2021-2022届高考数学仿真试题(四)(广东)

2022-2022届高考数学仿真试题〔四〕〔广东〕

命题：廖美东测试时间：2022-4-13

本试卷分第一卷(选择题)和第二卷(非选择题)两局部.共150分.测试时间120分钟.

考前须知：

1.答第一卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、测试科目、试卷类型(A或B)用铅笔

涂写在做题卡上.

2.每题选出答案后,用铅笔把做题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净

后,再选涂其他答案,不能答在试题卷上.

3.测试结束,监考人将本试卷和做题卡一并收回.

参考公式：

如果事件A、B互斥,那么正棱锥、圆锥的侧面积公式

1

P〔A+B〕=P〔A〕+P〔B〕Scl

锥侧2

如果事件A、B相互独立,那么其中c表示底面周长,l表示斜

P〔AB〕=P〔A〕P〔B〕高或母线长

如果事件A在一次试验中发生的概率是球的体积公式

4

P,那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率VR3

3

P(k)CkPk(1P)nk其中R表示球的半径

nn

第一卷〔选择题共50分〕

一、选择题〔本大题共10小题,每题5分,共50分.在每题给出的四个选项中,只有一项为

哪一项符合题目要求的〕

1.命题p:a2+b2＜0(a,b∈R);命题q:a2+b2≥0(a,b∈R),以下结论正确的选项是

A.“p或q〞为真B.“p且q〞为真

C.“非p〞为假D.“非q〞为真

2.向量a=(cos75°,sin75°),b=(cos15°,sin15°),那么｜a－b｜的值是

123

A.B.C.D.1

222

正项等比数列｛｝满足：·那么数列｛｝的前项的和是

3.ana2a4=1,S3=13,bn=log3an,bn10

A.65B.－65C.25D.－25

4.空间四边形四条边所在的直线中,互相垂直的直线最多有

A.2对B.3对C.4对D.5对

x2y2

为椭圆上一点、为焦点如果∠°∠°那么椭圆

5.P=1,F1F2,PF1F2=75,PF2F1=15,

a2b2

的离心率为

6232

A.B.C.D.

3223

6.有下面四个命题,其中正确命题的序号是

①“直线a、b为异面直线〞的充分而不必要条件是“直线a、b不相交〞；

②“直线l⊥平面α内所有直线〞的充要条件是“l⊥平面α〞;

③“直线a∥直线b〞的充要条件是“a平行于b所在的平面〞；

④“直线a∥平面α〞的必要而不充分条件是“直线a平行于α内的一条直线.〞

A.①③B.②③C.②④D.③④

如果、、、、、的平均数〔期望〕为那么－、－、－、

7.a1a2a3a4a5a63,2(a13)2(a23)2(a33)2(a4

－、－、－的平均数〔期望〕是

3)2(a53)2(a63)

A.0B.3C.6D.12

如果函数｜－｜≠的图象的对称轴方程是－那么等于

8.y=log2ax1(a0)x=2,a

11

A.B.－C.2D.－2

22

9.假设f(x)=ax3+3x2+2,且f′(－1)=4,那么a等于

19161310

A.B.C.D.

3333

10.抛物线y=ax2的焦点为F,准线l与对称轴交于点R,过抛物线上一点P〔1,2〕作PQ⊥l,

垂足为Q,那么梯形PQRF的面积为

711195

A.B.C.D.

481616

第二卷(非选择题共100分)

二、填空题〔本大题共4小题,每题5分,共20分.把答案填在题中横线上〕

x2y4,

2xy3,

11.x、y满足线性约束条件那么线性目标函数z=3x+2y的最小值是_________.

x0,

y0.

－23－242…14那么…

12.(1x+x)(12x)=a0+a1x+a2x++a14x,a1+a3+a5++a11+a13=___________.

13.有三个球和一个正方体,第一个球与正方体各个面相内切,第二个球与正方体各条棱相

切,第三个球过正方体各顶点,那么这三个球的面积之比为___________.

14.设函数f(x)=sin(wx+)(w＞0,－＜＜,给出以下四个结论：

22

①它的周期为π;②它的图象关于直线x=对称；③它的图象关于点〔,0〕对称；

123

④在区间〔－,0〕上是增函数.

6

以其中两个论断为条件,另两个论断作结论写出你认为正确的一个命题：

________________________________________________________________________.

三、解做题(本大题共6小题,共80分.解容许写出文字说明、证实过程或演算步骤)

15.〔本小题总分值12分〕

沿某大街在甲、乙、丙三个地方设有红、绿交通信号灯,汽车在甲、乙、丙三个地方通过

112

〔绿灯亮通过〕的概率分别为,,,对于在该大街上行驶的汽车,

323

求：〔1〕在三个地方都不停车的概率；

〔2〕在三个地方都停车的概率；

〔3〕只在一个地方停车的概率.

16.(本小题总分值12分)

13

平面向量a=(3,－1),b=(,),假设存在不为零的实数k和角α,使向量c=a+(sinα－

22

3)b,d=－ka+(sinα)b,且c⊥d,试求实数k的取值范围.

17.〔本小题总分值13分〕

如图,四棱锥P—ABCD的底面ABCD为正方形,PD⊥底面

ABCD,PD=AD.

求证：〔1〕平面PAC⊥平面PBD；

〔2〕求PC与平面PBD所成的角；

〔3〕在线段PB上是否存在一点E,使得PC⊥平面ADE？假

设存在,请加以证实,并求此时二面角A—ED—B的大小；假设不存

在,请说明理由.

18.〔本小题总分值13分〕

如下图,曲线段OMB是函数f(x)=x2(0＜x＜6)的图象,BA⊥x轴

于A,曲线段OMB上一点M〔t,f(t)〕处的切线PQ交x轴于点P,

交线段AB于点Q,

〔1〕试用t表示切线PQ的方程；

〔2〕试用t表示出△QAP的面积g(t);假设函数g(t)在〔m,n〕

上单调递减,试求出m的最小值；

121

〔3〕假设S∈［,64］,试求出点P横坐标的取值范

△QAP4

围.

19.(本小题总分值14分)

点H〔－3,0〕,点P在y轴上,点Q在x轴的正半轴上,点M在直线PQ上,且满足

3

HP·PM=0,PM=－MQ,

2

〔1〕当点P在y轴上移动时,求点M的轨迹C；

〔〕过点〔－〕作直线与轨迹交于、两点假设在轴上存在一点〔〕

2T1,0lCAB,xEx0,0,

使得△为等边三角形求的值

ABE,x0.

20.〔本小题总分值16分〕

2f(0)1

设f(x)=,定义f(x)=f［f(x)］,a=n,其中n∈N*.

11xn+11nnf(0)2

n

求数列｛｝的通项公式；

(1)an

4n2n

〔〕假设…其中∈*试比拟与的大

2T2n=a1+2a2+3a3++2na2n,Qn=,nN,9T2nQn

4n24n1

小,并说明理由.

2022-2022届高考数学仿真试题〔四〕〔广东〕

参考答案

1.A2.D3.D4.B5.A6.C7.A8.B9.D10.C

16

11.12.－1313.1∶2∶314.①②③④或①③②④

3

1121

15.(1)P=××=.4分

3239

2111

〔2〕P=××=8分

3239

2121121117

〔3〕P=××+××+××=.12分

32332332318

16.∵c⊥d,

∴c·d=0,2分

即［a+(sinα－3)b］·［－ka+(sinα)b］=0,4分

也即－ka2+a·b·sinα－k(sinα－3)a·b+sinα(sinα－3)b2=0,

13

又∵a=(3,－1),b=(,),

22

∴a·b=0,且a2=｜a｜2=4,b2=｜b｜2=1,6分

∴－4k+sinα(sinα－3)=0,8分

139

k=(sinα－)2－,10分

4216

而－1≤sinα≤1,

∴当sinα=－1时,k取最大值1；

1

当sinα=1时,k取最小值－.

2

1

所以所求k的取值范围为［－,1］12分

2

17.(1)∵PD⊥底面ABCD,

∴AC⊥PD,

又∵底面ABCD为正方形,

∴AC⊥BD,而PD与BD交于点D,

∴AC⊥平面PBD,2分

又AC平面PAC,

∴平面PAC⊥平面PBD.4分

〔2〕记AC与BD相交于O,连结PO,由〔1〕知,

AC⊥平面PBD,

∴PC在平面PBD内的射影是PO,

∴∠CPO就是PC与平面PBD所成的角,6分

∵PD=AD,

∴在Rt△PDC中,PC=2CD,

12

而在正方形ABCD中,OC=AC=CD,

22

∴在Rt△POC中,有∠CPO=30°.

即PC与平面PBD所成的角为30°.8分

〔3〕在平面PBD内作DE⊥PO交PB于点E,连AE,

那么PC⊥平面ADE.以下证实：

由〔1〕知,AC⊥平面PBD,

∴AC⊥DE,

又PO、AC交于点O,

∴DE⊥平面PAC,

∴DE⊥PC,〔或用三垂线定理证实〕

而PD⊥平面ABCD,∴PD⊥AD,

又∵AD⊥CD,∴AD⊥平面PCD,∴AD⊥PC,

∴PC⊥平面ADE,由AC⊥平面PBD,

∴过点O作OF⊥DE于F,

连AF,由三垂线定理可得,AF⊥DE,

∴∠OFA是二面角A—ED—B的平面角,10分

设PD=AD=a,在Rt△PDC中,

6

求OF=a,

6

2

而AO=a,

2

∴在Rt△AOF中,∠OFA=60°,

即所求的二面角A—ED—B为60°.13分

18.〔1〕设点M〔t,t2〕,

又f′(x)=2x,

∴过点M的切线PQ的斜率为k=2t,2分

∴切线PQ的方程为y－t2=2t(x－t),

即y=2tx－t2.4分

t

〔2〕由〔1〕可求得P(,0),Q(6,12t－t2)

2

11

∴g(t)=S=(6－t)(12t－t2)

△QAP22

1

=t3－6t2+36t,(0＜t＜6,6分

4

3

由于g′(t)=t2－12t+36,

4

令g′(t)＜0,那么4＜t＜12,

又0＜t＜6,∴4＜t＜6,

∴g(t)的单调递减区间为〔4,6〕,

因此m的最小值为4.8分

〔3〕由〔2〕得,g(t)在〔4,6〕上递减,

∴此时S∈(g(6),g(4))=(54,64),

△QAP

令g′(t)＞0,得0＜t＜4,

∴g(t)在〔0,4〕上递增.

∴此时S∈(g(0),g(4))=(0,64),

△QAP

又g(4)=64,

∴函数g(t)的值域为(0,64.10分

121

由≤g(t)≤64,得1≤t＜6,

4

1t

∴≤＜3,

22

1

∴点P的横坐标∈［,3.13分

2

3yx

19.〔1〕设点M的坐标为(x,y),由PM=－MQ,得P(0,－),Q(,0),2分

223

y3y

由HP·PM=0,得〔3,－〕(x,)=0,

22

又得y2=4x,5分

由点Q在x轴的正半轴上,得x＞0,

所以,动点M的轨迹C是以〔0,0〕为顶点,以〔1,0〕为焦点的抛物线,除去原点.

6分

〔2〕设直线l:y=k(x+1),

其中k≠0,代入y2=4x,

得k2x2+2(k2－2)x+k2=0,①7分

设〔〕

Ax1,y1,B(x2,y2),

那么是方程①的两个实根

x1,x2,

2(k22)

∴－

x1+x2=,x1x2=1,

k2

2k22

所以,线段AB的中点坐标为(,),9分

k2k

线段AB的垂直平分线方程为

212k2

y－=－(x－),11

kkk2

分

2

令

y=0,x0=+1,

k2

2

所以点E的坐标为(+1,0)

k2

23

由于△ABE为正三角形,所以点E〔+1,0〕到直线AB的距离等于｜AB｜,

k22

而｜AB｜=(xx)2(yy)2

1212

41k2

=·1k2,13分

k2

231k421k2

所以,=,

k2k

311

解得k=±,得x=.14分

203

211

20.〔1〕f(0)=2,a==,

11224

2

f(0)=f［f(0)］=,

n+11n1f(0)

n

1

1

f(0)11f(0)1f(0)

a=n1=n=n

n+1f(0)2242f(0)

n12n

1f(0)

n

1f(0)11

=－n=－a,4分

2f(0)22n

n

11

∴数列｛a｝是首项为,公比为－的等比数列,

n42

11

∴a=(－)n－1.6分

n42

〔2〕T=a+2a+3a+…+(2n－1)a+2na,

2n1232n－12n

11111