三角形角平分线练习题

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三角形角平分线练习题

求证：AE?AF.

例2．已知：如图，BD是?ABC的平分线，AB?BC，P在BD上，PM?AD，PN?CD.求证：PM?PN.

例3．如图，已知：在?ABC中AD是?BAC的平分线，DE?AB于E，DF?AC于F.求证：AD?EF.

例4．已知：如图，在?ABC中，?C?90?，AC?BC，AD是?A的平分线.

求证：AC?CD?AB.

例5、如图，已知AB//DC，?A??D?90?，点E在。求证：BC?AB?DC。

例6．已知：如图，在?ABC中，BE、CF分别平分?ABC求证：点O在?A的平分线上.1

1、以下说法正确的有几个

角的平分线上的点到角的两边的距离相等；三角形两个内角的平分线交点到三边距离相等；三角形两个内角的平分线的交点到三个顶点的距离相等；

点E、F分别在∠AOB的两边上，P点到E、F两点距

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离相等，所以P点在∠AOB的平分线上；若OC是∠AOB的平分线，过OC上的点P作OC的垂线，交OB于D，交OA于E，则线段PD、PE的长分别是P点到角两边的距离A．BCD5

2、在△ABC中，∠C＝900，BC＝16cm，∠A的平分线AD交BC于D，且CD：DB＝3：5，则D到AB的距离等于＿＿＿＿

3、已知：如图1，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于E，S?ABC?36cmAB＝18cm,BC＝12cm,求DE的长

4．如图，已知：BD?CD，BF?AC于F，CE?AB于E.求证：D在?BAC的平分线上.图1

5、已知：如图2，∠B＝∠C＝90，M是BC中点，DM平分∠ADC求证：AM平分∠DAB图2BDCM

6．如图，?ABC是等腰直角三角形，?A?90?，BD是?ABC的平分线，DE?BC于E，BC?10cm，求?DEC的周长.2

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7．如图，已知：在?ABC中，外角?CBD和?BCE的平分线BF，CF相交于点F.

求证：点F在?DAE的平分线上.8、如图，AD//BC，点

E

在线段

AB

上，?ADE??CDE，?DCE??ECB，求证：CD?AD?BC。C

9、已知：如图3，在△ABC中，∠B＝600，△ABC的角平分线AD、CE线相交于点O求证：AE+CD＝ACE图DC

10.如图在△ABC中,∠BAC＝100°,∠ACB＝,若∠DAC＝

20°,求∠CED的度数.

11.在四边形ABCD中,BC﹥BA,AD＝CD,BD平分∠ABC,∠C＝7234

姓名：11.1.1知识点：三角形的边

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11、现有两根木棒，它们的长分别为40cm和50cm，若要钉成一个三角形木架，则在以下四根木棒中应选取A．10cm长的木棒B．40cm长的木棒C．90cm长的木棒D．100cm长的木棒拓展训练：

1.已知一个三角形的两边长分别是3cm和4cm，则第三边长x的取值范围是．?若x是奇数，则x的值是______；则它的周长为______；?若x?是偶数，?则x?的值是______。.等腰三角形的两边长是4和9，则第三边长是，若其两边是6和10，则其周长是。.△ABC的三边是a、b、c，则a-b-c-b-a

4.已知三角形的三边长分别为2、x、10，则三角形的周长为奇数，求x的值。测试题一、选择题:1.

已

知

三

条

线

段

的

比

是:①1:3:4;②1:2:3;③1:4:6;④3:3:6;⑤6:6:10;⑥3:4:5.其中可构成三角形的有

1、三角形：不在同一条直线上的线段首位顺次相接组成的封闭图形、三角形分类

3、三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边、三角形：不在同一条直线上的线段首位顺次相接组成的封闭图形、三角形分类

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6、三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边测试题

1.由______________的三条线段______相接所组成得图形叫做三角形。

2.如图，三角形的三边分别是________或______，三角形的内角分别是__________，三角形的顶点分别是_______，这个三角形记作______，读作____________..三角形按边的关系可分为和，而等腰三角形又分A.1个B.2个C.3个C.4个

为和。三角形按内角大小可分为、

2.假使三角形的两边长分别为3和5,则周长L的取值范围是和。

A.64.三角形两边的和第三边，三角形两边的差第三边。.现有两根木棒,它们的长度分别为20cm和30cm,若不改变木棒的长度,要钉成一个三角形木架,5.三角形的三边分别为2、x、5，则整数x=。

6.等腰三角形的周长为16，其一边长为6，则另两边长为。

7.已知三角形的两边长是3cm和8cm，则此三角形的第三边长可能是A.cmB.cmC.cmD.13cm

8.一个三角形的三边长是m、、5，那么m的取值范围

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是A.39.以下选项中，给出的三条线段不能组成三角形的是

A.a+1,a+2,a+B.三边之比为2:3:4C.30cm，8cm，10cmD.3k，4k，5k10.以下说法中正确的是

A.等腰三角形一腰的长至少要大于底边长的一半B.三角形按边的关系分为不等边三角形、等边三角形C.长度为5、6、10的三条线段不能组成三角形D.等腰三角形的两边长是1和2，则其周长为4或5应在以下四根木棒中选取

A.10cm的木棒B.20cm的木棒;C.50cm的木棒D.60cm的木棒.已知等腰三角形的两边长分别为3和6,则它的周长为A.B.1C.1D.12或15

5.已知三角形的三边长为连续整数,且周长为12cm,则它的最短边长为A.2cmB.3cmC.4cmD.5cm

6.已知三角形的周长为9,且三边长都是整数,则满足条件的三角形共有A.2个B.3个C.4个D.5个二、填空题:

1.若三角形的两边长分别是2和7,则第三边长c的取值范围是_______;当周长为奇数时,第三边长为________;当周长是5的倍数时,第三边长为________.

2.若等腰三角形的两边长分别为3和7,则它的周长为_______;若等腰三角形的两边长分别是3和4,则它的周长

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为_____.

3.若等腰三角形的腰长为6,则它的底边长a的取值范围是________;若等腰三角形的底边长为4,则它的腰长b的取值范围是_______.

4.若五条线段的长分别是1cm,2cm,3cm,4cm,5cm,则以其中三条线段为边可构成______个三角形..已知等腰三角形ABC中,AB=AC=10cm,D为AC边上一点,且BD=AD,△BCD的周长为15cm,则底边BC11、三角形中线：连接顶点和对边中点，所得线段叫做三角形的中线的长为__________.

6.已知等腰三角形的两边长分别为4cm和7cm,且它的周长大于16cm,则第三边长为_____.三、基础训练:1.如下图,已知P是△ABC内一点,试说明PA+PB+PC>12.A

2.已知等腰三角形的两边长分别为4,9,求它的周长.C

四、提高训练:

设△ABC的三边a,b,c的长度都是自然数,且a≤b≤c,a+b+c=13,则以a,b,c为边的三角形共有几个?

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五、摸索发现:

若三角形的各边长均为正整数,且最长边为9,则这样的三角形的个数是多少?

11.1.2三角形的高、中线、角平分线知识点：

7、三角形的高：过三角形的一个顶点向对边做垂线，所得垂线段的长度叫做三角形的高、三角形中线：连接顶点和对边中点，所得线段叫做三角形的中线

9、三角形的角平分线：做一个角的平分线交对边于一点，所得线段叫做角平分线10、三角形的高：过三角形的一个顶点向对边做垂线，所得垂线段的长度叫做三角形的高12、三角形的角平分线：做一个角的平分线交对边于一点，所得线段叫做角平分线13、三角形的高：过三角形的一个顶点向对边做垂线，所得垂线段的长度叫做三角形的高14、三角形中线：连接顶点和对边中点，所得线段叫做三角形的中线

15、三角形的角平分线：做一个角的平分线交对边于一点，所得线段叫做角平分线测试题

三角形的高：1、从△ABC的顶点A向作垂线，垂足为D,所得线段AD叫做△ABC的边BC上的高。

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作出以下三角形三边上的高：BCBC

2、上面第1图中，AD是△ABC的边BC上的高，则∠ADC=∠=。、由作图可得出如下结论：

三角形的三条高线所在的直线相交于点；锐角三角形的三条高相交三角形的；

钝角三角形的三条高所在直线相交三角形的；直角三角形的三条高相交三角形的；交点我们叫做三角形的垂心。

4、对应练习：如下图，画△ABC的一边上的高，以下画法正确的是．5．三角形的高线是．

A．直线B．射线C．线段D．以上都不对.画出①、②、③三个△ABC各边的高,并说明是哪条边的高.AAABCBCB①②③

AB边上的高是线段____AB边上的高是线段____AB边上的高是线段____BC边上的高是_________BC边上的高是_________BC边上的高是_________

AC边上的高是_________AC边上的高是_________AC

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边上的高是_________.以下说法正确的是

A.三角形的三条高相交于三角形内部一点的三角形是钝角三角形B.三角形的三条高相交于三角形内部一点的三角形是锐角三角形C.三角形的三条高都在三角形内部的是直角三角形

D.三角形的三条高中只有一条高在三角形内部的，是钝角三角形

8.三角形的三条高相交于一点吗？锐角三角形、直角三角形、钝角三角形他们的三条高各交于什么位置？三角形的中线

1.连接△ABC顶点A和，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的中线。.画出①、②、③三个△ABC各边的中线,并说明是哪条边的中线.AAABBCCCB①②③

AB边上的中线是线段____AB边上的中线是线段____AB边上的中线是线段____BC边上的中线是_______BC边上的中线是________BC边上的中线是_________AC边上的中线是_______AC边上的中线是_________AC边上的中线是

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_________写出图中所有相等关系的线段：___________________________________、由作图可得出如下结论：三角形的三条中线相交于点；

锐角三角形的三条中线相交三角形的；钝角三角形的三条中线相交三角形的

；直角三角形的三条中线相交三角形的；交点我们叫做三角形的重心。1

4、AD是△ABC的边BC上的中线，则有BD==，2

5、对应练习：如图，D、E是边AC的三等分点，图中有个三角形，BD是三角形中边上的中线，BE是三角形中边上的中线

三角形的角平分线

1.画∠A的平分线AD，交于D，所得线段AD叫做△ABC的角平分线。.认识并会画三角形的角平分线A

画出△ABC各角的角平分线,并说明是哪角的角平分线.ABBC

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∠ABC的角平分线是线段____∠ABC的角平分线是线段____∠BAC的角平分线是__________∠BAC的角平分线是__________∠ACB的角平分线是___________∠ACB的角平分线是___________写出图中所有相等关系的角:___________________、作出以下三角形三角的角平分线：BCBC

4、AD是△ABC的∠BAC的角平分线，则∠BAD=∠=、由作图可得出如下结论：

三角形的三条角平分线相交于点；

锐角三角形的三条角平分线相交三角形的；钝角三角形的三条角平分线相交三角形的；直角三角形的三条角平分线相交三角形的；交点我们叫做三角形的内心。1

6、对应练习：如图，已知∠1=∠BAC，∠=∠3，2

则∠BAC的平分线为，∠ABC的平分线为.综合演练：

1.能把一个三角形分成面积相等的两个小三角形的是这个三角形的

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A.角平分线B.高C.边的中垂线D.中线

2.三角形的三条高、三条中线、三条角平分线都是3.如图，AD是△ABC的高，AE是△ABC的角平分线，AF是△ABC的中线，写出图中所有相等的角和相等的线段。BFEC

4.如图，AD、AE、CF分别是△ABC的中线、角平分线和高，则：1

BD=______=2________；BC=2_______=2_______；CEADB

A.DE是△BCD的中线B.BD是△ABC的中线C.AD=DC,BD=ECD.∠C的对边是DE.如图3所示,在△ABC中,已知点D,E,F分别为边BC,AD,CE的中点,且S△ABC=4cm2,则S阴影等于A.2cmB.1cmC.F

121cmD.cm24

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1

∠BAE=_______=2_______

∠BAC=2_______=2_______；_______=_____=90°4.在△ABC,∠A=90°,角平分线AE、中线AD、高AH的大小关系为A.AHA.自行车的三角形车架B.三角形房架C.照相机的三角架D.矩形门框的斜拉条二、填空题:1.直角三角形两锐角的平分线所夹的钝角为_______度..等腰三角形的高线、角平分线、中线的总条数为________.

3.在△ABC中,∠B=80°,∠C=40°,AD,AE分别是△ABC的高线和角平分线,则∠DAE的度数为_________..三角形的三条中线交于一点,这一点在_______,三角形的三条角平分线交于一点,这一点在__________,三角形的三条高线所在直线交于一点,这一点在_____.三、基础训练:1.如下图,在△ABC中,∠C-∠B=90°,AE是∠BAC的平分线,求∠AEC的度数.

5.三角形的三条中线、三条角平分线也分别相交于一点吗？交点在什么位置？

5．如下图，已知△ABC：过A画出中线AD；画出角平分线CE；作AC边上的高．BC

7．在△ABC中，AB=AC，AC边上的中线BD把三角形的

；

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周长分为12cm和15cm两部分，求三角形各边的长．一、选择题：

1.如图1所示,在△ABC中,∠ACB=90°,把△ABC沿直线AC翻折180°,使点B落在点B′的位置,则线段AC具有性质

A.是边BB′上的中线B.是边BB′上的高C.是∠BAB′的角平分线D.以上三种性质合一A

2.在△ABC中,AB=AC,AD是中线,△ABC的周长为34cm,△ABD的周长为30cm,求AD的长.CA

四、提高训练:A

D在△ABC中,∠A=50°,高BE,CF所在的直线交于点O,求∠BOC的度数.BCB’BC

2.如图2所示,D,E分别是△ABC的边AC,BC的中点,则以下说法不正确的是

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角平分线练习一、选择题

1.已知：如图1，BE，CF是△ABC的角平分线，BE，CF相交于D，若∠A=50°，则∠BDC=A.70°B.120°C.115°D.130°.已知：如图2，△ABC中，AB=AC，BD为∠ABC的平分线，∠BDC=0°，则∠A=A.10°B.0°C.0°D.0°

3.三角形中，到三边距离相等的点是A.三条高线交点B.三条中线交点

C.三条角平分线的交点D.三边的垂直平分线的交点.已知P点在∠AOB的平分线上，∠AOB=0°，OP=10cm，那么P点到边OA、OB的距离分别是A.cm、cmB.cm、5cm

C.cm、5cmD.cm、10cm

5.以下四个命题的逆命题是假命题的是A.直角三角形的两个锐角互余B.等腰三角形的两个底角相等

C.全等三角形的对应角相等D.相等的两个角是对顶角

6.已知：如图3，△ABC中，∠C=0°，点O为△ABC的三条角平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，点D、E、

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F分别是垂足，且AB=10cm，BC=cm，CA=cm，则点O到三边AB，AC和BC的距离分别等于cmA.、2、B.3、3、C.、4、4D.、3、二、填空题

1.命题：“两直线平行，同旁内角互补〞的逆命题是，它是命题。

2.角平分线可以看作是的点的集合。

3.已知：△ABC中，∠C=0°，角平分线AD分对边BD：DC=：2，且BC=0cm，则点到AB的距离是cm。.命题“假使a=b，那么|a|=|b|〞的命题是，它是命题。三、简答题

1.已知：如图4，△ABC的外角∠FAC的平分线为AE，∠1=∠2，AD=AC求证：DC∥AE

2.已知：如图5，△ABC中，∠C=0°，点D是斜边AB的中点，AB=BC，DE⊥AB交AC于E求证：BE平分∠ABC

3.已知线段AB，求线段AB的四等分点。

4.已知：如图6，△ABC中，∠A=0°，AB=AC=BDED⊥BC

求证：AE=DE=DC1

5.已知：线段a和∠a

求作△ABC，使AB=AC=a，∠A=∠a

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线段的垂直平分线垂直平分线的性质定理和它的逆定理；

思路分析：

此题利用垂直平分线定理的逆定理来证明可稀奇制胜，而利用全等三角形证明却较繁琐，

因而在今后的证题思路的分析中，要充分发挥后续定理的作用。第三阶段

[例5]如图3.14—5，求作一点P，使PC=PD，并且使点P到∠AOB两边的距离相等。

思路分析：由PC=PD，知P在线段CD的中垂线上。由P到∠AOB两边的距离相等，知P在∠AOB的平分线上。[例6]如图3.14—7，已知：△ABC中，AB=AC，∠A=120°，AB的垂直平分线MN分别交BC、AB于点M、N求证：CM=2BM。二、例题分析

[例1]如图3—14—2，已知AB=AC，BD=DC，AD，BC相交于点O。求证：AD⊥BC。思路分析：

此题证法比较多，可利用等腰三角形的性质及线段垂直平分线的性质定理的逆定理来证。这里我们选用线段垂直平分线的性质定理的逆定理来证。

[例2]已知：如图下图3—14—2，在△ABC中，AD是高，BC的垂直平分线交AC于E，BE交AD于F。求证：E在

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AF的垂直平分线上。思路分析：

由图形观测到∠CAD与∠C互余，∠BFD与∠CBE互余，∠AFE=∠BFD因此只需证明∠C=∠CBE，就可得到∠CAD=∠AFE。

思路分析：等腰三角形性质、中垂线的性质、30°直角三

角形的性质。三、练习题

1、若一个三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上，则

这个三角形是A、锐角三角形B、钝角三形C、直角三角形D、不能确定其次阶段

[例3]如图3.14—3，已知：AB=AC，AB的垂直平分线交AC于D，垂足是点E，∠C=70°，求∠BDC的度数。思路分析：

∵AB=AC，由∠C先求出∠A，根据DE是AB的中垂线，得到AD=BD，求出∠DBA，再计算出∠BDC。

[例4]如图3.14—4，已知：AB=AC，DB=DC，E是AD上的一点，求证：BE=CE。

6、线段的垂直平分线有_____________条，它是_________的集合。

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7、若△ABC中有两边的垂直平分线的交点恰好在第三边上，则△ABC必定为A、锐角三角形B、直角形C、等腰三角形D、等边三角形2

2、线段的垂段直平分线上的点和这条线段两个端点的_________相等。、和一条线段的两个端点距离相等的点，在这条线段的__________________上。

4、线段的垂直平分线可以看作是和线段两个端点的__________________点的集合。

5、三角形三边垂直平分线的交点到_________的距离相等。

8、以下说法：①若直线PE是线段AB的中垂线，则EA=EB，PA=PB；②若PA=PB，EA=EB，则直线PE垂直平分线段AB；③若PA=PB，则点P必是线段AB中垂线上的点；④若EA=EB，则经过点E的直线垂直平分线段AB，其中正确的个数为A、1个B、2个C、3个D、4个、已知MN是线段AB的垂直平分线，以下说法中正确的是A、与AB距离相等的点在MN上

B、与点A和点B距离相等的点在MN上C、与MN距离相等的点在AB上D、AB垂直平分MN

10、已知点D在△ABC的边AB的垂直平分线上，且AD+DC=AC，若AC=5cm，BC=4cm，则△BDC的周长为

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A、6cmB、7cmC、8cmD、9cm11、已知：AD是△ABC的角平分线，AD的垂直平分线交BC的延长线于F。求证：∠FAC=∠B。

4．如图3所示，△ABC中，AB=AC，AD是∠A的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，下面给出四个结论，其中正确的结论有①AD平分∠EDF；②AE=AF；③AD上的点到B、C两点的距离相等④到AE、AF距离相等的点，到DE、DF的距离也相等

A、1个B、2个C、3个D、4个．如图，已知点D是∠ABC的平分线上一点，点P在BD

上，PA⊥AB，PC⊥BC，垂足分别为A，C．以下结论错误的是．A．AD=CP

B．△ABP≌△CBPC．△ABD≌△CBDPD．∠ADB=∠CDB．二、精心填一填，你会轻松

6．在直角△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若CD=8，则点D到斜边AB的距离等于_____________．．，已知点C是∠AOB平分线上的一点，点P、P′分别在边OA、OB上，假使要得到OP＝OP′，需要添加以下条件中的某一个即可，请你写出所有可能结果的序号为______________．①∠OCP＝∠OCP′；②∠OPC＝∠OP′C；③PC＝P′C；④PP′⊥OC．．如下图，已知BO平分?CBA，CO

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平分?ACB，

MN∥BC，且过点O，若AB?12，AC?14，则△AMN的周长是

12、已知△ABC中，AB=AC，在AB上求作一点E，使EA=EC，以在什么状况下E点在BA的延长线上？在什么状况下，此题无解？

角的平分线的性质自测夯实基础

一、耐心选一选，你会开心1．如图1所示，AD⊥OB，BC⊥OA，垂足分别为D、C，AD与BC相交于点P，若PA＝PB，则∠1与∠2的大小是A.∠1＝∠B.∠1＞∠2

C.∠1＜∠D.无法确定．△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，图．E

9．如上右图，在△ABC中，∠C=900，AD平分∠CAB，BC＝8cm，BD＝5cm，

那么D点到直线AB的距离是cm．10．如下图：⑴若∠BAD＝∠CAD，且BD⊥AB于B，DC⊥AC于C，则BD＝CD，⑵若BD⊥AB于B，DC⊥AC于C，且BD＝CD，则∠BAD＝∠CAD，试利用上述知识，解决下面的问题：三条马路两两相交于A、

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B、C三点，现计划修建一个商品超市，要求这个垂足为E，若AB＝12cm，则△DBE的周长为

A、12cmB、10cmC、14cmD、11cm．如图2所示，已知PA、PC分别是△ABC的外角∠DAC、∠ECA的平分线，PM⊥BD，PN⊥BE，垂足分别为M、N，那么PM与PN的关系是A.PM＞PNB.PM＝PNC.PM＜PND.无法确定BC图2PNE

超市到三条马路距离相等，问可供选择的地方有处．图33

三、细心做一做，你会成功

11．已知：AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，BD＝CD，求证：∠B＝∠C.12．如图，已知在△ABC中，?C?90?，

点D是斜边AB的中点，AB?2BC，DE?AB交AC于E．求证：BE平分?ABC．ＢＡＥＣ

13．先作图，再证明．

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在所给的图形中完成以下作图

①作?ACB的平分线CD，交AB于点D；②延长BC到点E，使CE?CA，连结AE．求证：CD∥AE．综合创新

14．如图，△ABC中，P是角平分线AD，BE的交点．求证：点P在∠C的平分线上．AEBDC

15．已知：如图，?B??C?90?，M是BC的中点，DM平分?ADC．

若连接AM，则AM是否平分?BAD？请你证明你的结论．线段DM与AM有怎样的位置关系？请说明理由．中考链接

16在Rt△ABC中，?C＝90?，?BAC的

角平分线AD交BC于点D，CD＝2，则点D到AB的距离是A．1B．C．D．4

17．到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的Ａ．三条中线的交点

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