高考数学立体几何含

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1.（本小题14分）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1平面ABC，D，E，F，G分别为AA1，AC，A1C1，BB1的中点，AB=BC=5，AC=AA1=2．

（Ⅰ）求证：AC⊥平面BEF；

（Ⅱ）求二面角B-CD-C1的余弦值；

（Ⅲ）证明：直线FG与平面BCD订交．

【剖析】（1）在三棱柱ABCA1B1C1中，QCC1平面ABC，四边形A1ACC1为矩形．又E，F分别为AC，A1C1的中点，ACEF，QABBC，ACBE，AC平面BEF．（2）由（1）知ACEF，ACBE，EF∥CC1．又CC1平面ABC，EF平面ABC．QBE平面ABC，EFBE．如图成立空间直角坐称系Exyz．由题意得B0,2,0，C1,0,0，D1,0,1，F0,0,2，G0,2,1，uuur,uur1,2,0CB=，设平面BCD的法向量为na,b,c，CD=2,01，nuuur0CD2ac0nuur，，CB0a2b0令a2，则b1，c4，平面BCD的法向量n2,1，,4，uuruurnuur21又Q平面CDC10,2,0，cosnEB=．的法向量为EB=EBuur21nEB由图可得二面角BCDC1为钝角，因此二面角BCDC1的余弦值为21．213）平面

uuur

GF=0,

BCD的法向量为n2,1,4，QG0,2,1，F0,0,2，uuur2，uuur2,1，nGFn与GF不垂直，GF与平面BCD不平行且不在平面BCD内，GF与平面BCD订交

2．（本小题14分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD平面ABCD，

PAPD，PAPD，E，F分别为AD，PB的中点．

1）求证：PEBC；

2）求证：平面PAB平面PCD；

3）求证：EF∥平面PCD．

【剖析】（1）QPAPD，且E为AD的中点，PEAD，Q底面ABCD为矩形，BC∥AD，PEBC．（2）Q底面ABCD为矩形，ABAD，Q平面PAD平面ABCD，AB平面PAD，ABPD．又PAPD，QPD平面PAB，平面PAB平面PCD．（3）如图，取PC中点G，连结FG，GD．QF，G分别为PB和PC的中点，FG∥BC，且FG1，BC2Q四边形ABCD为矩形，且E为AD的中点，ED∥BC，DE1BC，2ED∥FG，且EDFG，四边形EFGD为平行四边形，EF∥GD，又EF平面PCD，GD平面PCD，EF∥平面PCD．为正方形，E,F分别为AD,BC的中点，以．（12分）如图，四边形ABCDDF为折痕3把△DFC折起，使点C抵达点P的地址，且PFBF.（1）证明：平面PEF平面ABFD；（2）求DP与平面ABFD所成角的正弦值.

解答：（1）E,F分别为AD,BC的中点，则EF//AB，∴EFBF，又PFBF，EFPFF，∴BF平面PEF，BE平面ABFD，∴平面PEF平面ABFD.（2）PFBF，BF//ED，∴PFED，又PFPD，EDDPD，∴PF平面PED，∴PFPE，设AB4，则EF4，PF2，∴PE23，过P作PHEF交EF于H点，由平面PEF平面ABFD，∴PH平面ABFD，连结DH，则PDH即为直线DP与平面ABFD所成的角，

由PE232，PFEFPH，∴PH43而PD4，∴sinPDHPH3，PD4∴DP与平面ABFD所成角的正弦值3.44．（12分）如图，在三棱锥PABC中，ABBC22，PAPBPCAC4，O为AC的中点．

（1）证明：

（2）若点M

正弦值．

PO在棱

平面ABC；

BC上，且二面角

M

PA

C为30

，求

PC

与平面

PAM

所成角的

P

AOCBM【剖析】（1）因为APCPAC4，O为AC的中点，因此OPAC，且OP23，连结OB．因为ABBC22AC，因此△ABC为等腰直角三角形，且OBAC，OB1AC2，由OP2OB2PB2知POOB，2由OPOB,OPAC知PO平面ABC．uuurOxyz．（2）如图，以O为坐标原点，OB的方向为x轴正方向，成立空间直角坐标系由已知得O0,0,0，B2,0,0，A0,2,0，C0,2,0，P0,0,2uuur0,2,233，AP，uuuruuur取平面PAC的法向量OB2,0,0，设Ma,2a,00a2，则AMa,4a,0，设平面PAM的法向量为nx,y,zuuruuurn0，．由APn0，AM得2y23z00，可取n3a4,3a,a，ax4aycosuuur23a4uuur3，OB,n222，由已知得cosOB,n23a43aa223a43，解得a4（舍去），a4，23a423a2a223n83,43,4uuur0,2,23，因此cosuuur3．，又QPCPC,n3334因此PC与平面PAM所成角的正弦值为3．45．（12分）如图，边长为?M是2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧CD所在平面垂直，?，D的点．CD上异于C（1）证明：平面AMD⊥平面BMC；（2）当三棱锥MABC体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值．

解答：（1）∵正方形ABCD半圆面CMD，∴AD半圆面CMD，∴AD平面MCD.∵CM在平面MCD内，∴ADCM，又∵M是半圆弧CD上异于C,D的点，∴CMMD.又∵ADIDMD，∴平面ADM，∵在平面BCM内，∴平面CMCMBCM平面ADM.

（2）如图成立坐标系：∵SABC面积恒定，∴MOCD，VMABC最大.M(0,0,1)，A(2,1,0)，B(2,1,0)，C(0,1,0)，D(0,1,0),urr设面MAB的法向量为m(x1,y1,z1)，设面MCD的法向量为n(x2,y2,z2)，uuur(2,1,1)，MB(2,1,1)，MAMC(0,1,1)，MD(0,1,1)，2x1y1z10ur(1,0,2)，2x1ry1z10m同理n(1,0,0)，，∴cos15255，∴sin5.56.（此题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知圆锥的极点为P，底面圆心为O，半径为21）设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；

2）设PO=4，OA，OB是底面半径，且∠AOB=90°，M为线段AB的中点，如图，求异面直线PM与OB所成的角的大小.

7.(本小题满分13分)如图，AD∥BC且AD=2BC，CD,EG∥AD且EG=AD，且CD=2FG，ADCD∥FG

DG平面ABCD，DA=DC=DG=2.MN∥平面CDE；（I）若M为CF的中点，N为EG的中点，求证：（II）求二面角EBCF的正弦值；（III）若点P在线段DG上，且直线BP与平面ADGE所成的角为60°，求线段DP的长.

【剖析】依题意，能够成立以D为原点，uuuruuuruuur分别以DA，DC，DG的方向为x轴，y轴，z轴的正方向的空间直角坐标系（如图），可得D0,0,0，A2,0,0，B1,2,0，C0,2,0，E2,0,2，F0,1,2，G0,0,2，M0,3，N1,0,2．,12uuur0,2,0uuur2,0,2．（1）依题意DC，DEuuurn0设n0x,y,z为平面CDE的法向量，则DC02y0，n0uuur即2x2zDE00没关系令z–1，可得n01,0,1．uuuur1,-3,1uuuurn00，又MN，可得MN2又因为直线MN平面CDE，因此MN∥平面CDE．（2）依题意，可得uuur–1,0,0uuur1,2,2uuur0,1,2BC，BE，CF．nuuur0x0设nx,y,z为平面BCE的法向量，则BC即，nuuur02y2zBEx0没关系令z1，可得n0,1,1．uuurm0x0设mx,y,z为平面BCF的法向量，则BC，muuur即y2zBF00没关系令z1，可得m0,2,1．因此有cosm,nmn310，于是sinm,n10．mn1010因此，二面角E–BC–F的正弦值为10．10（3）设线段DP的长为hh0,2，则点P的坐标为0,0,h，uuur1,2,huuur0,2,0为平面ADGE的一个法向量，可得BP．易知，DC

uuuruuuruuuruuurBPDC2，故cosBPDCuuuruuurh25BPDC由题意，可得2sin603，解得h3．h220,253因此线段DP的长为3．38．（此题满分15分）如图，已知多面体ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，ABC=120°，A1A=4，C1C=1，AB=BC=B1B=2．

（Ⅰ）证明：AB1⊥平面A1B1C1；（Ⅱ）求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值．解答：（1）∵ABB1B2，且B1B平面ABC，∴B1BAB，∴AB122.同理，AC1AC2C1C2(23)21213.过点C1作B1B的垂线段交B1B于点G，则C1GBC2且B1G1，∴B1C15.在AB1C1中，AB12B1C12AC12，∴AB1B1C1，①过点B1作A1A的垂线段交A1A于点H.则B1HAB2，A1H2，∴A1B122.在A1B1A中，AA12AB12A1B12，∴AB1A1B1，②综合①②，∵A1B1B1C1B1，A1B1平面A1B1C1，B1C1平面A1B1C1，AB1平面A1B1C1.

（2）过点B作AB的垂线段交AC于点I，以B为原点，以AB所在直线为x轴，以BI所在直线为y轴，以B1B所在直线为z轴，成立空间直角坐标系Bxyz.则B(0,0,0)，A(2,0,0)，B1(0,0,2)，C1(1,3,1)，r设平面ABB1的一个法向量n(a,b,c)，ruuur02a0rnAB则ruuur，令b1，则n(0,1,0)，nBB102c0

又∵uuuur，ruuuur3391(3,3,1)cosn,AC.AC111313由图形可知，直线AC1与平面ABB1所成角为锐角，设AC1与平面ABB1夹角为.∴sin39.139．（本小题满分14分）在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AA1AB,AB1B1C1．求证：（1）AB∥平面A1B1C；（2）平面ABB1A1平面A1BC．【剖析】（1）在平行六面体ABCDA1B1C1D