-新教材高中数学第一章空间向量与立体几何1.3空间向量的坐标与空间直角坐标系学案新人教B版选择性必修第一册

PAGEPAGE12空间向量的坐标与空间直角坐标系新课程标准解读核心素养1.掌握空间向量的正交分解及坐标表示直观想象2.掌握空间向量线性运算的坐标表示数学运算3.掌握空间向量数量积的坐标表示，并利用数量积判断两向量的共线与垂直数学运算、直观想象我国著名数学家吴文俊先生在《数学教育现代化问题》中指出：“数学研究数量关系与空间形式，简单讲就是形与数，欧几里得几何体系的特点排除了数量关系……，对于研究空间形式，你要真正的‘腾飞’，不通过数量关系，我想不出有什么好的办法…….”吴文俊先生明确地指出中学几何的“腾飞”是“数量化”，也就是坐标系的引入，使得几何问题“代数化”，为了使得空间几何“代数化”，我们引入了坐标及其运算．[问题](1)设m＝(x1，y1)，n＝(x2，y2)，那么m＋n，m－n，λm，m·n如何运算？(2)空间直角坐标系中，点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则|eq\o(AB,\s\up7(→))|如何表示？知识点一空间中向量的坐标及运算1．空间中向量的坐标(1)单位正交基底：如果空间向量的基底{e1，e2，e3}中，e1，e2，e3都是单位向量，且这三个向量两两垂直；(2)单位正交分解：在单位正交基底下向量的分解称为向量的单位正交分解；(3)向量p的坐标：在单位正交基底下向量p＝xe1＋ye2＋ze3，则称有序实数组(x，y，z)为向量p的坐标，记作p＝(x，y，z)．其中x，y，z都成为p的坐标分量．2．空间向量的运算与坐标的关系设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则(1)a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)；(2)μa＋vb＝(μx1＋vx2，μy1＋vy2，μz1＋vz2)；(3)a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2；(4)|a|＝eq\r(a·a)＝eq\r(xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋zeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)))；(5)cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(x1x2＋y1y2＋z1z2,\r(xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋zeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)))·\r(xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＋yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＋zeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)))).3．空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则(1)a∥b⇔a＝λb⇔x1＝λx2，y1＝λy2，z1＝λz2(λ∈R)；(2)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＋z1z2＝0．1．已知a＝(1，－2，1)，a＋b＝(－1，2，－1)，则b＝()A．(2，－4，2) B．(－2，4，－2)C．(－2，0，－2) D．(2，1，－3)答案：B2．已知向量a＝(－2，x，2)，b＝(2，1，2)，c＝(4，－2，1)，若a⊥(b－c)，则x的值为()A．－2 B．2C．3 D．－3解析：选A∵b－c＝(－2，3，1)，∴a·(b－c)＝4＋3x＋2＝0，∴x＝－2.3．已知{e1，e2，e3}是单位正交基底，则向量p＝2e1＋3e2＋e3的坐标为________，q＝－e1＋e2－2e3的坐标为________．答案：(2，3，1)(－1，1，－2)知识点二空间直角坐标系1．空间直角坐标系(1)空间直角坐标系：在空间中任意选定一点O作为坐标原点，选择合适的平面先建立平面直角坐标系xOy，然后过O作一条与xOy平面垂直的数轴z轴，这样就建立了空间直角坐标系Oxyz；(2)相关概念：点O叫作坐标原点，x轴，y轴，z轴叫作坐标轴．通过每两个坐标轴的平面叫作坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面、zOx平面．2．空间向量坐标的应用若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2).(1)AB＝|eq\o(AB,\s\up7(→))|＝eq\r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2＋（z2－z1）2)；(2)若M为线段AB的中点，M的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2)，\f(z1＋z2,2)))．1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)在空间中，过x轴，y轴的平面叫作xOy平面．()(2)空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标一定是(0，b，c)的形式．()(3)空间直角坐标系中，在xOz平面内的点的坐标一定是(a，0，c)的形式．()(4)空间直角坐标系中，点(1，eq\r(3)，2)关于yOz平面的对称点为(－1，eq\r(3)，2).()答案：(1)√(2)×(3)√(4)√2．在空间坐标系中，点A(2，－1，2)在坐标平面xOy内的投影坐标为________．答案：(2，－1，0)3．空间两点P1(1，2，3)，P2(3，2，1)之间的距离为________．解析：|P1P2|＝eq\r(（－2）2＋02＋22)＝2eq\r(2).答案：2eq\r(2)空间向量的坐标运算[例1](1)如图，在棱长为1的正方体ABCD­A′B′C′D′中，E，F，G分别为棱DD′，D′C′，BC的中点，以{eq\o(AB,\s\up7(→))，eq\o(AD,\s\up7(→))，eq\o(AA′,\s\up7(→))}为基底，求下列向量的坐标．①eq\o(AE,\s\up7(→))，eq\o(AG,\s\up7(→))，eq\o(AF,\s\up7(→))；②eq\o(EF,\s\up7(→))，eq\o(EG,\s\up7(→))，eq\o(DG,\s\up7(→))．(2)已知空间四点A，B，C，D的坐标分别是(－1，2，1)，(1，3，4)，(0，－1，4)，(2，－1，－2).若p＝eq\o(AB,\s\up7(→))，q＝eq\o(CD,\s\up7(→))．求①p＋2q；②3p－q；③(p－q)·(p＋q).[解](1)①eq\o(AE,\s\up7(→))＝eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(DE,\s\up7(→))＝eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(DD′,\s\up7(→))＝eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AA′,\s\up7(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，1，\f(1,2)))；eq\o(AG,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BG,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)，0))；eq\o(AF,\s\up7(→))＝eq\o(AA′,\s\up7(→))＋eq\o(A′D′,\s\up7(→))＋eq\o(D′F,\s\up7(→))＝eq\o(AA′,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1，1)).②eq\o(EF,\s\up7(→))＝eq\o(AF,\s\up7(→))－eq\o(AE,\s\up7(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0，\f(1,2)))；eq\o(EG,\s\up7(→))＝eq\o(AG,\s\up7(→))－eq\o(AE,\s\up7(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(1,2)，－\f(1,2)))；eq\o(DG,\s\up7(→))＝eq\o(AG,\s\up7(→))－eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up7(→))－eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(1,2)，0)).(2)由于A(－1，2，1)，B(1，3，4)，C(0，－1，4)，D(2，－1，－2)，所以p＝eq\o(AB,\s\up7(→))＝(2，1，3)，q＝eq\o(CD,\s\up7(→))＝(2，0，－6).①p＋2q＝(2，1，3)＋2(2，0，－6)＝(2，1，3)＋(4，0，－12)＝(6，1，－9)；②3p－q＝3(2，1，3)－(2，0，－6)＝(6，3，9)－(2，0，－6)＝(4，3，15)；③(p－q)·(p＋q)＝p2－q2＝|p|2－|q|2＝(22＋12＋32)－(22＋02＋62)＝－26.eq\a\vs4\al()用坐标表示空间向量的步骤(1)(2)空间向量进行坐标运算的规律是首先进行数乘运算，再进行加法或减法运算，最后进行数量积运算，先算括号里，后算括号外．[跟踪训练]已知O为坐标原点，A，B，C三点的坐标分别为(2，－1，2)，(4，5，－1)，(－2，2，3)，求点P的坐标，使：(1)eq\o(OP,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\o(AC,\s\up7(→)))；(2)eq\o(AP,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\o(AC,\s\up7(→))).解：eq\o(AB,\s\up7(→))＝(2，6，－3)，eq\o(AC,\s\up7(→))＝(－4，3，1)，∴eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\o(AC,\s\up7(→))＝(6，3，－4).(1)eq\o(OP,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\o(AC,\s\up7(→)))＝eq\f(1,2)(6，3，－4)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(3,2)，－2))，则点P的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(3,2)，－2)).(2)设点P的坐标为(x，y，z)，则eq\o(AP,\s\up7(→))＝(x－2，y＋1，z－2).∵eq\o(AP,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\o(AC,\s\up7(→)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(3,2)，－2))，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－2＝3，,y＋1＝\f(3,2)，,z－2＝－2.))即x＝5，y＝eq\f(1,2)，z＝0，则点P的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，\f(1,2)，0)).空间中点的坐标确定及应用[例2]在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是D1D，BD的中点，G在棱CD上，且CG＝eq\f(1,4)CD，H为C1G的中点，试建立适当的坐标系，写出E，F，G，H的坐标．并求GH的长度．[解]建立如图所示的空间直角坐标系．点E在z轴上，它的x坐标，y坐标均为0，而E为DD1的中点，故其坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，0，\f(1,2))).过F作FM⊥AD于点M，FN⊥DC于点N，由平面几何知FM＝eq\f(1,2)，FN＝eq\f(1,2)，则F点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)，0)).点G在y轴上，其x，z坐标均为0，又GD＝eq\f(3,4)，故G点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,4)，0)).过H作HK⊥CG于点K，由于H为C1G的中点，故HK＝eq\f(1,2)，CK＝eq\f(1,8).∴DK＝eq\f(7,8)，故H点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(7,8)，\f(1,2))).|GH|＝eq\r(（0－0）2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)－\f(7,8)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－\f(1,2)))\s\up12(2))＝eq\f(\r(17),8).eq\a\vs4\al()1．建立空间直角坐标系时应遵循以下原则(1)让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内；(2)充分利用几何图形的对称性．2．求某点的坐标时，一般先找出这一点在某一坐标平面上的射影，确定其两个坐标，再找出它在另一轴上的射影(或者通过它到这个坐标平面的距离加上正负号)，确定第三个坐标．3．利用空间两点间的距离公式求线段长度问题的一般步骤[跟踪训练]如图所示，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，|AB|＝|AD|＝3，|AA1|＝2，点M在A1C1上，|MC1|＝2|A1M|，N在D1C上且为D1C解：如图所示，分别以AB，AD，AA1所在的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．由题意可知C(3，3，0)，D(0，3，0)，∵|DD1|＝|CC1|＝|AA1|＝2，∴C1(3，3，2)，D1(0，3，2)，∵N为CD1的中点，∴Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，3，1)).∵M是A1C1的三等分点且靠近A1点∴M(1，1，2).由两点间距离公式，得|MN|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)－1))\s\up12(2)＋（3－1）2＋（1－2）2)＝eq\f(\r(21),2).空间向量的平行与垂直[例3]已知空间三点A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)，设a＝eq\o(AB,\s\up7(→))，b＝eq\o(AC,\s\up7(→))．(1)若|c|＝3，c∥eq\o(eq\o(BC,\s\up7(→)),\s\up7(→))．求c；(2)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k.[解](1)因为eq\o(eq\o(BC,\s\up7(→)),\s\up7(→))＝(－2，－1，2)，且c∥eq\o(eq\o(BC,\s\up7(→)),\s\up7(→))，所以设c＝λeq\o(eq\o(BC,\s\up7(→)),\s\up7(→))＝(－2λ，－λ，2λ)，得|c|＝eq\r(（－2λ）2＋（－λ）2＋（2λ）2)＝3|λ|＝3，解得λ＝±1.即c＝(－2，－1，2)或c＝(2，1，－2).(2)因为a＝eq\o(AB,\s\up7(→))＝(1，1，0)，b＝eq\o(AC,\s\up7(→))＝(－1，0，2)，所以ka＋b＝(k－1，k，2)，ka－2b＝(k＋2，k，－4).又因为(ka＋b)⊥(ka－2b)，所以(ka＋b)·(ka－2b)＝0.即(k－1，k，2)·(k＋2，k，－4)＝2k2＋k－10＝0.解得k＝2或k＝－eq\f(5,2).故所求k的值为2或－eq\f(5,2).[母题探究](变条件)若将本例(1)中“c∥eq\o(eq\o(BC,\s\up7(→)),\s\up7(→))”改为“c⊥a且c⊥b”，求c.解：a＝eq\o(AB,\s\up7(→))＝(1，1，0)，b＝eq\o(AC,\s\up7(→))＝(－1，0，2).设c＝(x，y，z).由题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＋z2＝9，,x＋y＝0，,－x＋2z＝0.))解得x＝2，y＝－2，z＝1或x＝－2，y＝2，z＝－1，即c＝(2，－2，1)或c＝(－2，2，－1).eq\a\vs4\al()判断空间向量垂直或平行的步骤(1)向量化：将空间中的垂直与平行转化为向量的垂直与平行；(2)向量关系代数化：写出向量的坐标；(3)对于a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，根据两向量坐标间的关系判断两向量是否垂直；根据x1＝λx2，y1＝λy2，z1＝λz2(λ∈R)或eq\f(x1,x2)＝eq\f(y1,y2)＝eq\f(z1,z2)(x2，y2，z2都不为0)判断两向量是否平行．由空间向量垂直或平行求值只需根据垂直或平行的条件建立方程(组)求解即可．[跟踪训练]已知向量a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，2，\f(1,2)))，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(1,2)，1))，c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，3，－\f(1,2)))，d＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(3,2)，\f(1,4))).求证：a⊥b，c∥d.证明：∵a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，2，\f(1,2)))，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(1,2)，1))，∴a·b＝1×eq\f(1,2)＋2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＋eq\f(1,2)×1＝0，∴a⊥b.∵c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，3，－\f(1,2)))，d＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(3,2)，\f(1,4)))，∴c＝－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(3,2)，\f(1,4)))＝－2d，∴c∥d.利用坐标运算解决空间向量的夹角、距离[例4](链接教科书第19页例3、第24页例7)如图，在直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)ABC­A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，N为A1(1)BN的长；(2)cos〈eq\o(BA1,\s\up7(→))，eq\o(CB1,\s\up7(→))〉的值．[解]如图，以eq\o(CA,\s\up7(→))，eq\o(CB,\s\up7(→))，eq\o(CC1,\s\up7(→))所在的直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.(1)依题意得B(0，1，0)，N(1，0，1)，∴|eq\o(BN,\s\up7(→))|＝eq\r(（1－0）2＋（0－1）2＋（1－0）2)＝eq\r(3)，∴线段BN的长为eq\r(3).(2)依题意得A1(1，0，2)，C(0，0，0)，B1(0，1，2)，∴eq\o(BA1,\s\up7(→))＝(1，－1，2)，eq\o(CB1,\s\up7(→))＝(0，1，2)，∴eq\o(BA1,\s\up7(→))·eq\o(CB1,\s\up7(→))＝1×0＋(－1)×1＋2×2＝3.又|eq\o(BA1,\s\up7(→))|＝eq\r(6)，|eq\o(CB1,\s\up7(→))|＝eq\r(5)，∴cos〈eq\o(BA1,\s\up7(→))，eq\o(CB1,\s\up7(→))〉＝eq\f(eq\o(BA1,\s\up7(→))·eq\o(CB1,\s\up7(→)),|eq\o(BA1,\s\up7(→))||eq\o(CB1,\s\up7(→))|)＝eq\f(\r(30),10).eq\a\vs4\al()1．利用向量数量积的坐标求两向量夹角的步骤(1)根据几何图形的特点建立适当的空间直角坐标系；(2)利用已知条件写出有关点的坐标，进而获得相关向量的坐标；(3)利用向量数量积的坐标公式求得向量的夹角．2．利用向量坐标求空间中线段的长度的一般步骤(1)建立适当的空间直角坐标系；(2)求出线段端点的坐标；(3)利用两点间的距离公式求出线段的长．[跟踪训练]1．已知A(2，－5，1)，B(2，－2，4)，C(1，－4，1)，则eq\o(AC,\s\up7(→))与eq\o(AB,\s\up7(→))的夹角为()A．30° B．45°C．60° D．90°解析：选C设eq\o(AC,\s\up7(→))与eq\o(AB,\s\up7(→))的夹角为θ.由题意得eq\o(AC,\s\up7(→))＝(－1，1，0)，eq\o(AB,\s\up7(→))＝(0，3，3)，∴cosθ＝eq\f(AC→·AB→,|AC→||AB→|)＝eq\f(3,\r(2)×3\r(2))＝eq\f(1,2)，∴θ＝60°，故选C.2.如图，已知边长为6的正方形ABCD和正方形ADEF所在的平面互相垂直，O是BE的中点，eq\o(FM,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(MA,\s\up7(→))，则线段OM的长为()A．3eq\r(2) B．eq\r(19)C．2eq\r(5) D．eq\r(21)解析：选B由题意可建立以D为坐标原点，DA，DC，DE所在直线分别为x轴，y轴，z轴的空间直角坐标系(图略)，则E(0，0，6)，B(6，6，0)，M(6，0，4)，O(3，3，3)，所以|eq\o(OM,\s\up7(→))|＝eq\r(（6－3）2＋（0－3）2＋（4－3）2)＝eq\r(19)，即线段OM的长为eq\r(19)，故选B.向量概念的推广我们已经知道，(1)直线l以及这条直线上一个单位向量e，对于直线l上的任意一个向量a，一定存在唯一的实数x，使得a＝xe，此时称x为向量a在直线l上的坐标，直线上的向量又称为一维向量，用该坐标x即可表示a的方向，又可以求得|a|；(2)平面向量a可以用两个有序实数对(x，y)表示，即a＝(x，y)，(x，y)称为平面向量a的坐标，此时的向量又称为二维向量，用该坐标可以表示a的方向，也可求|a|；(3)空间向量a可用三个有序实数组(x，y，z)表示，即a＝(x，y，z)，(x，y，z)称为空间向量a的坐标，此时的向量a称为三维向量，用该向量的坐标可以表示a的方向，也可求|a|.[问题探究]向量的概念可由一维推广到二维、三维向量，那么对于现实生活中的实际问题，涉及到需要四个或四个以上的量来表示，此时向量的概念是否可以再进一步推广？结论：用n元有序实数组(a1，a2，…，an)表示n维向量，它构成了n维空间，a＝(a1，a2，…，an).对于n维空间的向量也可以定义加、减、数乘、数量积及模运算．设a＝(a1，a2，…，an)，b＝(b1，b2，…，bn)，那么a±b＝(a1±b1，a2±b2，…，an±bn)，λa＝λ(a1，a2，…，an)＝(λa1，λa2，…，λan)，λ∈R，a·b＝(a1，a2，…，an)·(b1，b2，…，bn)＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn，|a|＝eq\r(aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＋…＋aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(n)))，n维空间中A(a1，a2，…，an)，B(b1，b2，…，bn)两点间的距离|AB|＝eq\r(（a1－b1）2＋（a2－b2）2＋…＋（an－bn）2).[迁移应用]某班共有30位同学，则高一期末考试的五门课程成绩可以用30个5维向量表示，即ai＝(ai1，ai2，ai3，ai4，ai5)(i＝1，2，…，30)，其中aij表示成绩，i不同表示不同的同学，j不同表示不同的课程，如何用简单明了的数学表达式表示该班五门课程各自平均成绩．解：为了得到该班五门课程各自平均成绩，只需将30个向量对应坐标分别加起来，然后再乘以eq\f(1,30)，即即可，其中eq\f(1,30)eq\o(∑,\s\up6(30,i＝1))aij为第j门课程的平均成绩．1．已知向量a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)，则3a＋bA．(－2，－3，－2) B．(2，3，2)C．(－2，3，2