2022年四川九市二诊数学试卷与答案

数学（理工类）

注窟事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号诛黑。如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试

卷上无效。

3.考试结束后.将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题,卷小题5分，共60分。’在每小题给出的四个选项中，只有一项是田

合题目要求的。

1.已知集合A={y|y=x2_2）,B=（—4,—3,-2,—1,0,1,2,3,4},则AQB=

A.{-4.-3,-2,-1}B.{-2,-1,04,2,3,4)

C.{0,1,2,3,4)D,{1,2,3,4)

2.已知复数z=3+4i,贝l|z|+申=

A.29-3iB.21+3iC.9-3iD.l+3i

4.1一5）（工一2”的展开式中，含/项的系数为

A.120B.40C.~40

5.如图，长方体ABCD-ABCD中，点E,F分别是棱DD】,BBi上的

动点（异于所在棱的端点）.给出以下结论:①在F运动的过程中,直线

FC能与AE平行;②直线AC,与EF必然异面;③设直线AE.AF分

别与平面AIiCD相交于点P,Q,则点G可能在直线PQ上.其中,

所有正确结诒的序号是

A.①②B.①③

C.②③D.①②③

6.设等差数列{凡}的前"项和为S”,且ai+as=-18,59=—72,则S,取最小值时,"的值为

A.l£B.20C.21D.20或21

7.已知直线工+y+l=0与工+2y+l=0相交于点A,过A的直线j与圆〃："+/+41=0相

交于点8,C,且NBMC=120二则满足条件的直线I的条数为

A.。B.1C.2D.3

数学（理工类）试题第1页（共4页）

9.已切他枷我（’以淤标照妨'!：M力川点仆］（：：/，，（”的自的JAM物线〃年J网点

八小.直线八1〕上的点口3】）淌她,如山\儿则|<刈・I八川

\：：v：；X.4小C.41）>>.«<»

io.：'0：'；'年解:'4hi|尽聿奥林叫点试业;Z即力明年1匕玳¥乎如何於）的成功增办♦展现，中国

作切・卜k国的士1祀抵卜.“m时把来”迎向M口卜国惟硝构飕人果命以共问体的价值g

求.在北京冬小奥运公的某个比赛H.某人欲出冰般〈•》、冰球（•）,花样滑冰（。）.跳台滑

雪,0）、自由式滑雪IG、、雪仅0♦6卜叫II舶机曲，FMWI；褥411现场观赛（注I比赛球

M后一号内为“•”表一凿犬不决IIN牌的It赛,“0”盟东当天会决川奖牌的比御），则所逸理

的3•卜观赛项I1中当天嗓决出奘牌的项II数的均值为

A.1H.$C.：•!IX

11.已知双曲线C的一条渐近触为直跳G.1'fO,C的右1况点电标为（1,0）.节点M3,M，»M）是

双曲纨（、右支上的动点.点八的坐悚为（九5）,则|A4A|42I：M的锻小值为x

A.V26-1B.、/%C.通心卜1，然+2

12.设a=、."=2inkin焉+cos焉）.严卷端.则“/,,<：的大小关冢&@的是

A,a<Zb<ZcB.u<Z<ybC.b<ie<Z（iI）,，><“<c।

二、填空题:本题共4小题,每小题5分，共20分。

13.如图.在RtAABC中,两直指边C4=3.CI3=6,点E,F分别为斜边A.

4B的三等分点测近•布=_2g5.

14.函数产而（2工+3）（|伊|〈号）的图象向右平移卷后所得函数图象cl^_

关于y轴对称，则W=.

15.造纸术是我国古代四大发明之一，现在我国纸张的规格果用国际标准，常用的人复印纸是幅

面采用A系列的,4,…,/U规格列一种.其中A系列的幡而规格为［①人规格的纸

张的幅宽（用a,表示）和长度（用、y表示）的比例关系是二，y=l1科;②将A,纸张沿长度方

向对开成两等分,便成为Ai规格.将A|纸张沿长度方向对开成两等分，便成A2规格.….“,

如此继续对开，得到一张A。纸的面积为624cml则一张A.,纸的面积为cn?.

16.已知P,A,B.C,D都在同一个球面上，平面PABJ_平面A8CD,A8CD忌边长为2的正方

形,NAP3=60二当四棱锥P-ABCD的体积最大时，该球的半径为i__.

数学（现工类）试网第2页（共.4页）

寸4例熨:由写出文字说明，证明过程或演算步骤。第17-2］题为必考题，每个

三事答题之7?;：答23题为选考题，考生依据要求作答。

试题考生都必须作答。第22,23即力弘

（一）必考题：共6。分。

"鼻煨器就落黑温渭需就■需微

』0务别对应2012年至2021年，

乡村经济收入，（亿元）

90

70

0123.45678910年份代码x

（1）若用模型①$=以+蓑，②&=£+'曰拟合》与工的关系，其相关系数分别为r>=0.8519,

r：=0.9901,试判断哪个模型的拟合效果更好？

（2）根据（1）中拟合效果更好的模型，求3关于工的回归方程（系数精确到0.01），并估计该县

2025年的乡村经济收入（结果精确到0.01）.

参考数据：力二石,2=古2Gs=3；605，房=3-742,71^=3,873.

..^=1-I

1010

2（y,­y）（^i—x）£（%——E）

y萨-》

..,-.-

•,1.I.™1Q1

72/652.25126.254.52235.4849.16

参考公式:对于一组数据"），5,出），…，（*为），回归方程&=中的斜率和截距的

*

^（z,—i）（y（—y）

锻小二乘估计公式分别为b=匹—-----------2=亍一法.

ED?

18.（12分）

已知向景雁=（岳1吟J卜片（3宗府幼,设函数J3三

m•n.

（D求函数fCr）的单调递增区间；

（2）设AABC的内角A，B,C所对的边分别为"仍通,且_____，求？B）的取值范围.

从下面三个条件中任选一个，补充在上面的问题中病雨

..I

①有豆+tanA+£anB=0；②{2c+6）gsA+acosB=0；③a,6.c成等比数列.

注:如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

数学（理工类》试题第3页（共4页）

.出w、i、,、：设\I*、u过kv的《出中

心：.R\

跳投\、-中式、N\\v'柒n"wxy（（）

徐F；.\於林Mmr.心外.阚mrMXn

温篁：M0.雪图、：,、.

⑴岸"¥曲i\v・'K恒'的电

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之十庵:*I、：：，八—心的闽心、d&t（i.e）正胤阳（‘匕・/'：小・记耐.

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、：''涣I。…、、、是检网I'匕牛一家网内时点，了武/过【，口与辅圆C右旦仅看一个公血点・

一求F侬，的一M用心心表术、*

-—中紧标!京点•直浅/一别与用轴..V轴相交于点M,N,试探究ZXMON的面积是否

留住最,卜在稻芋台.求出最小旗及相应的点尸的坐标掰不存在，请说明理由.

21.U2令、

已知函氯八、:,、=■Iny+.一，2e.r^ue.

⑴当匕=E时.求曲线-3、在点（L八。'处的忸线方程;

（门若，:为整装，当时—63求a的最小值.

（二）选考题:共1。分。请考生在第二二、2s题中任选一题作答，如果多做,则按所做的第一题

记分。

22.匚选修4一上坐标系与参数方程］30分）

|,r=/cosa?

在平茴直角坐标系中，已知直浅，的参数方程为,a为参数），曲线c的方程为

‘Iv=rstna

一十丁十力」7=0.以至标原点。为极点,.T轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

（D求直线/及曲线C的极坐标方程：

⑵设直线/与曲线C相交于M.N两点.满足||。汹一|（加。=2一,求直线2的斜率.

23.［选修4一5：不等式选讲］（1。分）

已知函数〃Q=［2—N+2!、r+li.

（1）若存在储，GR，使得，求实数u的取值范围；

（2）令了（.丫）的最小值为M.若正实数n^bti'满足J+：+2=M,求证ia+b+c）］,2.

数学I理工类，试题第4页（共4页）

参考答案

评分说明：

1.本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要

考查内容比照评分参考制定相应的评分细则。

2.对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和

难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果

后继部分的解答有校严重的错误，就不再给分。

3,解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。

4.只给整数分。选择题和填空题不给中间分。

一、选择题（60分）

1.命题意图：本小题主要考查函数的值域，集合的交集运算等基础知识;考查运算求解能力.

答案B.因为集合A=仃|〃="-2}=1—2,+8），8={-4,一3,—2,—1,0,1,2,3,4},所以

AAB={-2,-l,O,l,2,3,4）.

2.命题意图：本小题主要考查复数的概念，复数的模，复数的除法和加法运算等基础知识;考查运

算求解能力.

答案C.由复数z=3十4i,所以|z|十年=厅千F十（3+4D•（-i）=9-3i.

3.命题意图：本小题主要考查两角和的正弦公式，诱导公式,三角函数求值等基础知识;考查运算

求解能力.

答案C.sin

另解：由sina+cosa=等得展sin（a+年）=等，所以sin卜+£）=g，则sin值一竽）=

sin1

Ka+给F3

4.命题意图：本小题主要考查二项式定理，多项式乘法，展开式中项的系数等问题;考查运算求解

能力，应用意识.

答案B.由（无一2》的展开式中含/项为（-2）"含工的项为C&（—2”，所以

卜一方心一2尸的展开式中含/项是（一方）•C|x3（-2）2+^•CzL2»,其系数为40.

数学（理工类）试题答案第1页（共11页）

5.命题意图：本小题主要考查直线与平面位置关系的判定与性质、平面的基本事实等基础知识;

考查直观想象、逻辑推理等能力；考查化归与转化、特殊到一般等思想方法.

答案B.假设E,F分别为所在棱的中点，即可判断①③正确，②错误.

6.命题意图：本小题主要考查等差数列的概念及性质，通项公式，前”项和公式等基础知识;考查

运算求解能力，方程思想和函数思想，应用意识.

答案D.由题意可得以1+。5=2。3=—18,则劭=—9,因为Sg=—72,即9a5=—72,故%=

—8,所以2d=%—%=1,即（法一）&"=03+（”-3）d=]■一等，令5=得一等<0,则

"W21,且n=21时，M=0,所以S.取最小值时，〃的值为20或21.

—z2

，吐一、oJinQf1In（n1）x,11241n=Z1/n41\41

（法一）ax=<z3—2t/=-10,SB=n•（—10）H---q*歹=彳〃~~T\~~2）

所以当”=20或n=21时，S“取得最小值.

7.命题意图：本小题主要考查两条直线的交点、圆的标准方程等基础知识;考查推理论证、运算求

解等能力；考查数形结合、化归与转化等思想方法.

答案B.解方程组，得A（-1,0）,因为圆M的半径为2,所以当且仅当|J3C|=

q+2;y+l=0

2同时,NBMC=120。,等价于M到直线Z的距离为1,又圆心M为（-2,0），|AM|=1,故这

样的直线有并且只有一条（即支=-1）.

8.命题意图：本小题主要考查函数图象和性质、导数等基本知识;考查数形结合思想.

答案B.由题"（一工）=”工），则/QO为偶函数，排除A；又=排除C；当工一

e十e

+8时,fCr）-0,排除D,故选B.

9.命题意图：本小题主要考查直线的斜率、直线与直线的位置关系、直线与抛物线的位置关系等

基础知识;考查运算求解、推理论证等能力;考查数形结合、化归与转化等思想方法.

答案B.由已知，直线的斜率为1,则AB的斜率为-1.因为点在直线A8上，由

^^=-1解得2=1.所以，直线AB的方程为立=一犷+2,抛物线C的方程为力=2工由此

可得A,B的坐标分别为（3—相，一1+西），（3+同，一1一西），所以，|AB|=29，故

|OM|•|AB|=^2•2710=475.

10.命题意图：本小题主要考查概率、离散型随机变量的分布列等基础知识；考查抽象概括、运算

求解等数学能力；考查概率统计等数学思想.

答案C.记随机选择的3个比赛项目中会决出奖牌的项目数为X,则X的可能值为1,2,3,且

P（X=1）=笆=1,P（X=2）=萼=V，P（X=3）=野=1,则X的均值EX=1X

OgvUe0Os?

1R1

4-+2X4++3X4-=2.

5□b

数学（理工类）试题答案第2页（共11页）

11.命题意图：本小题主要考查双曲线的定义、双曲线的几何性质等基础知识；考查推理论证、运

算求解等能力；考查数形结合、化归与转化、函数与方程等思想方法.

答案C.由已知，双曲线C的方程为X焦点为尸(2,0)，离心率为e=2.所以|MA|十

IMF|=|MA|+，(如一2)2+端=IMA|+/(如一2)2+3(d-1)=\MA\+

/4这一4如+1=||+2ZM—1,整理有|MA|+2NM=|MA|+|MF|+1.又因为

(|MA|+|MF|)min=|AF|=，(3—2)2十52=，所以|MA|十2孙的最小值为叵+1.

12.命题意图：本小题主要考查函数、导数以及不等式等知识的综合应用；考查抽象概括能力、运

算求解能力和创新能力；考查化归与转化等数学思想.

答案D.由题a=0,02,6=21n(sinO.01+cos0.01)=ln(l+sin0.02),c=-1*ln1.02.易证x>

o

0时，In(工十1)V孙贝!I6=ln(l+sin0.02)<sin0.02<0.02=a；又c—a=4dnl.02—0.02=

[in(1+0.02)-X0.02，令h(x)=In(1+x)--(0V4V卷)，则hr(x)=1一

二知OVzV看时，九'(->0,无(z)单调递增，则OVxV3时九(])>无(0)=0,即

0。十ox□□

ln(l+z)>lE,所以In(1+0.O2)>4XO.02,则。一0>0,即c>a,综上a,b,c的大小关系

OD

为6VaVc.

二、填空题(20分)

13.命题意图：本小题主要考查平面向量的数量积，向量的坐标运算等基础知识;考查运算求解能

力，应用意识.

答案10.以C为坐标原点,CB,CA所在直线分别为巧)轴建立平面直角坐标系，由题意得

E(2,2),F(4,1),即茂=(2,2),殍=(4,1),所以途•容=(2,2)•(4,1)=10.

14.命题意图：本小题主要考查正弦型函数的性质，图象平移，奇偶性等基础知识;考查推理论证

能力，应用意识.

解析:答案一早由夕=sin(2工+6("IV食)的图象向右平移会后所得函数为y=

sin[2(]一专)+J=sin(2/—仔+尹)，因其图象关于人轴对称，即函数为偶函数，所以

—妹+£•(女€Z)，因为I*1V4■，故归=—1,此时<p=—•

15.命题意图：本小题主要考查等比数列的通项公式等基础知识；考查阅读理解能力，运算求解能

力，应用意识.

答案9984.设A。纸的面积为SGn?),根据题意，纸张面积是以S为首项，公比为■的等比数

数学(理工类)试题答案第3页(共11页)

列，则A。纸的面积为SX（｝）'=624,解得S=9984.

16.命题意图：本小题主要考查面面垂直的性质、棱锥体积的计算和球面的性质等基础知识;考查

直观想象、推理论证、运算求解、创新等能力；考查数形结合、化归与转化等思想方法.

答案率.四棱锥P-ABCD的体积为VP-ABCD=^-XSASCDX无，由于底面ABCD是边长为2

JO

的正方形，其面积是一个定值，四棱锥P-ABCD的体积最大，等价于h取得最大值.由已知，

△PAB为一个圆的内接三角形，且AB=2.所以，当且仅当△APB为正三角形时，该四棱锥

的体积最大.此时,人=质.设正方形ABCD的中心为M,正三角形PAB的中心为N,由题

意，球心O为过M且垂直于平面ABCD的直线与过N且垂直于平面PAB的直线的交点.

易知，QM=§,AM=A/2,所以球半径等于VOM2+AM2='舞.

00

三、解答题（共70分）

（一）必考题

17.命题意图：本小题主要考查回归方程、相关系数等基本知识；考查统计基本思想以及抽象概

括、数据处理等能力和应用意识.

解析因为相关系数0Vr】V%，所以模型②$=£+各行的拟合效果最好.........3分

（2）令t=-/x,，知y与£可用线性方程5-a.-\-bt拟合，则

10

b=上―------------=竽晋—0.876,........................................5分

8«4・34

i=l

a=y—Vt=12.65—10.876X2.25%48.18,.........................................7分

所以4关于t的线性回归方程为9=48.18+10.88t,

故y关于z的回归方程为&=48.18+10.88石...................................9分

2025年，即1=14时，9=48.18+10.88714^48.18+10.88X3.742~88.89（亿元），

此时，该县2025年乡村经济收入的估计值为88.89亿元..........................12分

18.命题意图：本小题主要考查平面向量的数量积，三角函数的单调性，正弦定理，余弦定理，三角

形内角和，函数值域等基础知识;考查运算求解能力，推理论证能力，应用意识.

解析：（1）/（力）=»1•n=

=V/3csi・n2cos攵<27--IHsi♦n2为OC/2分

A・11-cosx

=/-3'smx+——

数学（理工类）试题答案第4页（共11页）

=sin(x-f)+1.4分

由2kit—一2标+手,女£Z,

ZD/

解得2标一年标+空"GZ,

Oo

所以函数yGr）的单调递增区间为2&L子,2林+等#GZ......................6分

（2）选择①,由恳+tanA+tanB=O及正弦定理有痣襦+黯+舞=。,

可口J^sinCsinAcosB+cosAsinBsinC

8分

sinAcosBcosAcosBcosAcosB5

所以tanA=-6■，因为OVAVn,所以A=等.....................................9分

o

所以B+C=^，则OVBV号,

oo

所以一^VB一备V点'则--1-Vsin(B-左)..............................11分

oobZ\b/Z

所以0V/(B)VL即八B)的取值范围为(0,1)...................................12分

选择②，由(2c+6)cosA+acosB=0即正弦定理有

2sinCeosA+sinBcosA+sinAcosB=Q,

所以2sinCcosA=-sin(A+B)=­sinC,......................................8分

所以cosA—­J.

因为OVAV兀，所以A=—.9分

□

所以8+C=^，则0VBV年,

oo

所以一套VB--^V散则一/vsin（B—卷）v/,..............................11分

所以0Vf（B）VL即的取值范围为（0,1）...................................12分

选择③，由a，6，c成等比数列，则属=在，.........................................7分

41A»士1m4且na2+c2-'62_a2+c2-ac\2ac-ac_1c八

由1余弦定理得：cosB=-^---------荻一）FT~=2'.....................9分

当且仅当a=c时等号成立，所以0<84当，

O

所以一■，则一/〈sin（B—•^•）《玄，..............................11分

所以0Vf（J3）&l.即”B）的取值范围为（0,11...................................12分

数学（理工类）试题答案第5页（共11页）

19.命题意图：本小题主要考查直线与平面垂直的性质与判定、平面与平面垂直的性质与判定、平

面与平面所成的角等基础知识；考查直观想象、推理论证、运算求解能力；考查化归与转化、数

形结合等思想方法.

解析：设BC的中点为Q,由已知，

因为二面角P-MN-B是直二面角，

所以平面平面BMNC,

所以，FOJL平面6MNC,贝【JPO±QO.

于是，可建立如图所示空间直角坐标系。一N’Z..............................2分

设|MN|=2a(0<aV3)，

则可以得到O(0,0,0),M(a,0,0)IdVS'—a修，0),

C(—3,3>/T—ay/3,0)»P(0,Q,a用)，N(—a,0,0).

所以OC—(—3,3底—a展,0)»MB—(3—a,3^/3—a县,0),

MP—(a,0,a^/3'),NM—(2a,0,0)................................................4分

(1)因为平面POC,

所以.................................................................5分

于是，OC•MB=-3X(3—a)+(3V^—aA/3^)2=—9+3a+27—18a+3a?

=3a2—15aI18=0,

所以a=2或a=3（舍）.

所以MN的长为4...........................................................................................................................6分

另解：由平面POC,贝UBM_LCO,

即折叠前CO,AB,如图，设垂足为。，...........................................2分

易知NNCO=NNOC=ZMOD=30°,

过点N作NE_LCO,垂足为E,

则RtACEN^RtAOEN^RtAZODM,

所以DO=OE=EC,..............................................................................

因为MN〃BC,所以兼=黑=母，

因为BC=6,所以MO=4BC=2,

O

而。是线段MN的中点，所以MN=4.6分

（2）设平面PMB的一个法向量为〃=（兀，”，向），

n•MB=0,[(3—a)x[I(3用—〃JT)y=0,

则1叫

[n.MP=0,1—ax\+aRN、=0.

数学（理工类）试题答案第6页（共11页）

令的=1,有“=（居1,1）.........................................................................................................9分

显然，平面的一个法向量为..................................10分

所以，cos〈”，wi〉=="=一恪-.........................................11分

!"I\m\45

由题意可知,二面角N—PM—B的余弦值为一詈...............................12分

20.命题意图:本小题主要考查直线的方程、椭圆标准方程、直线与椭圆的位置关系、基本不等式

等基础知识;考查推理论证、运算求解能力及创新能力；考查化归与转化、数形结合、函数与方

程等思想方法.

解析：（1）依题意有e=E=噂，即。=方>..........................................1分

aZ

将（1,孝）代入椭圆c的方程，得2+/=1..........................................................................2分

因为。2=〃+。2,

由上可得：a=J^,6=c=l.............................................................................................................3分

所以椭圆C的方程为葺+y=L...............................................................................................4分

।zy=2,

（2）①由题知，切线I斜率存在,设直线2：）="2—工。）十%，联立《

y=kx-\-yo——kx0,

2

消去y,得（1+2归2）d+4Mly0—女工0）工+2（y（）—^x0）—2=0,

由△=16/30一无期）2—4（1+2〃）（26。一入苑）2一2）=（）,

即（成—2）"—2z°y#+乂-1=0,

此时人'=4曷乂-4（忌—2）（乂-1）=4曷+8乂-8=0,

l>t||L—2了。3。_2—o1yo__通

K~2（^-2）~2（-2yi）~2%，

则直线，的方程为'=一/（=一生）+强，即多=+/2—1=0............................................7分

上2

另解：因为桶圆C的方程为t+/2=1,

所以椭圆在第一象限内的一段对应的函数解析式为y=6^（0VNVM）.

由题意，直线Z为曲线y=Jl-授（OVzV⑶在点P处的切线.

易知直线Z的斜率为氏=Jlk%=（JT号■鼠，.......................6分

则直线Z的方程为，-3o=—氤"（z一%）,即矍z+1yoy—1=0............................................7分

数学（理工类）试题答案第7页（共11页）

②令y=0,有令2=0,有N（0年8分

又与+”2=1，由上可得

乙

11911

s△皿=ROM||ON|=2•痴

y°io）。缶y。

11分

所以，ZiMON的面积存在最小值通■，最小值当且仅当曾=佻2=2时取得.

Li/

此时,点尸的坐标为（1,喙）.....................................................12分

21.命题意图：本小题主要考查函数极值、导数的几何意义、导数综合应用等基础知识，考查化归

与转化等数学思想，考查推理论证能力、运算求解能力以及创新能力.

解析当a=e时=elnz+eH—2ex+e2,则/（l）=e2—e,...................1分

又，Gr）=S+eH—2e,则在点处的切线斜率左=,（1）=0,..............2分

X

所以，切线方程为y=e2—e.......................................................4分

⑵解法1：由题知f6）="但宜二型，其中

设g（x）=a+x（eH—2e）,则g'（z）=（x+l）ex—2e,

可知£（工）在区间［4,+8）上为增函数,且£（1）=0,

则［WzVl时，/（工）V0:（外为减函数;工>1时，g'（z）>0,g（=）为增函数，

所以，工>^■时，函数g（z）的最小值gQO.HgdXa-e..........................5分

Lt

①当a—e>0,即a>e时,gGc）>0,即（z）为增函数，

则函数fGr）的最小值/（/兀吠/传）>（e—ln2）e+、/^—e>0,

由于a为整数，所以时了（工）>0恒成立.....................................6分

②当a=2时,/（x）=21nx+ez—2"+2e,g（jr）=2+N（e*—2e）,

则gGr）的最小值8（工）.=8（1）=2—6<0,又g（2）=2+2（e2—2e）>0,

I）当x>l时，由于gGr）为［1,+8）的增函数，

则存在xo6（1,2）使得g（N0）=0（即e，。=2e—多，

若l<x<x0,gGc）VO,即/'（z）V0,"G为减函数；

数学（理工类）试题答案第8页（共11页）

若死＞0,即，（£）＞0为增函数,

则=/（x）=21nxo+ex°—2exH-2e=2（lnx—ez——+2e），其中xG（1,2）,

o000*o0

令u（x）=lnx-ex——+2e（l＜Cx＜C2），贝Qu（x）=^x-+——e=-ex＞

xJ:xx

可知lVtV2时,/（z）V0,〃（z）在（1,2）时单调递减，

则〃（i）＞u（2）=ln2—）＞0,即/（i）极小值=fOo）＞0,............................8分

Li

N）当时，由于g（z）为减函数，且g（得）=2+-|-（A/e—2e）＞0,

则存在工1£（｝,1）,使得8（u）=0,

则看VnVhi时,g（z）＞0,即f（卫）＞0,73为增函数；

则XX＜X＜1时,gGr）V0,即/（N）V0,/（N）为减函数，

则为为了（立）的极大值点，且⑴＞八々）＞0,又f（4）=e+7i—21n2＞0,

所以,£＞春时,了（》0,

则。=2也符合题意...........................................................10分

③当时,€（工）.=€（1）=。一eVO,

由于g（z）为（1，+8）的增函数，

则存在实数m＞l,且工使得gGOVO,即/'（N）V0,故八工）为减函数，

则当卫£（1,冷时,/（N）Vf（l）=（a-l）e《0,

故a&l不符合题意,舍去.

综上所述，整数a的最小值为2................................................12分

解法2：由于心■时,/（公）0恒成立，由，⑴＞0,所以心1.

［或由/（得且0V.................................6分

\4/e—InZe——，InZ

①当a=l时,f（z）=lnz+e/-2ex+e,则=

x

令gO）=1+土”"一2e）,则g（z）为区间［1,+g）上的增函数，

==:

则g（N）的最小值j?（J：）ming（l）2—e＜0,

则存在实数Z＞1，使得x€（1,力，使得gGc）V0,即Z（x）＜0,

故了（工）为（1“）上的减函数，所以/U）＜/（l）=0,

故。=1不符合题意,舍去...................................8分

数学（理工类）试题答案第9页（共11页）

②当a—2时，/（z）=21nN+e。-2=+2€，8（工）=2+工（1—2e）,

则g（x）的最小值8（］）如=8（1）=2—eVO,又g（2）=2+2（ez—2e）＞0,

I）当工＞1时，由于g（Z）为口，+8）的增函数，

则存在须£（1,2）使得g（zo）=0（即e%=2e—勺，

当1＜力＜与时，8（/）＜0,即/'（±）V0,"N）为减函数；

当2＞工。时，g（H〉＞0,即/（交）＞0,/（比）为增函数，

则了(工)极小值=21n4—2ea：o+2e=2(lnxo—e%o—°+2e),其中％)W(1,2),

JDQ

令〃（-=*—=—！+2e（l—V2）,则/3=妥+十一e=±#也

当1VZV2时，7（%）V0,〃（N）在（1,2）时单调递减，

则u(x)>tt(2)=ln2—即f(N)微小值=/(%)>09............................

410分

H）当时,gG）为减函数,g传）=2+/（五一2e）＞0,

则存在阳使得g5i）=0,

则^•＜/＜为时，g（N）＞0,即f（N）＞0,/（H）为增函数；

则N1V/V1时，gQOVO,即尸（/＜0,八］）为诚函数,

则为为八力）的极大值点，且F5）＞"l）＞/5）＞0,又/'（m）=6+^—21n2＞0,

所以，工■时,/（Z）＞0,

则a=2符合题意.

综上所述，整数a的最小值为2................................................12分

（二）选考题（10分）

22.命题意图:本小题主要考查直线与圆的极坐标方程、参数方程