2023年数学高考一轮复习真题演练(2021-22年真题)专题20解三角形

专题20解三角形

【考点预测】

知识点一：基本定理公式

(1)正余弦定理：在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,R为△ABC外接圆半径，则

定理正弦定理余弦定理

a2=b2+c2-2bccosA；

abc

公式__2/?b2=c2+a2-2accosB；

sinAsinBsinC

c1=cr+tr-2ahcosC

从

cosAA=---------------；

⑴。=27?sinA,Z?=2/?sinB,c=27?sinC；2hc

常见c2+a2-b2

(2)sinA=—,sinB=—,sinC=—；cosBD=---------------:

变形2R2R2R2ac

ca2+b2-c2

2ab

(2)面积公式：

SsABC=gabsinC=；0csinA=JacsinBS^ABC==g(a+6+c)•r(r是三角形内切圆的半径，并

可由此计算R,，.)

知识点二：相关应用

(1)正弦定理的应用

①边化角，角化边=a:〃:c=sinA:sinB:sinC

②大边对大角大角对大边

a>Z><=>i4>B<=>sinA>sinB<^>cosA<cosB③合分比

----a-+-b-+-c---=a+b=---b-+-c--=---a-+-c--=--a-=--b-=--c-=2.R_

sinA+sin8+sinC----sinA+sin8sin8+sinC---sinA+sinCsinAsinB----sinC

(2)ZkA5c内角和定理：A+3+C=%

@sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsin3oc=a8sB+匕cosA

同理有：a=bcosC+ccosB,b=ccosA+acosC.

②-cosC=cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB；

tqnA+tqnR

③斜三角形中，一tanC=tan(A+B)=----------------。tanA+tanB+tanC=tanA-tan£?«tanC

1-tanA-tanB

公./A+BCA4-B.C

④sm(-------)=cos—；cosz(-------)=sin——

2222

⑤在AASC中，内角AB,。成等差数列0B=%,4+。=二.知识点三：实际应用

33

（1）仰角和俯角

在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角（如图①）.

图①图②图③图④（2）方位角

从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为a（如图②）.

（3）方向角：相对于某一正方向的水平角.

⑴北偏东a,即由指北方向顺时针旋转«到达目标方向（如图③）.

（2）北偏西a,即由指北方向逆时针旋转a到达目标方向.

（3）南偏西等其他方向角类似.

（4）坡角与坡度

（1）坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数（如图④，角。为坡角）.

（2）坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比（如图④，i为坡度）.坡度又称为坡比.

【方法技巧与总结】

1.方法技巧：解三角形多解情况

在aABC中，已知a,6和A时，解的情况如下：

A为锐角A为钝角或直角

zLC

…至cc

图形0

AB；-•…-BA'-.....BAH

AB

hsinA<a<ha>h

关系式a=bsinAa>ba<b

解的个

一解两解-一解一解无解

数

2.在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要

选择“边化角''或"角化边”，变换原则常用：

（1）若式子含有sinx的齐次式，优先考虑正弦定理，“角化边”；

（2）若式子含有。，仇。的齐次式，优先考虑正弦定理，“边化角”；

（3）若式子含有cosx的齐次式，优先考虑余弦定理，“角化边”；

（4）代数变形或者三角恒等变换前置；

（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理使用；

（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到A+6+C=i.

【题型归纳目录】

题型一：正弦定理的应用

题型二：余弦定理的应用

题型三：判断三角形的形状

题型四：正、余弦定理与的综合

题型五：解三角形的实际应用

题型六：倍角关系

题型七：三角形解的个数

题型八：三角形中的面积与周长问题

【典例例题】

题型一：正弦定理的应用

例1.（2022•浙江・镇海中学高三开学考试）在AABC中，A=30。，8c=1,则AABC外接圆的半径为（）

A.1B.yC.2D.3

【答案】A

【解析】

【分析】

直接使用正弦定理进行求解即可.

【详解】

设R为AABC外接圆的半径，故2R=—二=一二=2,解得E=l.

sinAsin30

故选：A.

例2.（2022•青海玉树•高三阶段练习（文））在△ABC中，内角A,B,。所对的边分别为c,且△ABC

的面积5=¥（/+。2_/）.

（1）求角B的大小；

⑵若4+6）=2C，求sinC.

【答案】（1）3=5

0）+瓜

4

【解析】

【分析】

（1）首先利用正弦定理面积公式和余弦定理化简已知条件得到tanB=G，即可得到答案.（2）首先利

用正弦定理边化角公式得到sin4+夜sin8=2sinC，化简得到C=^^，再求其正弦值即可.

(1)

因为s

所以,acsin9o9Xy/iia'-+c--b~\f-L

B=a~+c--b)»sinB=——------------=cos8=>tan3=J3•

2lac

TT

又因为0<8<)，所以3=

(2)

因为〃+V^/2=2C，所以5由4+应$山3=2$皿。，

即sin(g4-c］+&sin?=2sinC,

所以由cosC+」sinC+^^=2sinC,V3sinC-cosC=>/2=>sinfC--1=—

222I2

因为0<C<2»,

3662

所以。一工=工，即C=』).

6412

，涎+色变=叵毡

22224

例3.(2022•全国•高考真题)记AABC的内角A,B,C的对边分别为a,h,c,分别以a,b,c为边长

的三个正三角形的面积依次为St,S2,S},已知st-S2+S^sin8=-.

(1)求AABC的面积；

(2)若sinAsinC=也，求b.

3

【答案】(1)当

8

吗

【解析】

【分析】

222

(1)先表示出6,$2,S3,再由S「昆+&=立求得a+c-b=2,结合余弦定理及平方关系求得皿,

再由面积公式求解即可；(2)由正弦定理得一号一=—--,即可求解.

siirBsinAsinC

(1)

［十］耳而音俎C122Q.2c2milQC,Q2।2,V32V3

由题思得'—=­a,S2=­h,S3=­c,贝！JS1-S2+S3=7〃--/?+—c=—»

BPtz2+c2-b2=2,由余弦定理得cos8=巴士———,整理得accos3=l,则cos3＞。，又sinB=2，

2ac3

川Rlif1?2a13A/2mC1.口叵

V⑶3cosB428

(2)

372

bac,b2acac49b3

由正弦定理得:ni

sinBsinAsinCsin-BsinAsinCsinAsinCV24sin32

"T

b=-sinB=-

22

例4.(2022・安徽•合肥一六八中学模拟预测(文))在△A6C中，角A,B,C所对的边分别为〃，b,

3

若sinA=§,A=25,角。为钝角，b=5.

⑴求sin(A—3)的值；

(2)求边c的长.

【答案】(1)迎

10

(2)13

【解析】

【分析】

3

(I)由sinA=:求导cosA,利用cosA=cos23=2cos25—1求得cosB,sinB,

再由两角差的正弦展开式可得答案；

(2)利用正弦定理和sinC=sin(A+8)=sinAcosB+cosAsin8可得答案.

(1)

因为。为钝角，由sinA=],则cosA=Jl-si-4=g

JD

R1]cosA=cos2B=2cos2B-l,C为钝角可得3为锐角,

而卜Jo3屈.nVio

所以cosB-------，sinB=------»

1010

可得sin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB=.(2)

由(1)可知：sinB=,则cosB=，C=TT—A—B,

1010

则sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=,

.5c

正弦定理：=Vio-13V10,

加8smC-百

可得：c=13.

例5.(2022.湖北.黄石市有色第一中学模拟预测)在AABC中，内角A8,C的对边分别为“，b,c,

已知2cosC(rzcosB+ZTCOS/1)=c.

(1)若cosA=逅，求sin(2A+C)的值；

(2)若。=近，AA3C的面积为生叵，求边。，b的值.

2

【答案】⑴行"

8

(2)a=2,6=3或a=3,b=2

【解析】

【分析】

(1)由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简可求cosC,根据cosA="求得sin2A8s2A,进而由

4

二倍角公式及和差角公式可求sin(2A+C)的值；

(2)由已知结合三角形面积公式及余弦定理可求得答案.

(1)

因为2cosC(67cosB+hcosA)=c,

由正弦定理得2cosC(sinAcos8+sin8cosA)=sinC,

即2cosCsin(A+B)=2cosCsinC=sinC,

因为Cw(0,7t),sinC>0,所以cosC=—,

2

TT

由c为三角形内角得c=g：

由cosA=—,则sinA=,

44

所以sin2A=2sinAcosA==,cos2A=2cos2A-l=2x二一1二一1,

444164

•-oArioA-r116>/i~5—A/3

sin2A+C=sin2AcosC+cos2AsinC=-----x-------x——=------------；

'/42428

(2)

因为aABC的面积S=』sinC=±叵，所以=6,

22

由余弦定理c?="+加-2a)8sC得7=a2+b2-ab^\a2+b2=13@,

由①②解得a=2,b=3或。=3，b=2.

例6.(2022•青海西宁•二模(理))在①a=6；②a=8；③。=12这三个条件中任选一个，补充在下

面问题中，若问题中的三角形存在，求cosA的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.

问题：是否存在AA3C,它的内角A,B,C的对边分别为“，b,J面积为S,且〃+/一。2=45,

c-5>/2>?

【答案】答案不唯一，具体见解析

【解析】

【分析】

根据题干条件及余弦定理、面积公式，可求得角C的值，若选①。=6,根据正弦定理，可求得sinA的

值，根据大边对大角原则，可得角A只有一解，根据同角三角函数关系，可求得cosA的值；若选②a=8,

根据正弦定理，可求得sinA的值，根据大边对大角原则，可得角A有两解，根据同角三角函数关系，可求

得cosA的值；若选③a=12,根据正弦定理，可求得sinA的值，因为sinA>l,则三角形无解.

【详解】

由题意可知在AABC中，

因为/+〃-c2=4S,且S=g必sinC,

所以=sinC,

2ab

由余弦定理可知=cosC,

2ab

所以cosC=sinC

因为Cw。］),

所以c=工；

4

若选①a=6,由正弦定理可得三=-

sinAsine

A=—sinC=——,在AA8C中，因为c>“，所以C>A,

c5V225

又因为C=(,则角4只有一解，且

所以cosA=Jl-sin。A=Jl-(/)=；

若选②a=8,由正弦定理可得一二=一—，

sinAsine

解得sinA=—sinC=—x—=—,

c5V225

在AMC中，因为c<“，所以C<A,

7T

又因为C=N，则角4有两解，

4

所以cosA=±Jl-sin2A=+-^.

若选③a=12,由正弦定理可得—4=1三

sinAsinC

解得sinA=@sinC=-^x三=9，

c5V225

因为sinA>1,

所以AABC无解，即三角形不存在.

【方法技巧与总结】

(1)已知两角及一边求解三角形；

(2)已知两边一对角；.

大角求小角一解(锐)

"两解一sinA<1(—•锐角、一钝角)

小角求大角一|一解一sinA=1(直角)(3)两边一对角，求第三边.

无解一sinA>1

题型二：余弦定理的应用

例7.(2022•全国•高三专题练习)设AABC的内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c,若AABC的面

积为S,且4A/5S=(a+6)~,则sin(c、—()

A.1B.；C.—D.正

222

【答案】B【解析】

【分析】

由三角形面积公式及余弦定理结合已知条件可得6sinC-cosC=l,利用两角和差化积公式可得

【详解】

2

丁S=—absmC,a+〃一/=2abcosC,

代入4Gs=(a+b'f-c2=a2+b2-c2+lab,即2石扇sinC=2abeosC+2ab,

。〃=0,V3sinC=cosC+l»即6sinC—cosC=l

,Vs._i厂」.r「吟」

..—sinC-cosC=-=>sinC---=一,

222V6j2

故选：B.

例8,（2022•青海玉树•高三阶段练习（理））在“BC中，内角A,B,C的对边分别为〃"，c,且a=2",

cos4=J,sinB=2sinC,则〃=（）

4

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【解析】

【分析】

由正弦定理得b=2c,在△ABC中，由余弦定理即可求解.

【详解】

因为sin8=2sinC,由正弦定理可知b=2c,

在“BC中，由余弦定理可得：cos.J+f-叽'/：，；-24=:,解得/=4,•.-c>0,.-.c=2,

2bc44c~4

故b=4

故选：D

例9.（2022・青海・大通回族土族自治县教学研究室三模（理））在“8C中，mb,c分别是角A,B,

的对边.若〃，b,c成等比数列，且/一c?=（a-b）c',则A的大小是（）

B.工C.生D.斗

6336

【答案】B

【解析】

【分析】

由等比中项得〃=ac,结合题设得儿=〃+°2-/,结合余弦定理即可求解.【详解】

由已知得由"一c?=（〃一3）。，得/一02=比_历，所以/一廿=〃2-A,be=h2+C2-CT

由余弦定理得COSA=+C2-"=上土=2,又Ae（0,m,所以A=1.

2bc2bc23

故选：B.

例10.（2022•河南安阳•模拟预测（理））在AABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足

2b2-3c2一ac=0,sin（A+8）=2sinA,则tanC=.

【答案】B

2

【解析】

【分析】

由正弦定理角化边，即可得到。=为，从而得到人缶，再由余弦定理求出cosC,最后由同角三角

函数的基本关系计算可得；

【详解】

解：因为sin(A+8)=2sinA,即sinC=2sinA,由正弦定理可得°=为，

又2/一3/=0,即0-12/-2〃=0,即b=&a,

1八二+〉P1_ci~+h~—c~。~+7。~—4〃~2y

由余弦定理c~二4+/-2abcosC»即ncosC=--------------=---------7=—：-----=------,

2ab2。27

所以sinC=71-cos2C=也^,

7

叵

sinC_7__V3

所以tanC=-----=-f=-=—；

cosC2\/72

~7~

故答案为：息

2

【方法技巧与总结】

(1)已知两边一夹角或两边及一对角，求第三边.

(2)己知三边求角或已知三边判断三角形的形状，先求最大角的余弦值，

>0,则△ABC为锐角三角形

若余弦值<=0,则AABC为直角三角形.

<0,则△ABC为钝角三角形

题型三：判断三角形的形状

例11.(2022•吉林•三模(理))在AMC中，A,B,C所对的边分别为a,b,c,a2-b2=c2-y/2bcS.

6cosC=asin8,贝心钻。是()A.等腰直角三角形B.等边三角形C.等腰三角形

D.直角三角形

【答案】A

【解析】

【分析】

由/-〃=c2-J^c结合余弦定理可求得A=J,由6cosc=asinB结合正弦定理可求得C=£,从而可

44

判断出三角形的形状

【详解】

由。2-从二-及6。，得从+H一。2=0^。，

所以由余弦定理得cosA=~Czd=Xl丝=立，

2bc2bc2

因为Aw(0,7t),

所以A=j

4

因为bcosC=asinB,

所以由正弦定理得sinBcosC=sinAsinB,

因为sin8w0,所以cosC=sinA=sin—=，

42

因为Cw(0,7r),所以C=工，

4

所以3=兀一A—C二兀一百一色=工，

442

所以为等腰直角三角形，

故选：A

例12.(2022•陕西•西北工业大学附属中学模拟预测(理))设的内角A、B、C的对边分别是人

b、c,#-+7--=—则AABC的形状是()

abca+b-c

A.等边三角形

B.C为直角的直角三角形

C.C为顶角的等腰三角形

D.A为顶角的等腰三角形或B为顶角的等腰三角形

【答案】D

【解析】

【分析】

将式子去分母整理即可得到(a+»(a-c)出-c)=0,即可判断：

【详解】解：•.•1+1--!-=—,

abca+b-c

bc(a+力一c)+ac(a-\-b-c)-ab(a+b-c)=abc,

HPabc+b2c—be2+a2c+abc-ac2—erb—ab2+abc-abc=0,

合并得：Ire-be1+c^c-ac1-erb-ab1+lube=0,

(erb-a2c)+(-abc+ac2)+(ah2-abc)+(-h2c+he2)=0,

a2(b-c)-ac(b-c)+ab(h-<?)-hc(b-c)=0,

(a2-ac+ab-bc)(b-c)=0,

[a(a—c)+b(a—c)](b-c)=0,

...(a+b)(a-c)(b-c)=0,

4=（?或方=c,

所以AABC为以A为顶角的等腰三.角形或B为顶角的等腰三角形；

故选：D.

例13.（2022•青海♦海东市教育研究室一模（理））AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若

c1+b1cos2A=2bccosA,则△ABC为（）

A.等腰非等边三角形B.直角三角形

C.钝角三角形D.等边三角形

【答案】B

【解析】

【分析】

由条件可得c=bcosA,由正弦定理结合三角形中有sinC=sin（A+8）,利用正弦的和角公式可得

sinAcos3=（）,从而可得出答案.

【详解】

山c?+（bcosA）~-2cbeosA=0,可得（c-bcosA）~=0,所以c=bcosA,

所以sinC=cosAsinB.

在AABC中，sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB,故sinAcos3=0,

因为sinAwO,所以cos8=0,因为0<8<兀，所以B=],

故AABC为直角三角形.

故选：B

例14.（2022•全国•高三专题练习）已知AABC中，三内角AB,C满足2B=A+C,三边。，dc满足"=衣，

则△ABC是（）

A.直角三角形B.等腰直角三角形

C.等边三角形D.钝角三角形【答案】C

【解析】

【分析】

由三角形内角和定理及28=A+C可得8=?,余弦定理及〃=ac可得。=。，即可得AABC为等边三角

形.

【详解】

7T

△A8C中，V2B=A+Cn.A+B+C=7r,：.B=-,

^b2=ac，B=1代入余弦定理b1=a1+e-2accosB可得ac=a2+c2-2acx^,化简可得（。一c7=0,

即a=c,

Jr

又=由等边三角形判定定理可知AABC为等边三角形.

故选：C.

例15.（2022•全国♦高三专题练习）设AABC的三个内角A8,C满足2B=A+C,又sin23=sinAsinC,

则这个三角形的形状是（）

A.直角三角形B.等边三角形

C.等腰直角三角形D.钝角三角形

【答案】B

【解析】

【分析】

根据给定条件可得B=再利用正弦定理角化边，借助余弦定理计算判断作答.

【详解】

JT

因AABC的三个内角A+8+C=i,而28=A+C,则8=§,

又sin。8=sinAsinC，由正弦定理得：b2=ac>

由余弦定理从=a2+c,2-2accosB得：ac=a2+c2-ac，整理得3-。）2=0,即。=。，△ABC是等腰三

角形，

所以AMC是等边三角形.

故选：B

A+

例16.（2022.全国•高三专题练习）在AABC中，NA,DB,NC的对边分别为“，b,c,cos2-=——,

22c

则AABC的形状一定是（）

A.正三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形

【答案】B

【解析】

【分析】

根据降暮公式，先得到匕受=詈，化简整理，再由正弦定理，得到sinAcosC=0,推出cosC=（）,

进而可得出结果.

【详解】

因为温仁宇1+cosAsinB+sinCsinB1sinB

所以----=------=----1—所以cosA=

22c22sinC2sinC2sinC

即cosAsinC=sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,所以sinAcosC=(),因为sinAw0,

所以cosC=0,因为Ce（O,乃），所以C=],即A/IBC是直角三角形.

故选：B

【方法技巧与总结】

(I)求最大角的余弦，判断AABC是锐角、直角还是钝角三角形.

(2)用正弦定理或余弦定理把条件的边和角都统一成边或角，判断是等腰、等边还是直角三角形.

题型四：正、余弦定理与的综合

例17.(2022.全国•高三专题练习(理))如图，在AABC中，。是AC边上一点，ZABC为钝角，ZDBC=90°.

①sinNABC=^L®AC=3AD.

14

注：若选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分.

【答案】(1)证明见解析

(2)73

【解析】

【分析】

(1)根据三角形的外角和性质及诱导公式即可求解；(2)选①，根据同角三角形的平方关系，得出

cosZABC,再利用余弦定理、正弦定理及锐角三角函数的定义，结合三角形的面积公式即可求解；

选②，设出AD,根据勾股定理，得出结合已知条件得出A。,82。，利用锐角三角函数的定义,

得出角C,进而得出角Z4D8,再利用：角形的面积公式即可求解.

(1)

因为ZAD3=90°+C,

所以cosZADB=cos(90°+C)=-sinC,

故cosZADB+sinC=0；

(2)

选①sinN48c=

14

因为NABC>90。，

所以cosZABC=-Jl-sin2NABC=

14

在AABC中，由余弦定理可得AC=J28+4-2X2&X2X(-立)=6，

2A/76

由正弦定理可得sinC一3再

14

所以sinC=,故C=60°,

2

在必中，因为8c=2,所以8£>=8CtanC=2tan60o=2G，

又sinZABD=sin（NABC-90°）=-cosZABC=兴.

S0y=g4BxBOxsinNABQ=gx2/x2x/5x春=&选②AC=3AD,

设AO=x,则。C=2x,在肋△C8O中，BD=^DC--BC2=2y[7^\.

..yAr\n•✓-»xxzF.+4x?—4—282A/X~—1

由（1）cosZADB+sinC=01^----------,+-----------=0,

2xx2\/x2-12x

解得x=2,B[JAD=2,BD=273,CD=4,

在心△C8D中，则

tanC=—=—=73,0O<C<90°,

BC2

所以C=60°,

所以ZA£>B=C+Z£>BC=60°+90°=150°.所以S=-xADxBDxsinZADB=-x2x2^x-=.

例18.（2022•全国•高三专题练习）在①AB=24）,②sinZACB=2sin/4CZ）,③=2S4Ao，这三

个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.

已知在四边形ABCZ）中，ZABC+ZADC=it,BC=CD=2,且.

（1）证明：tanNABC=3tanNB4C；

（2）若AC=3,求四边形ABCO的面积.

【答案】（1）证明见解析

⑵亚

8

【解析】

【分析】

（1）选择①，由正弦定理及角度关系推出N5AC=4MC及sinNACB=2sin/ACD,结合两角和的正

弦公式及诱导公式，进行证明；选择②，利用正弦定理推导出N84C=ND4C,直接利用两角和的正弦公式

及诱导公式即可推出结论；选择③，由正弦定理，面积公式及面积的倍数关系得到44C=ND4C,

sin/ACB=2sinNA8,使用两角和的正弦公式及诱导公式进行证明；（2）在证明出第一问的基础上，设

出边长，利用余弦定理求出A。的长及角的正弦值，进而利用面积公式进行求解.

(1)

方案一：选条件①.

ACBCAB

在AABC中，由正弦定理得,

sinZABCsinZBAC-sinZACB

ACCDAD

在八48中，由正弦定理得,

sinZADCsinZ.DACsinZACD

因为NABC+NA£>C=7t,所以sin/ABC=sinNAZ)C,

因为BC=CE>,所以sinN84C=sinN£MC,

因为/BAC+NOAC〈兀，所以/8AC=NZMC,

因为A3=2AO,JWtAsinZACB=2sinZACD.

因为sin4cB=sin(ZABC+NBAC),

sinZACD=sin(ACAD+ZADC)=sin(ABAC+n-ZABC)=sin(ZABC-ABAC),

所以sin(ZABC+ABAC)=2sin(ZABC—NBAC),

即sinZABCcosABAC+cosZABCsinNBAC=2(sinZABC-cosNBAC-cosZABCsinABAC),

所以sinZABCcosABAC=3cosZABCsinABAC,

所以tanZABC=3tanABAC.

ACBC

方案二：选条件②.在AABC中,由正弦定理得,

sin/ABCsinABAC

ACCD

在△ACO中，由正弦定理得,

sinZADC~sinZDAC

因为/A8C+ZADC=7T,所以sinNABC=sinNA£>C,

因为3C=8,所以sinNBAC=sinND4c.

因为NBAC+NZMCVJT,所以N8AC=Ntt4C.

因为sinZACB=sin(ZABC+ZS4C),

sinZACD=sin(ACAD+ZADC)=sin(ABAC+n-ZABC)=sin(ZABC-ABAC),

sinZACB=2sinZACD,

所以sin(ZABC+ABAC)=2sin(ZABC-ABAC),

即sinZABCcosNBAC+cosZABCsinABAC=2(sinZABCcosABAC-cosZABCsinABAC),

所以sinZABCcosZBAC=3cosZABCsinABAC,

所以tanZABC=3tanNBAC.

方案三：选条件③.

因为ACsinZAC8，S^ACD=^CD-ACsinZACD,且3c=8，5^=25^,

所以sinZACB=2sinZACD

ACBC

在△ABC中，由正弦定理得,

sinZABCsinNBAC

ACCD

在八48中，由正弦定理得,

sinZADC~sinZDAC

因为NA3C+ZADC=7t,所以sinNABC=sinNADC,

因为3c=8,所以sinN84C=sinZQ4C,

因为N84C+ND4c＜兀，所以NBAC=ND4C.

因为sinZACB=sin(4BC+N8AC),

sinZACD=sin(Z.CAD+ZADC)=sin(ABAC+n-ZABC}=sin(ZABC-ABAC},

所以sin(ZABC+ZBAC)=2sin(ZABC—NBAC),

即sinZABCcosABAC+cosZABCsinNBAC=2(sinZABC-cosABAC-cosZABCsinZBAC),

所以sinZABCcosZBAC=3cos/ABCsinABAC,

所以tanZABC=3tanZBAC.

(2)

选择①②③，答案均相同,

由(1)可设A。=x,则AB=2x,

在AABC中，由余弦定理得，cosNABC=4*叱30二

2ABBC8x

在△ACO中，由余弦定理得,

c……+8-C?上

2ADCD4x

因为cosZABC=cos(it-ZADC)=—cosZADC,

22亭或一噜(舍去),

所以4r"二-S=-3Y-S,解得x=

8x4x

所以cosZABC=

8

35/6

所以sinZABC=sinZADC=

所以四边形48CC的面积S=3SAA8=3A»COsinN4DC=%^

△ACD28

例19.(2022•全国♦高三专题练习)在①sin2C=GcosC,②c(2+cosB)=屉sinC,③

0sin4+G〃cosB=0这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的三角形存在，求该三角形

的面积；若问题中的三角形不存在，说明理由.

问题：是否存在AA3C,它的内角AB,C所对的边分别为a,4C,且b=7,c=5,9

【答案】答案见解析.

【解析】

【分析】

选择①，利用二倍角正弦公式得2sinCcosC=&cosC,通