，故此图出现在《释锁》算书中．后来，朱世杰（1303）、吴敬（1450）、程大位（1592）等古代数学家均引用并发展了开方作法本源图．借助此图，古代数学家们开高次方、解高次方程，创造出了具有中国古代数学独特风格的高次方程的数值解法．设计意图：杨辉三角是我国数学史上的一个伟大成就，从数学角度体现了中华优秀传统文化．因此，教科书就从这里入手，给出了《详解九章算法》一书中的开方作法本源图，简单介绍了数学家杨辉，以及杨辉三角的由来．同时，这一段关于历史发展的介绍也是数学探究活动的背景，能够让学生在杨辉三角的演变中，了解为什么要研究杨辉三角，杨辉三角在我国的发现时间比欧洲早500年左右等，从而激发学生的民族自豪感和“一探究竟”的兴趣．【课堂探究】（一）杨辉三角性质的探究1．探究的方法发现和提出问题：观察杨辉三角的结构，即杨辉三角中数字排列的规律，例如每一行、相邻两行、斜行等，画一画，连连线，算一算，写出你发现的结论．活动：（1）“观察”．不是单纯地看一看，它包含着积极的思维过程，要有目的，如数字排列的规律；要随时比较，如数字间的关系和差异；等等．（2）“实验”．创造一些条件和方法辅助思维，如圈一圈、连一连、算一算等．而这些观察和实验的结果正是归纳推理的基础．（3）“归纳”．通过观察和实验，获得一定素材后，就可以进行归纳，作出初步的结论，然后用数学语言描述出来，就是一个猜想，即一个数学问题．具体活动：以杨辉三角的基本性质Cnr＝Cn-1r-1＋Cn-1通过连线和计算，如图4，发现除了三角形的两个腰上的数字都是1，其余的数都是它肩上两个数相加，从特殊到一般，就归纳出结论：Cnr＝Cn-1发现结论和写出结论：由学生自己完成．例如观察和实验的指导，应关注于在数字三角形中圈一圈、连一连、算一算等手段的尝试；关注于有目的的观察，相邻行之间、各行数字的和等（图2）．基于观察、实验和归纳，学生会获得很多关于杨辉三角的结论，这里列出一些最基本的结论（更多的结论见“五、探究活动参考资料”），供教学时参考：（1）对称性：每行中与首末两端“等距离”之数相等，即Cnr＝（2）递归性：除1以外的数都等于肩上两数之和，即Cnr＝Cn-1（3）第n行奇数项之和与偶数项之和相等，即Cn0＋Cn2＋Cn4＋…＝C（4）第n行数的和为2n，即Cn0＋Cn1＋Cn（5）第n行各数平方和等于第2n行中间的数，即（Cn0）2＋（Cn1）2＋（Cn2）2＋…＋（（6）自腰上的某个1开始平行于腰的一条线上的连续n个数的和等于最后一个数斜右下方的那个数，即Crr＋Cr+1r＋Cr+2设计意图：杨辉三角性质的探究，是这个数学探究活动的重点，将杨辉三角作为一个探究主题有两个主要原因：一是由于前面提到的杨辉三角本身所具有的数学、数学思维和数学文化上的魅力；二是由于杨辉三角的直观性和性质的丰富性，既有“一目了然”的性质，也有“深藏不露”的性质，所以它可以让不同发展水平的学生都能探究，并有所收获．分析和解决问题利用已学知识，尝试对所得结论进行证明在数学上，当我们获得一个猜想之后，必须要证明它，所用的就是逻辑推理的方法．从观察和实验，到归纳和猜想，再到推理和论证，这是一个完整的数学探究过程，数学探究中的“推理论证”不同于科学探究中的“实验验证”，数学中的结论一旦得到证明，是不会改变的，而科学中经过实验验证的结论有时会在若干年后推翻重建．注意强调推理论证在数学中的重要性及其作用，而且要鼓励或要求学生去证明自己发现的结论，让学生经历完整的数学探究过程．这样不仅有助提升学生的直观想象、数学抽象素养，而且还有助于提升学生的数学运算、逻辑推理素养．（二）杨辉三角应用的探究华罗庚先生（1910—1985）曾写过一本小册子《从杨辉三角谈起》，其中从杨辉三角的性质谈到了二项式定理、开方、堆垛术、等差级数、逐差法等，由此可以看到杨辉三角的联系之多、应用之广．1．开方问题杨辉在《详解九章算法》中记载一个四次幂的开方问题：积一百三十三万六千三百三十六尺，问为三乘方几何?分析：这是一个开方问题，古代求解用“增乘开方法”，即用杨辉三角开4次方，这是杨辉三角在我国古代数学中最重要的应用之一．具体活动：通过查阅相关资料，了解我国古代开方算法的思想和具体操作步骤之后，自主解决这个问题．杨辉三角中有五句注解：左袤乃积数，右袤乃隅算，中藏者皆廉，以廉乘商方，命实而除之．头两句“左袤乃积数，右袤乃隅算”，其中“袤”本应作“衰”（古“邪”字，通“斜”），是指最外面的左右两斜线上的数字，分别是乘幂an（隅）、bn（积）的系数；第三句“中藏者皆廉”，是说明图中间所藏的“二”“三、三”“四、六、四”等分别为二次、三次、四次幂中项arbn－r的系数（廉）；后两句“以廉乘商方，命实而除之”说明了开方的方法．关于具体开方方法的解释及第一道古算题的解法，可参见“五、探究活动参考资料”中的文献[1]～[5]．2．数列问题我国著名数学家杨辉在《详解九章算法》一书中有计算“三角垛”物体总数的题目：“三角垛，下广，一面十二个，上尖，问计几何？分析：这是一个数列问题，这也是我国古代数学中常见的一类问题——垛积问题．通常，垛积分为平垛（图5）和堆垛（图6），平垛问题是等差数列问题，堆垛问题是二阶等差数列问题．“三角垛”从上往下每层球数构成的数列为1，3，6，10，…，12n（n＋1），“求总数”就是求这个数列的和．利用杨辉三角，就可以求得这个二阶等差数列的一般求和公式利用杨辉三角还可以得到高阶等差数列的一般求和公式．图7连线上的数字构成不同阶的等差数列．1，1，1，1，…1，2，3，4，…1，3，6，10，…1，4，10，20，………从图7中，直观地就能得到前四个数列的求和公式：1＋1＋1＋…＋1＝n；1＋2＋3＋…＋Cn-11＝1＋3＋6＋…＋Cn-121＋4＋10＋…＋Cn-13＝活动：在探究杨辉三角性质中发现了图4的规律，并获得性质6，那就可以由性质直接写出各阶等差数列的求和公式；如果没有，这里也可以由三角垛的问题出发，观察杨辉三角，像上述一样直接得到二阶等差数列的求和公式，并且还可以由此类推，联想到三阶、四阶，乃至一般的高阶等差数列，从而获得一般的求和公式．设计意图：教科书所列举的杨辉三角在我国古代数学中的应用，完全依赖于学生的自主探究并不容易，特别是开方问题．这是因为，学生几乎不可能想到古代是如何开方的，而只有了解一点算法，才能体会到杨辉三角的应用．因此，这部分的探究是需要一定的史料支持的，如果学生可以自行获取相关的纸质资源和网络资源，那么可以让学生自己搜集资料；如果学生无法获取相关资料，那么就需要教师事先准备这方面的资料．事实上，这个搜集资料、阅读分析资料的环节就相当于数学研究中的“文献阅读与分析”，对于提高学生的综合素质，以及让学生初步尝试数学研究的方法是非常有好处的．3．其他问题杨辉三角还有很多有趣的应用，以及和其他知识的一些意想不到的联系．下面，我们给出一些杨辉三角的联系和应用，供参考．（1）斐波那契数列如图8，按照这种方式，依次画下去，并将各条虚线上的数分别相加，得到1，1，2，3，5，8，13，21，34，…．这就是著名的斐波那契数列．如果记从第n行的“1”开始相加，得到的数为F（n），那么根据杨辉三角，得到F（n）＝Cn0＋Cn-11于是有F（n＋1）＋F（n）＝F（n＋2）．（2）网格路径某一个城市的街道如图9所示，分别以东西向、南北向各五条路组成方格网，行人在街道上行走（方向规定只能由西向东、由北向南前行）．如果从这个城市的最西北角A处前往东南角B处，会有多少种不同的走法呢？利用杨辉三角，容易求得有70种走法，如图10所示．这个简单的问题还可以拓展到任意格点之间的路线问题，也可以由平面扩展到空间，即立体交通网络的路线问题，如图11所示．（3）弹球游戏在游戏场所经常可以看到这样的弹球游戏（图12）：一个小球向下跌落，碰到第一层阻挡物后等可能地向两侧跌落；碰到第二层阻挡物再等可能地向两侧的第三层跌落；如此下去，小球一直跌到容器底层．奖品的设置与小球跌落的区域有关，两端区域的奖品价值高，中间区域的奖品价值低，怎样解释这一现象呢？五、探究活动参考资料[1]华罗庚．从杨辉三角谈起、北京：人民教育出版社，1964．[2]沈康身．中算导论．上海：上海教育出版社，1986．[3]钱宝琮．中国数学史．北京：科学出版社，1964．[4]钱克仁．数学史选讲．南京：江苏教育出版社，1989．[5]吴文俊．中国数学史大系·两宋，北京：北京师范大学出版社，2000．[6]汪晓勤，韩祥临．中学数学中的数学史．北京：科学出版社，2002．设计意图：在教学中，学生完成这个探究活动需要查阅较多资料，特别是应用的探究．为此，提供一些参考资料，供参考．六、对探究活动的要求以独立探究和小组合作相结合的方式开展探究活动．建议按如下步骤完成：1．小组集体讨论探究方案，确定研究思路．2．小组成员各