神奇的数字从数字赏数学之美

神奇的数字从数字赏数学之美第1页，共46页，2023年，2月20日，星期一

数学是上帝用来书写宇宙的文字。——伽利略

数学，如果正确地看，不但拥有真理，而且也具有至高的美。——罗素

这个世界可以由音乐的音符组成，也可以由数学的公式组成。——爱因斯坦哪里有数，哪里就有美。

——Proclus只有音乐堪与数学媲美。

——A.H.怀海德数学和诗歌都具有永恒的性质。

——R.D.Carmichael第2页，共46页，2023年，2月20日，星期一

古埃及和我国一样，是世界上四大文明古国之一.早在四千多年以前，埃及人已懂得了数学，在数的计算方面还会使用分数，不过,他们用的是“单位分数”(分子是1的分数).此外，他们还能计算直线形和圆的面积.他们知道了圆周率约为3.16，同时也懂得了棱台和球的体积计算等.可是，他们却是用下面的符号记数的：第3页，共46页，2023年，2月20日，星期一这样书写和运算起来都不方便，比如写数2314，就要用符号表示.

第4页，共46页，2023年，2月20日，星期一后来他们把符号作了简化而成为第5页，共46页，2023年，2月20日，星期一

古代巴比伦人(巴比伦即当今希腊一带地方)计数使用的是六十进制，它也有其优点，这样，在计算分数时会带来某种方便(现在时间上的小时、分、秒制及角度制，仍是六十进制).巴比伦人已经研究了二次方程和某些三次方程的解法，他们在公元前2000年就开始将楔形线条组成符号(称为楔形文字)，且将它们刻在泥板上，然后放到烈日下晒干以备保存.同样，他们也是用楔形文字来表示数，无论是用来记录还是运算，都相对来说方便了许多.第6页，共46页，2023年，2月20日，星期一

我国在纸张没有发明以前，已经开始用算筹进行记数和运算了.算筹是指计算时使用的小竹棍(或木棍、骨棍)，这也是世界上最早的计算工具.用算筹表示数的方法是：第7页，共46页，2023年，2月20日，星期一记数时,个位用纵式，其余位纵横相间，故有“一纵十横，百立千僵”之说.数字中有0时，将其位置空出，比如86021可表示为：第8页，共46页，2023年，2月20日，星期一在甲骨文中，数字是用下面的符号表示的第9页，共46页，2023年，2月20日，星期一第10页，共46页，2023年，2月20日，星期一阿拉伯数字未流行之前，我国商业上还通用所谓“苏州码”的记数方法

在计数上欧洲人开始使用的是罗马数字：第11页，共46页，2023年，2月20日，星期一

阿拉伯数字据说是印度人发明的，后传入阿拉伯国家，经阿拉伯人改进、使用，因其简便性而传遍整个世界，成为通用的记数符号.第12页，共46页，2023年，2月20日，星期一在埃及出土的3600年前的莱因特纸草上有下面一串符号：它既不是什么绘画艺术，也不是什么装饰图案，它表达的是一个代数方程式，用今天的符号表示，即第13页，共46页，2023年，2月20日，星期一宋、元时期我国也开始了相当于现代方程论的研究，当时记数仍使用算筹.在那时出现的数学著作中，就是用下图中的记号来表示二次三项式4x2-x+136的,其中，x的系数旁边注以“元”字，常数项注以“太”字，筹上画斜线表示“负数“第14页，共46页，2023年，2月20日，星期一数字黑洞

黑洞原是天文学中的概念，表示这样一种天体：它的引力场是如此之强，就连光也不能逃脱出来。数学中借用这个词，指的是某种运算，这种运算一般限定从某些整数出发，反复迭代后结果必然落入一个点或若干点。

第15页，共46页，2023年，2月20日，星期一数字黑洞——1（角谷猜想）

任取一个正整数，如果它是偶数，就除以2，如果它是奇数，就用它乘3再加1。将所得到的结果不断地重复上述运算，最后的结果总是1。如：正整数7。7×3＋1＝2222÷2＝1111×3＋1＝3434÷2＝1717×3＋1＝5252÷2＝2626÷2＝1313×3＋1＝4040÷2＝2020÷2＝1010÷2＝55×3＋1＝1616÷2＝88÷2＝44÷2＝22÷2＝11×3＋1＝44÷2＝22÷2＝1第16页，共46页，2023年，2月20日，星期一数字黑洞——1（角谷猜想）

任取一个正整数，如果它是偶数，就除以2，如果它是奇数，就用它乘3再加1。将所得到的结果不断地重复上述运算，最后的结果总是1。如：正整数10。10÷2＝55×3＋1＝1616÷2＝88÷2＝44÷2＝22÷2＝1看来，最简单的数字1也蕴含着不简单。第17页，共46页，2023年，2月20日，星期一有一点更值得注意，假如N是2的正整数方幂，则不论这个数字多么庞大，它将“一落千丈”，很快地跌落到1．例如：

N=65536=2216则有：65536→32768→16384→8192→4096→2048→1024→512→256→128→64→32→16→8→4→2→1．

这一结果如此奇异，是令人难以置信的。曾经有人拿各种各样的数字来试，但迄今为止，总是发现它们最后都无一例外地进入“1→4→2→1”这个死循环。已经验证的最大数目，已达到1099511627776．第18页，共46页，2023年，2月20日，星期一数字黑洞——123

任取一个正整数，将组成这个数的偶数的数字个数，奇数的数字个数和这个数的数字位数依次写下来，组成一个新的数，重复上述步骤，你会发现，最后的结果始终是123。如：正整数518054。518054336123123如：正整132466701256511134123第19页，共46页，2023年，2月20日，星期一数字黑洞——495只要你输入一个三位数，要求个，十，百位数字不相同，如不允许输入111，222等。那么你把这三个数字按大小重新排列，得出最大数和最小数。再两者相减，得到一个新数，再重新排列，再相减，最后总会得到495这个数字。例如输入352，排列得532和235，相减得297；再排列得972和279，相减得693；排列得963和369，相减得594；再排列得954和459，相减得495。第20页，共46页，2023年，2月20日，星期一数字黑洞——153

任意找一个3的倍数的数，先把这个数的每一个数位上的数字都立方，再相加,得到一个新数，然后把这个新数的每一个数位上的数字再立方、求和，......，重复运算下去，就能得到一个固定的数——153例如：63是3的倍数，按上面的规律运算如下：

6^3+3^3=216+27=243,2^3+4^3+3^3=8+64+27=99,9^3+9^3=729+729=1458,1^3+4^3+5^3+8^3=1+64+125+512=7027^3+0^3+2^3=351,3^3+5^3+1^3=153,1^3+5^3+3^3=153,第21页，共46页，2023年，2月20日，星期一折纸中的学问

一张薄纸，不断对折，折30次后，纸叠得有多厚？……12第一次2×2=22第二次32×2×2=2第三次……第三十次=1073741824

若这张纸的厚度为0.01毫米，整个的厚度有10737.41824米。2×2×2×…×2=23030个第22页，共46页，2023年，2月20日，星期一梵塔中的学问

印度北部的圣城贝拿勒斯城的一座神庙里，佛像前面有一块黄铜板，板上插着三根宝石针，其中一根针自上而下放着从小到大的64片圆形金片(在当地被称为“梵塔”).按教规，每天由值班僧侣把金片都移到另一根宝石针上，每次只能移动一片，且小片必须放在大片上——当所有的金片都移到另一根针上时，所谓的“世界末日”就到了。2-164585亿年第23页，共46页，2023年，2月20日，星期一你能想到吗?

有一根很长很长的绳子，恰好可以绕地球赤道一周，如果把绳子再接长15米后，绳子就会绕着地球一周悬在空中。你能想像出：在赤道的任何一个地方，一个身高2米39以下的人,都可以从绳子下面自由穿过。

加长15米第24页，共46页，2023年，2月20日，星期一你能想到吗?

有一根很长很长的绳子，恰好可以绕地球赤道一周，如果把绳子再接长15米后，绳子就会绕着地球一周悬在空中。你能想像出：在赤道的任何一个地方，一个身高2米39以下的人,都可以从绳子下面自由穿过。

R

设地球半径为R米，则绳子的原长为2πR，当绳子长为2πR+15时，绳子所围半径为（2πR+15）÷2π=R+2.39

绳子可围成一个与地球相距2.39米的大圆圈。第25页，共46页，2023年，2月20日，星期一回文诗烟霞映水碧迢迢，暮色秋声一雁遥。前岑落辉残照晚，边城古树冷萧萧。

晚秋即景晚秋即景(反念)萧萧冷树古城边，晚照残辉落岑前。遥雁一声秋色暮，迢迢碧水映霞烟。第26页，共46页，2023年，2月20日，星期一回文质数

所谓回文质数就是指某数为质数，把该数的各个数字倒过来写，所得到的数仍是质数。如13倒过来是31，13和31都是质数，它们就是一对回文质数。

人们还找到了17和71，113和311，347和743，769和967等回文质数。第27页，共46页，2023年，2月20日，星期一圆周率π

瑞士数学家欧拉是最早倡导用希腊字母π来表示这个数。

1761年法国数学家兰伯特证明了“π不是有理数”。

东汉初年的数学专著《周髀算经》中，已有“周三径一”的记载，这是最早的圆周率,现在将它称为“古率”。第28页，共46页，2023年，2月20日，星期一圆周率π

南北朝的祖冲之在《缀术》一书中，用割圆法给出了(约率)和(密率)两个用分数表示的圆周率，它们被称为“祖率”，

227355113227=3π=3355113=3第29页，共46页，2023年，2月20日，星期一圆周率π

叶维塔（Yeavita）用割圆法算至圆内接393216边形，得到π的十位小数；

荷兰数学家鲁道夫（C.Rudolff）花了毕生的精力算到π的第35位小数

美国天文学家纽科布说：π的十位小数就足以使计算地球的周界（如果把地球想像为绝对的球体）精确到一英寸之内，若用π的30位小数能使可观宇宙的四周计算精确到连最强大的显微镜也不可能分辨的一个数量级。第30页，共46页，2023年，2月20日，星期一圆周率π圆周率计算进展情况表国别年代计算机型号计算位数计算用时美国1949ENIAC203770小时美国1955NORC308913分钟英国1961IBM—70902000039分钟法国1973—100万—美国1986Cray—22900万—加拿大1995HITACS—380042.9亿56小时日本1999HITACHISR80002061.5843亿37小时

如今计算π的位数，已成为检验计算机性能包括它的软件（即计算方法）的一种手段。第31页，共46页，2023年，2月20日，星期一圆周率ππ计算到小数点后第710100位时，连续出现七个数字3：

π=3.141592…353733333338638…；

π的前两位数字31，前六位数字314159组成的数是两个回文质数：13与31314159与951413

第32页，共46页，2023年，2月20日，星期一圆周率π

用数字0，1，2……8，9（每个数字都用且仅用一次）组成的分数中，有不少可作为π的近似值3786912054=3.141612…3948012567=3.1415611…9576130842=3.1048894…9514730286=3.141616…6738921450=3.141678…7659124380=3.141550…8315926470=3.141632…9746831025=3.141595488…第33页，共46页，2023年，2月20日，星期一神奇的0.618…第34页，共46页，2023年，2月20日，星期一神奇的0.618…ABCAC∶CB=BC∶AB51—2=中外比分割第35页，共46页，2023年，2月20日，星期一神奇的0.618…ABCD=0.618…ABBDDBADCDACACAD===51—2=第36页，共46页，2023年，2月20日，星期一神奇的0.618…0.618…这是被中世纪学者、艺术家达芬奇誉为“黄金数”的重要数值（因而中外比分割亦被誉为“黄金分割”）。它也曾被德国天文、物理、数学家开普勒赞为几何学中两大“瑰宝”之一。

顾名思义，黄金数当有着黄金一样的价值，人们喜欢它。第37页，共46页，2023年，2月20日，星期一神奇的0.618…

黄金比值一直统治着古代中东、中世纪西方建筑艺术，这些世人瞩目的建筑中都蕴藏着0.618…这一黄金数第38页，共46页，2023年，2月20日，星期一神奇的0.618…《蒙娜丽莎的微笑》——达·芬奇还有多少黄金分割在画中？第39页，共46页，2023年，2月20日，星期一神奇的0.618…

植物叶子在茎上的排布是呈螺旋状的，你细心观察一下，不少植物叶状虽然不同，但其排布却有相似之处，比如从植物顶部向下看，相邻两片叶子夹角是137°28′。