2023苏锡常镇高三三模数学试题

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2023届苏锡常镇高三年级第三次模拟考试(十五)

数学

(总分值160分，考试时间120分钟)

11

方差公式：s2＝[(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(xn－x)2]，其中x＝(x1＋x2＋…＋xn)．

nn一、填空题：本大题共14小题，每题5分，共计70分．

1.若复数z满足(1＋i)z＝2(i是虚数单位)，则z的虚部为________．

2.设集合A＝{2，4}，B＝{a2，2}(其中a0，则af(a)＋bf(b)＋cf(c)的最大值是________．

11

14.已知a，b为正实数，且(a－b)2＝4(ab)3，则＋的最小值为________．

ab

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15.(本小题总分值14分)

如图，在四棱锥PABCD中，∠ADB＝90°，CB＝CD，E为棱PB的中点．(1)若PB＝PD，求证：PC⊥BD；(2)求证：CE∥平面PAD.

16.(本小题总分值14分)

在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设△ABC的面积为S，且4S＝3(a2＋c2－b2)．

(1)求角B的大小；

(2)设向量m＝(sin2A，3cosA)，n＝(3，－2cosA)，求m·n的取值范围．

17.(本小题总分值14分)

下图1是一座斜拉桥的航拍图，为了分析大桥的承重状况，研究小组将其抽象成图2所示的数学模型，索塔AB，CD与桥面AC均垂直，通过测量知两索塔的高度均为60m，桥面AC上一点P到索塔AB，CD距离之比为21∶4，且点P对两塔顶的视角为135°.

(1)求两索塔之间桥面AC的长度；

(2)研究说明索塔对桥面上某处的“承重强度〞与多种因素有关，可简单抽象为：某索塔对桥面上某处的“承重强度〞与索塔的高度成正比(比例系数为正数a)，且与该处到索塔的距离的平方成反比(比例系数为正数b)．问两索塔对桥面何处的“承重强度〞之和最小？并求出最小值．

18.(本小题总分值16分)

x2y22如图，椭圆2＋2＝1(a>b>0)的离心率为，焦点到相应准线的距离为1，点A，B，C

ab2分别为椭圆的左顶点、右顶点和上顶点，过点C的直线l交椭圆于点D，交x轴于点M(x1，

0)，直线AC与直线BD交于点N(x2，y2)．

(1)求椭圆的标准方程；

→→

(2)若CM＝2MD，求直线l的方程；(3)求证：x1·x2为定值．

19.(本小题总分值16分)

已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1，a，b∈R.(1)若a2＋b＝0.

(ⅰ)当a>0时，求函数f(x)的极值(用a表示)；

(ⅱ)若f(x)有三个相异零点，问是否存在实数a使得这三个零点成等差数列？若存在，试求出实数a的值；若不存在，请说明理由；

(2)函数f(x)的图象在点A处的切线l1与f(x)的图象相交于另一点B，函数f(x)的图象在点B处的切线为l2，直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，且k2＝4k1，求a，b满足的关系式．

20.(本小题总分值16分)

已知等差数列{an}的首项为1，公差为d，数列{bn}的前n项和为Sn，且对任意的n∈N*，6Sn＝9bn－an－2恒成立．

(1)假使数列{Sn}是等差数列，求证：数列{bn}也是等差数列；

1??

(2)假使数列?bn＋2?为等比数列，求d的值．

??

(3)假使d＝3，数列{cn}的首项为1，cn＝bn－bn－1(n≥2)，求证：数列{an}中存在无穷多

项可表示为数列{cn}中的两项之和．

2023届高三年级第三次模拟考试(十五)

数学附加题

(本部分总分值40分，考试时间30分钟)

21.此题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A.[选修41：几何证明选讲](本小题总分值10分)

如图，AB为圆O的直径，AE平分∠BAC交圆O于点E，过点E作圆O的切线交AC于点D，求证AC⊥DE.

B.[选修42：矩阵与变换](本小题总分值10分)

?21?的一个特征值为3，求M－1.

已知矩阵M＝??

?4x?

20.(本小题总分值16分)

已知等差数列{an}的首项为1，公差为d，数列{bn}的前n项和为Sn，且对任意的n∈N*，6Sn＝9bn－an－2恒成立．

(1)假使数列{Sn}是等差数列，求证：数列{bn}也是等差数列；

1??

(2)假使数列?bn＋2?为等比数列，求d的值．

??

(3)假使d＝3，数列{cn}的首项为1，cn＝bn－bn－1(n≥2)，求证：数列{an}中存在无穷多

项可表示为数列{cn}中的两项之和．

2023届高三年级第三次模拟考试(十五)

数学附加题

(本部分总分值40分，考试时间30分钟)

21.此题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A.[选修41：几何证明选讲](本小题总分值10分)

如图，AB为圆O的直径，AE平分∠BAC交圆O于点E，过点E作圆O的切线交AC于点D，求证AC