立体几何空间几何体的表面积与体积

.....第2讲空间几何体的表面积与体积考点考查柱、锥、台、球的体积和表面积，由原来的简单公式套用渐渐变为与三视图及柱、锥与球的接切问题相结合，难度有所增大．【复习指导】本讲复习时，熟记棱柱、棱锥、圆柱、圆锥的表面积和体积公式，运用这些公式解决一些简单的问题．基础梳理1．柱、锥、台和球的侧面积和体积面积体积圆柱S侧＝2πrhV＝Sh＝πr2h圆锥S侧＝πrlV＝13Sh＝13πr2h＝13πr2l2－r2圆台S侧＝π(r1＋r2)lV＝13(S上＋S下＋S上S下)h＝13π(r21＋r22＋r1r2)h直棱柱S侧＝ChV＝Sh正棱锥S侧＝12Ch′V＝13Sh正棱台S侧＝12(C＋C′)h′V＝13(S上＋S下＋S上S下)h球S球面＝4πR2V＝43πR32.几何体的表面积(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各面面积之和．(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形；它们的表面积等于侧面积与底面面积之和．3．(2011·)某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中最大的是()．A．8 B．62C．10 D．82解析由三视图可知，该几何体的四个面都是直角三角形，面积分别为6,62，8,10，所以面积最大的是10，故选择C.答案C4．(2011·)设右图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为()．9 9A.π＋12B.π＋182 2C．9π＋42D．36π＋18解析该几何体是由一个球与一个长方体组成的组合体，球的直径为3，长方体的底面是边39322长为3的正方形，高为2，故所求体积为2×23＋π3＝π＋18.答案B5．若一个球的体积为43π，则它的表面积为________．解析V＝R＝3，S＝4πR2＝4π·3＝12π.答案12π......考向一几何体的表面积【例1】►(2011·)一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()．C．48＋817 D．80[审题视点]由三视图还原几何体，把图中的数据转化为几何体的尺寸计算表面积．解析换个视角看问题，该几何体可以看成是底面为等腰梯形，高为4的直棱柱，且等腰梯形的两底分别为2,4，高为4，故腰长为17，所以该几何体的表面积为48＋817.AA．48B．32＋817以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系．【训练1】若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则其侧面积等于()．A.3 B．2C．23 D．6解析由正视图可知此三棱柱是一个底面边长为2的正三角形、侧棱为1的直三棱柱，则此三棱柱的侧面积为2×1×3＝6.答案D考向二几何体的体积【例2】►(2011·)如图，某几何体的正视图(主视图)是平行四边形，侧视图(左视图)和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为()．A．183B．123C．93D．63[审题视点]根据三视图还原几何体的形状，根据图中的数据和几何体的体积公式求解．解析该几何体为一个斜棱柱，其直观图如图所示，由题知该几何体的底面是边长为3的正方形，高为3，故V＝3×3×3＝93.答案C以三视图为载体考查几何体的体积，解题的关键是根据三视图想象原几何体的形状构成，并从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系，然后在直观图中求解．【训练2】(2012·模拟)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于()．和半径为1和半径为1的球的组合体，则该几何体的体积为π×22×2＋43π＝283π.答案A考向三几何体的展开与折叠A.πB.π3 34C.π＋8D．12π3解析由三视图可知，该几何体是底面半径为2，高为2的圆柱【例3】►(2012·模拟)如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AB＝4，AD＝CD＝2，将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体DABC，如图2所示．(1)求证：BC⊥平面ACD；(2)求几何体DABC的体积．[审题视点](1)利用线面垂直的判定定理，证明BC垂直于平面ACD的两条相交线即可；(2)利用体积公式及等体积法证明．从而AC2＋BC2＝AB2，故AC⊥BC，取AC的中点O，连接DO，则DO⊥AC，又平面ADC⊥平面ABC，平面ADC∩平面ABC＝AC，DO⊂平面ADC，从而DO⊥平面ABC，∴DO⊥BC，又AC⊥BC，AC∩DO＝O，∴BC⊥平面ACD.(2)解由(1)可知，BC为三棱锥BACD的高，BC＝22，S＝2，∴V＝(1)证明在图中，可得AC(1)证明在图中，可得AC＝BC＝22，111111 1 42S·BC＝×2×22＝ ，△ACD 3 32由等体积性可知，几何体DABC的体积为.3(1)有关折叠问题，一定要分清折叠前后两图形(折前的平面图形和折叠后的空间图形)各元素间的位置和数量关系，哪些变，哪些不变．(2)研究几何体表面上两点的最短距离问题，常选择恰当的母线或棱展开，转化为平面上两点间的最短距离问题．【训练3】已知在直三棱柱ABCABC中，底面为直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝CC＝2，P是BC上一动点，如图所示，则CP＋PA的最小值为________．1....解析.解析PA1在平面A1BC1，PC在平面BCC1，将其铺平后转化为平面上的问题解决．计算A1B＝AB1＝40，BC1＝2，又A1C1＝6，故△A1BC1是∠A1C1B＝90°的直角三角形．铺平平面A1BC1、平面BCC1，如图所示．CP＋PA1≥A1C.在△AC1C中，由余弦定理得A1C＝62＋22－2·6·2·cos135°＝50＝52，故(CP＋PA1)min＝52.答案52难点突破17——空间几何体的表面积和体积的求解空间几何体的表面积和体积计算是高考的一个常见考点，解决这类问题，首先要熟练掌握各类空间几何体的表面积和体积计算公式，其次要掌握一定的技巧，如把不规则几何体分割成几个规则几何体的技巧、把一个空间几何体纳入一个更大的几何体中的补形技巧、对旋转体作其轴截面的技巧、通过方程或方程组求解的技巧等，这是化解空间几何体面积和体积计算难点的关键．【示例1】►(2010·)一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积为(