轴对称-最短路径问题

仅供个人参考优小—提更、对强时更现在的数学教学遵循《标准》的理念，以“生活?数学”“动思考”为主线展开课程内容，注重体现生活与数学的联系，其中最短路径问题就是这一方面知识与能力的综合运用，其原型来于“饮马问题选问题题景有角、三角形、平行四边形、坐标轴、抛物线等。下面就对上类型做一个简单的归纳。例．如图，牧童在A处马，其家在B处A、B到岸的距离分别为AC和BD，且AC=BD，若点A到岸CD的点的距离为500米，则牧童A把马牵到河边饮水再回家，最短距离是多少米？分析：根据轴对称的性质和“两点之间线段最短”，连接A，得到最短距离为A′B，根据全等三角形的性质和A到岸CD的中点的距离为500米即可求出的值．A′B=1000米．故最短距离是1000米．例．如图，正方形，边上一点E，AE=3EB=1，AC上有一点P，使EP+BP为短．求：最短距离EP+BP．分点AB，河据

析：此题中，动点P所在有正方形沿对角

点EB的置就相当于例1中直线作为对称轴相当于例的小线的对称性，可得无论P在么置，都有PD=PB；均有EP+BP=PE+PD成立所以原题可以转化为求PE+PD的小值问题，分析得连接DE与AC，求得交点就是要求的的位置例如图∠XOY内一P在线OX上找一点在线OY上出一点N使PM+MN+NP短．分析：此题的出题背景就是角。本题主要利用了两点之间线段最短的性质通过轴对称图形的性确定三角形的另两点．分别以直线、为对轴，作点P对应点P，连P交OX于M，交OY于N，则PM+MN+NP最短．不得用于商业用途

仅供个人参考例４．如图，荆州古城河在′处直角转弯，河宽均为5，从A处达B处须经两座桥：DD，EE′（桥宽不计），设护城河以两座桥都是东西、南北方向的A、在西方向上相距65米，北方向上相距85米恰当地架桥可使ADD′E′EB的路程最短，这个最短路程是多少米？分析：由于含有固定线段“桥”，导致不能将ADD′E′EB通轴对称直接转化为线段常用的方法是构造行四边形将问题转化为平行四边形的问题解答．这就是“造桥选址问题”解：作AF⊥CD，且AF=河宽，作BG⊥CE，且BG=河宽，连接GF，与河岸相交于E′、D．作DD′、EE′即为桥．证明：由作图法可知AF∥DD′，AF=DD，则四边形AFD′D为行四边形，于是AD=FD′，同理，BE=GE′，由两点之间线段最短可知GF最；即当桥建于如图所示位置时，ADD′E最短．例５．（2008?内）如图，当边形PABN的周长最小时a=。分析：因为，的长都是固定的，所以求出PA+NB的度就行了．问题就是PA+NB什时最短．把B点左平移2个位到B′；作′关于x的对称点″，连接AB″，交轴于P，从而定点位置，此时PA+NB最．再求a的值．此题中的PN就当于“造桥选址问题”中的桥，其思路与上题是一样的。通过构造平行四边形和轴对称将折线转之和最短转化为两点之间线段最短．至于“抛物线”这一类型的问题，由于综合性较强，这里就不介绍了。但中纵观上述几题我们难发现，这一类题型的解题思路是一样的：找到关于线的对称点实现“折”转“直再用“两点之间线段最短”这一性质来解决。攀高—综提定点两线型如图，°，AOB内一定点且在OA上一点Q,OB有一点画周长最小的，求出最小周长。不得用于商业用途

A

仅供个人参考２定两线型）已知：MON和MON内点AB求作：点和，得点在OM上，点D在ON，且AC+CD+BD最短．提示：用1题解答可以帮助分析出2的解答谈收—自反

MA想想节你什收?答：用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题B课检

O

N

A如图在边长为的正三角形ABC中,、、G分为AB、、BC的点，点为段EF上个动点，

F连接，GP，则△BPG的长的最小值是如图A为厩B为篷，牧马人一天要从马厩牵出马，先到草一处牧马，再到河，然后回到帐篷，请你帮他确定这一天的最短路线。巩训：如图，直角坐标系中，点A、B的标分别为）和（，C是Y轴一个动点，且A、B、三不在同一条直线上，当三角形ABC周长最小时AC+BC=()如图，°，点在AOB的平分线上，，、F是AOB两边OA，上动，当△的长最小时，点P距是（）如图，边ABC的边长为，AD是BC边的中线，FAD边的动点是AC边一点，若，当取最小值时，则的数为（）如图所，正方形ABCD的积为12ABE是边三角形，点E在方形ABCD内，在对角线AC有一点，PD+PE的和最小，则这个最值()如图，边形ABCD中，＝，∠B＝∠＝，在BCCD上别一点M、N，eq\o\ac(△,使)eq\o\ac(△,)AMN周最小时，则AMN＋ANM的度数()?B.120°如图，A和B两在一条河的两岸，现要在河上造一座桥，从A到B得路径短的是（假定河的两岸是平行直线，桥要与河岸垂直）不得用于商业用途

仅供个人参考仅供个用学习、究不得用商业用。Forpersonaluseonlyinstudyandresearch;notforcommercialuse.NurfürdenpersönlichenfürStudien,Forschung,zukommerziellenZweckenverwendetwerden.Pourl'étudeetrechercheuniquementàdesfinspersonnelles;pasàdesfinscomme