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文档简介

.比值代换一．基本原理比值代换.它不仅可以解决很多极值点偏移问题，还可以解决很多其他的双变量问题.通过比值代换，我们可以将双变量问题转化为单变量问题来处理，达到消元的效果.在处理比值代换时，首先应该注意一些常见的变换结构：方法1.假设，这样的话欲证即证，于是，我们需要进一步找寻与的关系，从而实现比值代换.方法2.对数减法：或是方法3.齐次分式：例如：等；方法4.合分比结构：如果，则.方法5.非对称型：如或者商型结构：或分式型等是应用比值代换的天然沃土.二．典例分析例1．（2021•广州一模）已知函数．（1）证明：曲线在点，（1）处的切线恒过定点；（2）若有两个零点，，且，证明：．证明：（1），（1），又（1），曲线在点，（1）处的切线方程为，即，当时，.故直线过定点，.（2），是的两个零点，且，，可得，，令，，构造函数，求导可得，令，则，则在上单调递增，而（2），，则在上单调递增，（2），可得，则，即，则．例2．已知函数．若时，函数恰有两个零点，，证明：．证明：当时，，由题意知，②-①得：，即③,令，则，且，又因为，由③知：，所以，要证，只需证，即证，即，令，则，所以在上单调递增且（1），所以当时，，即．例3．已知函数，其中.（1）若函数在上单调递增，求的取值范围；（2）若函数存在两个极值点，当时，求的取值范围.解：因为，所以，因为函数在上单调递增，所以在上恒成立，所以在上恒成立，故令，则在上恒成立，所以在上单调递增，故，所以，即的取值范围是.(2)，对函数，设上一点为，过点的切线方程为，将代入上式得，所以过的的切线方程为.所以，要使与有两个交点，则，此时有两个极值点，且.，令，则，所以，所以，即所以，令，令，所以在上递增.因为，所以在上恒成立.所以在上恒成立.所以在上递增.，所以当时，，所以的取值范围是.例4.（2018全国1卷）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若存在两个极值点，证明：.（1）略.（2）证明：由（1）可得，当时，存在两个极值点.且是导函数的两零点，故.由于，由对数均值不等式可知，代入可得：，证毕.习题演练习题.已知函数.（1）讨论的极值；（2）若有两个零点，，证明：.解析：（1），当时，由于，故，，所以在内单调递减，无极值；当时，由，得，在上，，在上，，所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为，函数有极小值，无极大值，综上：当时，无极值；当时，有极小值，无极大值.（2）函数有两个零点，，不妨设，由（1）得，且，则，

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